专题2-7-绝对值贯穿有理数的经典考法【七大题型】(浙教版)(原卷版).docx

专题2.7 绝对值贯穿有理数的经典考法【七大题型】
【浙教版】

【题型1 利用绝对值性质化简或求值】 1
【题型2 根据绝对值的非负性求值】 1
【题型3 根据绝对值的定义判断正误】 2
【题型4 根据绝对值的意义求取值范围】 2
【题型5 绝对值中的分类讨论之a|a|类型问题】 3
【题型6 绝对值中的分类讨论之多绝对值问题】 3
【题型7 绝对值中的最值问题】 4

【题型1 利用绝对值性质化简或求值】
【例1】（2022•博湖县校级期中）已知实数a，b满足|a|＝b，|ab|+ab＝0，化简|a|+|﹣2b|﹣|3b﹣2a|．
【变式1-1】如图表示在数轴上四个点p，q，r，s位置关系，若|p﹣r|＝10，|p﹣s|＝12，|q﹣s|＝9，则|q﹣r|＝　　．
【变式1-2】已知a，b，c，d满足a＜﹣1＜b＜0＜c＜1＜d，且|a+1|＝|b+1|，|1﹣c|＝|1﹣d|，那么a+b+c+d＝　　．
【变式1-3】化简：
（1）|2x﹣1|；（2）|x﹣1|+|x﹣3|；（3）||x﹣1|﹣2|+|x+1|．
【题型2 根据绝对值的非负性求值】
【例2】（2022春•诸暨市月考）已知|a﹣3|+|2ab﹣8|+|c﹣2|＝0，求a+3b﹣c的值．
【变式2-1】（2022秋•梅州校级月考）若|x﹣2|+|y+3|＝0，计算：
（1）x，y的值．
（2）求|x|+|y|的值．
【变式2-2】（2022秋•南江县校级期中）已知|﹣x+7|与|﹣2y﹣1|互为相反数，求2y−27x的值．
【变式2-3】（2022•涞水县期末）已知x为实数，且|3x﹣1|+|4x﹣1|+|5x﹣1|+…+|17x﹣1|的值是一个确定的常数，则这个常数是（　　）
A．5 B．10 C．15 D．75
【题型3 根据绝对值的定义判断正误】
【例3】（2022春•肇源县期末）下面四个式子中，正确的是（　　）
A．若a≠b，那么a2≠b2 B．若a＞|b|，那么a2＞b2
C．若|a|＞|b|，那么a＞b D．若a2＞b2那么a＞b
【变式3-1】（2022秋•全椒县期中）已知a|a|+b|b|=0，有以下结论：
①a，b一定互为相反数； ②ab＜0； ③a+b＜0； ④ab|ab|=−1
其中正确的是　 　．（把所有正确结论的序号都填上）
【变式3-2】（2022秋•和平区期中）设y＝|x﹣1|+|x+1|，则下面四个结论中正确的是（　　）
A．y没有最小值
B．只有一个x使y取最小值
C．有限个x（不止一个）y取最小值
D．有无穷多个x使y取最小值
【变式3-3】（2022秋•青山区期中）若a，b为有理数，下列判断：（1）若|a|＝b，则一定有a＝b；（2）若|a|＞|b|，则一定有a＞b；（3）若|a|＞b，则一定有|a|＞|b|；（4）若|a|＝b，则一定有a2＝（﹣b）2．其中正确的是（　　）
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（4）
【题型4 根据绝对值的意义求取值范围】
【例4】（2022秋•海淀区校级期中）若不等式|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|≥a对一切数x都成立，则a的取值范围是　 　．
【变式4-1】（2021秋•长春期中）如果|﹣2a|＝﹣2a，则a的取值范围是（　　）
A．a＞0 B．a≥0 C．a≤0 D．a＜0
【变式4-2】（2022•吉首市校级月考）若m是有理数，则|m|+m的值（　　）
A．不可能是正数
B．一定是正数
C．不可能是负数
D．可能是正数，也可能是负数
【变式4-3】（2022秋•长沙校级期中）（1）比较下列各式的大小（用＜或＞或＝连接）
①|﹣2|+|3|　　|﹣2+3|；
②|﹣2|+|﹣3|　　|﹣2﹣3|；
③|﹣2|+|0|　　|﹣2+0|；
（2）通过以上的特殊例子，请你分析、补充、归纳，当a、b为有理数时，|a|+|b|与|a+b|的大小关系；
（3）根据上述结论，求当|x|+2015＝|x﹣2015|时，x的取值范围．
【题型5 绝对值中的分类讨论之a|a|类型问题】
【例5】（2022秋•江阳区校级期中）有理数a、b在数轴上的对应点位置如图所示
（1）用“＜”连接0、﹣a、﹣b、﹣1
（2）化简：|a|﹣2|a+b﹣1|−13|b﹣a﹣1|
（3）若c•（a2+1）＜0，且c+b＞0，求|c+1|c+1+|c−1|c−1−|a−b+c|a−b+c的值．

【变式5-1】（2022秋•顺平县期中）设a、b、c、d为有理数，且|abcd|abcd=1，则|a|a+|b|b+|c|c+|d|d的值为　 ．
【变式5-2】（2022秋•鄂州校级月考）若0＜a＜1，﹣2＜b＜﹣1，则|a−1|a−1−|b+2|b+2+|a+b|a+b的值是　 　．
【变式5-3】（2022秋•西城区校级期中）有理数a，b，c均不为0，且a+b+c＝0．设x=||a|b+c+|b|c+a+|c|a+b|，试求代数式x19+99x+2000之值．
【题型6 绝对值中的分类讨论之多绝对值问题】
【例6】（2022•河北模拟）（1）数轴上两点表示的有理数是a、b，求这两点之间的距离；
（2）是否存在有理数x，使|x+1|+|x﹣3|＝x？
（3）是否存在整数x，使|x﹣4|+|x﹣3|+|x+3|+|x+4|＝14？如果存在，求出所有的整数x；如果不存在，说明理由．
【变式6-1】（2022春•宝山区校级月考）已知|a﹣1|+|a﹣4|＝3，则a的取值范围为　 ．
【变式6-2】（2022秋•玉门市期末）在数轴上有四个互不相等的有理数a、b、c、d，若|a﹣b|+|b﹣c|＝c﹣a，设d在a、c之间，则|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|＝（　　）
A．d﹣b B．c﹣b C．d﹣c D．d﹣a
【变式6-3】（2022秋•顺平县期中）已知a，b，c，d都是整数，且|a+b|+|b+c|+|c+d|+|d+a|＝2，则|a+d|＝　 　．
【题型7 绝对值中的最值问题】
【例7】（2022秋•鼓楼区校级月考）已知（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣2|+|y+1|）（|z﹣3|+|z+1|）＝36，求2016x+2017y+2018z的最大值和最小值
【变式7-1】当|x﹣2|+|x﹣3|的值最小时，|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣1|的值最大是　　，最小是　 　．
【变式7-2】（2022秋•海安市月考）阅读下列有关材料并解决有关问题．
我们知道|x|=x(x＞0)0(x=0)−x(x＜0)，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1和x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在有理数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：x＜﹣1；﹣1≤x＜2；x≥2．从而在化简|x+1|+|x﹣2|时，可分以下三种情况：①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②当﹣1≤x＜2时，原式＝（x+1）﹣（x﹣2）＝3；③当x≥2时，原式＝（x+1）+（x﹣2）＝2x﹣1．通过以上阅读，请你解决问题：
（1）|x﹣3|+|x+4|的零点值是 　 　；
（2）化简代数式|x﹣3|+|x+4|；
（3）解方程|x﹣3|+|x+4|＝9；
（4）|x﹣3|+|x+4|+|x﹣2|+|x﹣2000|的最小值为 　 　，此时x的取值范围为 　 　．
【变式7-3】（2022秋•泉州期末）四个数分别是a，b，c，d，满足|a﹣b|+|c﹣d|=1n|a﹣d|，（n≥3且为正整数，a＜b＜c＜d）．
（1）若n＝3．
①当d﹣a＝6时，求c﹣b的值；
②对于给定的有理数e（b＜e＜c），满足|b﹣e|=49|a﹣d|，请用含b，c的代数式表示e；
（2）若e=12|b﹣c|，f=12|a﹣d|，且|e﹣f|＞110|a﹣d|，试求n的最大值．