2020-2022北京重点校高二(上)期末数学汇编：统计与概率章节综合.docx

2020-2022北京重点校高二（上）期末数学汇编
统计与概率章节综合
一、单选题
1．（2022·北京八中高二期末）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，，一辆车从甲地到乙地，恰好遇到2个红灯的概率为（    ）
A． B． C． D．
2．（2021·北京八中高二期末）投掷一枚质地均匀的骰子两次，记两次的点数均为奇数，两次的点数之和为4，则（    ）
A． B． C． D．
3．（2021·北京市第十二中学高二期末）近期新冠疫情在全球肆虐，某国在，，三个地区分别有6%，5%，4%的民众核酸检测呈阳性，假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任选一人，则这个人核酸检测呈阳性的概率为（    ）
A． B． C． D．
4．（2021·北京市十一学校高二期末）如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（    ）

A． B． C． D．
5．（2021·北京市十一学校高二期末）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为
A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312
6．（2020·首都师范大学附属中学高二期末）某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外进行体育锻炼的时间（单位：分钟），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为8组，分别是，做出频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是（       ）

A． B．
C． D．
二、填空题
7．（2021·北京市十一学校高二期末）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为Y，则___________.

8．（2021·首都师范大学附属中学高二期末）两台机床加工同样的零件，第一台的不合格品率为，第二台的不合格品率为，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件数是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为___________.
三、解答题
9．（2022·北京八中高二期末）一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获得15分，出现三次“6点”获得120分，没有出现“6点”则扣除12分(即获得－12分)．
（Ⅰ）设每盘游戏中出现“6点”的次数为X，求X的分布列；
（Ⅱ）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得15分的概率；
（Ⅲ）玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象．
10．（2021·北京·北师大实验中学高二期末）某工厂生产一种汽车的元件，该元件是经过、、三道工序加工而成的，、、三道工序加工的元件合格率分别为、、．已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工都合格的元件为一等品；恰有两道工序加工合格的元件为二等品；其它的为废品，不进入市场．
（Ⅰ）生产一个元件，求该元件为二等品的概率；
（Ⅱ）若从该工厂生产的这种元件中任意取出3个元件进行检测，求至少有2个元件是一等品的概率.
11．（2020·首都师范大学附属中学高二期末）某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量，对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分．每项评分最低分0分，最高分100分．每个景点总分为这五项得分之和，根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如图

请根据图中所提供的信息，完成下列问题：
（1）若从交通得分排名前5名的景点中任取1个，求其安全得分大于90分的概率；
（2）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个，记安全得分不大于90分的景点个数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；
（3）记该市26个景点的交通平均得分为，安全平均得分为，写出和的大小关系？（只写出结果）

参考答案
1．B
【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解．
【详解】由各路口信号灯工作相互独立，可得某人从甲地到乙地恰好遇到2次红灯的概率：
．
故选：B．
2．C
【分析】用列举法写出事件所含的基本事件，同时可得事件含有的基本事件，从而可得概率．
【详解】由题意，共9个基本事件，
其中和为4的只有和两个事件，
所以．
故选：C．
3．D
【分析】由题意设地区有300人，地区有400人，地区有300人，再根据三地区呈阳性的比例求出三地区呈阳性的人数，从而可得三地区呈阳性的总人数，再利用古典概型的概率公式求解即可
【详解】解：由题意设地区有300人，地区有400人，地区有300人，
则地区呈阳性的有人，地区呈阳性的有，地区呈阳性的有人，
则三个地区共有人，三地区呈阳性的总数为人，
所以从这三个地区中任选一人，则这个人核酸检测呈阳性的概率为，
故选：D
4．B
【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】从的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从到的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共次.所以从到的最近的行走线路，总的方法数有种.
不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：.
所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为.
故选：B
【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题.
5．A
【详解】试题分析：该同学通过测试的概率为，故选A．
考点：次独立重复试验．
6．B
【分析】利用直方图计算出各不同锻炼时间的学生人数分布，结合各选项确定符合人数分布的茎叶图即可.
【详解】由直方图知：
人；
人；
人；
人；
人；
人；
人；
人.
∴结合各选项的茎叶图知：只有B符合.
故选：B.
7．##0.352
【分析】，求出的小正方体的个数后可得．
【详解】由题意的小正方体的个数分别为：27，54，36，8，
．
故答案为：．
8．
【分析】由概率公式计算即可求解.
【详解】设第一台机床加工了件，则第一台机床加工了件，
因为第一台的不合格品率为，第二台的不合格品率为，
所以第一台机床产生的不合格品有，第二台机床产生的不合格品有，
两台机床的不合格品共有，
两台机床共生产了件，
所以现任取一零件，则它是合格品的概率为，
故答案为：.
9．（Ⅰ）分布列见解析 （Ⅱ）（Ⅲ）见解析
【解析】（Ⅰ）先得到可能的取值为，，，，根据每次抛掷骰子，出现“6点”的概率为，得到每种取值的概率，得到分布列；（Ⅱ）计算出每盘游戏没有获得15分的概率，从而得到两盘中至少有一盘获得15分的概率；（Ⅲ）设每盘游戏得分为，得到的分布列和数学期望，从而得到结论.
【详解】解：（Ⅰ）可能的取值为，，，.
每次抛掷骰子，出现“6点”的概率为.
，     ，
，，
所以X的分布列为：

0
1
2
3

（Ⅱ）设每盘游戏没有得到15分为事件，
则.
设“两盘游戏中至少有一次获得15分”为事件，
则
因此，玩两盘游戏至少有一次获得15分的概率为.
（Ⅲ）设每盘游戏得分为.
由（Ⅰ）知，的分布列为：
Y
-12
15
120
P

的数学期望为.
这表明，获得分数的期望为负．
因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．
【点睛】本题考查求随机变量的分布列和数学期望，求互斥事件的概率，属于中档题.
10．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）先分为互斥的三个事件，再根据独立事件的概率求解；（Ⅱ）分为2个元件是一等品和3个元件是一等品两种情况求解.
【详解】解：（Ⅰ）不妨设元件经三道工序加工合格的事件分别为.
所以,,.,,.    
设事件为“生产一个元件，该元件为二等品”.
由已知是相互独立事件.
根据事件的独立性、互斥事件的概率运算公式，

所以生产一个元件，该元件为二等品的概率为.           
（Ⅱ）生产一个元件，该元件为一等品的概率为
.                                 
设事件为“任意取出3个元件进行检测，至少有2个元件是一等品”，则

.
所以至少有2个元件是一等品的概率为.
【点睛】本题考查独立事件与互斥事件的概率，考查计算能力与转化能力，属于基础题.
11．（1）（2）见解析，1．（3）．
【解析】（1）根据图象安全得分大于90分的景点有3个，即可求得概率；
（2）ξ的可能取值为0，1，2，依次求得概率，即可得到分布列；
（3）根据图象中的点所在位置即可判定平均分的大小关系.
【详解】（1）由图象可知交通得分排名前5名的景点中，安全得分大于90分的景点有3个，
∴从交通得分排名前5名的景点中任取1个，其安全得分大于90分的概率为．
（2）结合两图象可知景点总分排名前6名的景点中，安全得分不大于90分的景点有2个，
ξ的可能取值为0，1，2．
P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），
∴ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P

∴E（ξ）＝0121．
（3）由图象可知26个景点的交通得分全部在80分以上，主要集中在85分附近，
安全得分主要集中在80分附近，且80分以下的景点接近一半，故而．
【点睛】此题考查根据散点图求古典概型，分布列和数学期望，关键在于准确求出概率，根据图象中散点图特征判定平均值的大小关系.
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