2022北京东城高二(上)期末数学(教师版).docx

2022北京东城高二（上）期末
数 学
一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．下列直线中，倾斜角为锐角的是　　
A． B． C． D．
2．已知为等差数列，且，，则　　
A．12 B．9 C．6 D．3
3．抛物线的焦点到准线的距离为　　
A．16 B．8 C．4 D．2
4．已知平面，的法向量分别为，1，，，，，且，则　　
A． B．1 C． D．
5．已知的三个顶点是，，，则边上的高所在的直线方程为　　
A． B． C． D．
6．设数列的前项和为，若，，，则，，，中，最大的是　　)
A． B． C． D．
7．在长方体中，，，点，分别在棱，上，，，则　　

A．1 B． C．2 D．
8．“”是“圆与轴相切”的　　
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知抛物线过点，点为平面直角坐标系平面内一点，若线段的垂直平分线过抛物线的焦点，则点与原点间的距离的最小值为　　
A． B．2 C． D．3
10．均匀压缩是物理学一种常见现象．在平面直角坐标系中曲线的均匀压缩，可用曲线上点的坐标来描述．设曲线上任意一点，若将曲线纵向均匀压缩至原来的一半，则点的对应点为．同理，若将曲线横向均匀压缩至原来的一半，则曲线上点的对应点为．若将单位圆先横向均匀压缩至原来的一半，再纵向均匀压缩至原来的，得到的曲线方程为　　
A． B． C． D．
二、填空题：共6小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）若过点和的直线与直线平行，则　　．
12．（4分）写出一个离心率且焦点在轴上的双曲线的标准方程 　　，并写出该双曲线的渐近线方程 　　．
13．（4分）已知数列满足，，若，则　　．
14．（4分）已知点，2，，平面过，0，，，1，，，1，三点，则点到平面的距离为 　　．
15．（4分）1970年4月我国成功发射了第一颗人造地球卫星“东方红一号”，这颗卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆．已知卫星的近地点（离地面最近的点）距地面的高度约为，远地点（离地面最远的点）距地面的高度约为，且地心、近地点、远地点三点在同一直线上，地球半径约为，则卫星运行轨道是上任意两点间的距离的最大值为 　　．
16．（4分）如图，在棱长都为1的平行六面体中，，，两两夹角均为，则　　；请选择该平行六面体的三个顶点，使得经过这三个顶点的平面与直线垂直．这三个顶点可以是 　　．

三、解答题：共5小题，共46分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17．（8分）已知圆的方程为．
（Ⅰ）求圆的圆心及半径；
（Ⅱ）是否存在直线满足：经过点，且____？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．
从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：
条件①：被圆所截得的弦长最长；
条件②：被圆所截得的弦长最短；
条件③：被圆所截得的弦长为8．
18．（9分）某学校一航模小组进行飞机模型飞行高度实验，飞机模型在第一分钟时间内上升了10米高度．若通过动力控制系统，可使飞机模型在以后的每一分钟上升的高度都是它在前一分钟上升高度的．
（Ⅰ）在此动力控制系统下，该飞机模型在第三分钟内上升的高度是多少米？
（Ⅱ）这个飞机模型上升的最大高度能超过50米吗？如果能，求出从第几分钟开始高度超过50米；如果不能，请说明理由．
19．（10分）如图，四棱锥中，底面为正方形，底面，，点，，分别为，，的中点，平面棱．
（Ⅰ）试确定的值，并证明你的结论；
（Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值．

20．（10分）已知椭圆过点，且离心率．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点为椭圆的左焦点，点，过点作的垂线交椭圆于点，，连接与交于点．
①若，求；
②求的值．
21．（9分）设等差数列的各项均为整数，且满足对任意正整数，总存在正整数，使得，则称这样的数列具有性质．
（Ⅰ）若数列的通项公式为，数列是否具有性质？并说明理由；
（Ⅱ）若，求出具有性质的数列公差的所有可能值；
（Ⅲ）对于给定的，具有性质的数列是有限个，还是可以无穷多个？（直接写出结论）

参考答案
一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．【分析】根据斜率的正负判断其倾斜角的范围即可．
【解答】解：对于，是锐角，
对于，是钝角，
对于，是角，
对于不存在，是直角，
故选：．
【点评】本题考查了直线的倾斜角问题，是一道基础题．
2．【分析】由已知先求，再由等差中项的概念求解．
【解答】解：在等差数列中，由，得，即，
又，且，
．
故选：．
【点评】本题考查等差数列的性质，考查运算求解能力，是基础题．
3．【分析】直接利用抛物线的性质，求解即可．
【解答】解：抛物线，可得，
抛物线的焦点到准线的距离为：4．
故选：．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．
4．【分析】由，得，列出方程组，能求出结果．
【解答】解：平面，的法向量分别为，1，，，，，且，
，
，
解得，，
．
故选：．
【点评】本题考查面面平行的运算，考查面面平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．【分析】先求出直线的斜率，再根据两直线垂直时斜率相乘等于求出边上的高所在的直线斜率，再利用点斜式即可求出结果．
【解答】解：，，
直线的斜率为，
边上的高所在的直线斜率为，
又，
边上的高所在的直线方程为，即，
故选：．
【点评】本题主要考查了直线的一般方程，考查了两直线垂直时的斜率关系，是基础题．
6．【分析】根据已知条件判断出数列为等差数列，且公差，就可求出结果．
【解答】解：，
，故数列为等差数列，且公差，
，，
最大．
故选：．
【点评】本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题．
7．【分析】直接利用向量的共线和向量的模的应用求出结果．
【解答】解：根据题意，如图所示：

连接和，
根据，，
所以点为的三等分点；
故，
故选：．

【点评】本题考查的知识要点：平线性的性质，向量的共线，向量的模，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
8．【分析】圆与轴相切，则，即可判断．
【解答】解：圆与轴相切，
则，
故“”是“圆与轴相切”的充分不必要条件．
故选：．
【点评】本题主要考查圆与直线相切的关系，属于基础题．
9．【分析】求出的轨迹方程，利用的轨迹，判断点与原点间的距离的最小值即可．
【解答】解：抛物线过点，
可得，解得，抛物线方程，，，
点为平面直角坐标系平面内一点，若线段的垂直平分线过抛物线的焦点，
可知．
可知的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
当在一条直线上时，点与原点间的距离取得最小值：．
故选：．
【点评】本题考查轨迹方程的判断，抛物线的简单性质的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
10．【分析】设曲线上的点为，对应压缩后点的坐标为，则，进而可得，化简即可得出答案．
【解答】解：设曲线上的点为，对应压缩后点的坐标为，
所以，则，
所以，
所以，
所以得到的曲线的方程为．
故选：．
【点评】本题考查曲线的方程，解题中需要理清思路，属于中档题．
二、填空题：共6小题，每小题4分，共24分。
11．【分析】利用直线与直线平行的性质、斜率公式直接求解．
【解答】解：过点和的直线与直线平行，
，
则．
故答案为：3．
【点评】本题考查直线的斜率的求法，考查直线与直线平行的性质、斜率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12．【分析】利用离心率，推出，关系，然后写出有关双曲线方程，然后写出渐近线方程．
【解答】解：离心率且焦点在轴上的双曲线，可知，所以，
不妨取，则，
所以满足条件的双曲线方程可以为：，
渐近线方程为：，
故答案为：（答案不唯一）；．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，渐近线方程的求法，是中档题．
13．【分析】利用数列的递推关系式逐步求解即可得到数列的首项．
【解答】解：数列满足，，若，
，可得，
，．
故答案为：．
【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列项的求法，是基础题．
14．【分析】先求得平面的一个法向量，然后由求解．
【解答】解：因为，2，，，0，，，1，，，1，，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，
所以则点到平面的距离为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查点面距离的计算，属于基础题．
15．【分析】由题意这颗卫星的运行轨道为椭圆，可得椭圆上任意两点的最大距离为长轴长，由题意可得，的值，求出的值．
【解答】解：这颗卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆，则卫星运行轨道是上任意两点间的距离的最大值为，
由题意可得，，所以可得，
故答案为：15565．
【点评】本题考查椭圆的定义的应用及椭圆的性质的应用，属于基础题．
16．【分析】根据向量数量积的定义及其运算性质计算即可．
【解答】解：，
所以，同理，
因为，所以平面，
同理平面，
所以选择该平行六面体的三个顶点，使得经过这三个顶点的平面与直线垂直．这三个顶点可以是，，和，，，
故答案为：0；，，和，，．

【点评】本题考查了空间向量数量积的运算及其运算，属于中档题．
三、解答题：共5小题，共46分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17．【分析】求出圆的标准方程，则圆的圆心坐标和半径可求；
选条件①，直线过圆心，可求直线的方程；条件②，最短弦为过且与直径垂直的直线与圆相交的弦，故，可求直线方程；选条件③，设直线的方程为，化为一般式为，直线圆所截得的弦长为8，所以，求解可得的值，从而可求直线方程．
【解答】解：圆的方程，化为标准方程为，
则圆的圆心坐标为，半径；
因为，
所以点在圆内，
选条件①，所以直线过圆心，所以，所以直线的方程为，即．
选条件②，最短弦为过且与直径垂直的直线与圆相交的弦，
故，所以，所以直线的方程为，即．
选条件③，设直线的方程为，化为一般式为，
则圆心到直线的距离，
因为直线圆所截得的弦长为8，所以，
解得，所以直线方程为．
【点评】本题考查圆的方程的性质，以及考查直线与圆的位置关系，属中档题．
18．【分析】根据已知条件，即可直接求得该飞机模型在第三分钟内上升的高度是．
根据已知条件，结合等比数列的前项和公式，即可求解．
【解答】解：飞机模型在第一分钟时间内上升了10米高度，且机模型在以后的每一分钟上升的高度都是它在前一分钟上升高度的，
该飞机模型在第三分钟内上升的高度是米．
不能超过，
由题意可得，飞机模型每分钟上升的高度构成，的等比数列，
则，
故这个飞机模型上升的最大高度不能超过50米．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握等比数列的前项和公式是解本题的关键，属于基础题．
19．【分析】，利用线面平行的判定和性质可得答案；
以 为原点，，， 所在直线分别为，， 的正方向建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量和平
面 的法向量由向量夹角公式可得答案．
【解答】证明：．
证明如下：
在 中，因为点，分别为，的中点，
所以．
又平面，平面，
所以平面．
因为平面，平面平面，
所以．
所以．
在中，因为点为的中点，
所以点为的中点，即．
解：因为底面为正方形，所以．
因为底面，
所以，．
如图，建立空间直角坐标系，

则，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，
因为，，分别为，，的中点，
所以，0，，，1，，，2，．
所以．
设平面的法向量，则
即
令，，，于是，1，．
又因为平面的法向量为，1，，
所以．
所以平面与平面夹角的余弦值为．

【点评】本题考查利用向量法求二面角，考查学生的运算能力，属于难题．
20．【分析】（Ⅰ）根据题意列出关于，，的方程组，解方程可得，的值，从而求得椭圆方程；
（Ⅱ）①联立直线的方程与椭圆的方程，解得，坐标可得；
②依题意显然斜率存在，，分和两种情况分别求解即可．
【解答】解：由题意得
解得，．
所以椭圆的方程为．
①当时，直线的斜率，
则的垂线的方程为，
由 得，
解得，
故；
②由，，显然斜率存在，，
当时，，
当时，直线过点且与直线垂直，则直线方程为，
由得，
显然 △，
设，，，，
则，
则，中点，
直线的方程为，
由 得，
所以．
综上，的值为1．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合，属于中档题．
21．【分析】由题意，由性质的定义，即可知是否具有性质．
由题设，存在，结合已知得且，则，由性质的定义只需保证为整数即可确定公差的所有可能值；
根据 （2）的思路，可得 且，由为整数，在 为定值只需为整数，即可判断数列的个数是否有限．
【解答】解：由，对任意正整数，，
说明仍为数列中的项，
数列具有性质．
设 的公差为．由条件知：，则，
即，必有 且，则，
而此时对任意正整数，，
又，为一奇一偶，即为整数，
因此，只要为整数，那么 为中的一项．
易知：可取，3，对应得到3个满足条件的等差数列．
同（2）知：，则，
必有且，则，
故任意给定，公差均为有限个，
具有性质的数列是有限个．
【点评】本题考查数列的应用，考查学生的综合能力，属于难题．

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