“函数与导数”小题强化保分练.doc

“函数与导数”小题强化保分练
1．(2021·成都石室中学高三三模)已知函数f(x)＝aex＋x2的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝(2e＋2)x＋b，那么ab＝(　　)
A．2　　　　　　　　　　 B．1
C．－1 D．－2
解析：选D　因为f(x)＝aex＋x2，所以f′(x)＝aex＋2x，因此切线方程的斜率k＝f′(1)＝ae＋2，所以有ae＋2＝2e＋2，得a＝2.
又切点在切线上，可得切点坐标为(1,2e＋2＋b)，
将切点代入f(x)中，有f(1)＝2e＋1＝2e＋2＋b，得b＝－1，所以ab＝－2.
2．(2021·金华三模)函数f(x)＝ln|x|＋sin x在[－π，π]上的图象大致为(　　)

解析：选D　因为f(－x)＝ln|x|－sin x，既不满足f(－x)＝f(x)，也不满足f(－x)＝－f(x)，
所以是非奇非偶函数，排除A和B.
令f(x1)＝f(x2)＝0，且x1∈[－π，0)，x2∈(0，π]，因为f(1)＝sin 1>0，所以x2∈(0,1)，又f＝ln＋sin＝ln－1＝ln<0，f(－π)＝ln π－sin π＝ln π>0，所以x1∈，故选D.
3．函数f(x)＝－ln x＋2x2的递增区间是(　　)
A.和
B.∪
C.
D.
解析：选D　由f(x)＝－ln x＋2x2，得f′(x)＝－＋4x＝(x>0)，
令f′(x)>0，即4x2－1>0，解得x>，
所以函数f(x)＝－ln x＋2x2的递增区间是.
4．(2021·常州三模)已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x＋1)＝(x＋1)f(x)，则f的值是(　　)
A．0 B.
C．1 D.
解析：选A　当x≠－1且x≠0时，由xf(x＋1)＝(x＋1)f(x)，得＝，
令g(x)＝，则g(x)是周期为1的函数，
所以g＝g＝2f.
当x＝－时，由xf(x＋1)＝(x＋1)f(x)得，
－f＝f，
又f(x)是偶函数，所以f＝f，
所以f＝0，
所以g＝2f＝0，
所以f＝g＝0.
5．(2021·运城二模)下列函数中，图象关于原点对称且在定义域上单调递增的是(　　)
A．f(x)＝sin x－2x B．f(x)＝ln(x－1)＋ln(x＋1)
C．f(x)＝ D．f(x)＝
解析：选D　A选项中，f′(x)＝cos x－2≤0，则函数是单调递减函数，不符合题意；B选项中，定义域为(1，＋∞)，不关于原点对称，不符合题意；C选项中，因为f(－x)＝＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，不符合题意；D选项中，函数f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，又因为f(x)＝＝1－，由复合函数同增异减可判断其在定义域上单调递增，满足题意．
6．(2022届·郑州质检)函数f(x)＝xln x－x在上的最小值为(　　)
A．－ B．－1
C．0 D．2ln 2－2
解析：选B　因为f′(x)＝ln x，所以f(x)在上单调递减，在(1,2]上单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝－1.

7.(2021·温州三模)函数f(x)＝的图象如图所示，则(　　)
A．a<0，b＝0，c<0
B．a<0，b<0，c＝0
C．a>0，b＝0，c>0
D．a>0，b＝0，c<0
解析：选D　由图象可知，函数为偶函数，即f(－x)＝f(x)，即＝，则b＝0，B不正确；
由图象可知，ax2＋bx＋c＝0有解，即ac<0，故A、C不正确，故选D.
8．(2021·成都双流中学高三三模)设a＝log0.10.2，b＝log1.10.2，c＝1.20.2，则(　　)
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
解析：选A　a＝log0.10.2>log0.11＝0，a＝log0.10.2<log0.10.1＝1，b＝log1.10.2<log1.11＝0，c＝1.20.2>1.20＝1，∴c>a>b，故选A.
9．设f(x)，g(x)是定义域为R的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当a<x<b时，有(　　)
A．f(x)g(x)>f(b)g(b) B．f(x)g(b)>f(b)g(x)
C．f(x)g(a)>f(a)g(x) D．f(x)g(x)>f(a)g(a)
解析：选B　设F(x)＝，则F′(x)＝，由f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0得F′(x)<0，因为a<x<b，所以<<， 又f(x)，g(x)是定义域为R的恒大于0的可导函数，故f(x)g(b)>f(b)g(x)．
10．若函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　当a＝0时，f(x)＝2x－3，因为2>0，所以函数f(x)＝2x－3是整个实数集上的增函数，故在区间(－∞，4)上也是单调递增的，符合题意；
当a≠0时，要想函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，只需满足：⇒－≤a<0.
综上所述，实数a的取值范围为.
11．(多选)(2021·珠海二模)已知函数f(x)＝－x2ln x，则(　　)
A．f(x)≤0恒成立
B．f(x)是(0，＋∞)上的减函数
C．f(x)在x＝e－得到极大值
D．f(x)只有一个零点
解析：选CD　∵f(x)＝－x2ln x，该函数的定义域为(0，＋∞)，∴f′(x)＝－2xln x－x＝－x(2ln x＋1)．
当0<x<e－时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增，
当x>e－时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减，
∴f(x)极大值＝f＝－e－1ln e－＝，故B选项错误，C选项正确；
当0<x<1时，ln x<0，此时f(x)＝－x2ln x>0，A选项错误；由f(x)＝－x2ln x＝0，可得ln x＝0，解得x＝1，D选项正确．
12．(多选)设函数f(x)＝min{|x－2|，x2，|x＋2|}，其中min{x，y，z}表示x，y，z中的最小者，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)为偶函数
B．当x∈[1，＋∞)时，f(x－2)≤f(x)
C．当x∈R时，f(f(x))≤f(x)
D．当x∈[－4,4]时，|f(x)－2|≥f(x)
解析：选ABC　在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝|x－2|，y＝x2，y＝|x＋2|的图象如图所示，由图可知，f(x)＝
显然f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数，故A正确；当x≥1时，f(x)＝|x－2|，f(x－2)的图象可由f(x)的图象向右平移2个单位长度得到，显然当x≥1时，f(x)的图象不在f(x－2)图象的下方，即当x∈[1，＋∞)时，f(x－2)≤f(x)，故B正确；由图可知，当x∈R时，f(x)≥0，令t＝f(x)，t≥0，由y＝f(t)和y＝t(t≥0)的图象可知，当t≥0时，直线y＝t不在曲线y＝f(t)的下方，所以当t≥0时，t≥f(t)，即f(f(x))≤f(x)，故C正确；当x∈[－4,4]时，f(－4)＝2，f(－4)－2＝0，显然f(－4)>|f(－4)－2|，故D不正确．故选A、B、C.
13．(2021·广德实验中学高三月考)基础建设对社会经济效益产生巨大的作用．某市投入a亿元进行基础建设，t年后产生f(t)＝aeλt亿元社会经济效益．若该市投资基础建设4年后产生的社会经济效益是投资额的2倍，则再过________年，该项投资产生的社会经济效益是投资额的8倍．
解析：由条件得ae4λ＝2a，所以λ＝，即f(t)＝ae.设投资t年后，产生的社会经济效益是投资额的8倍，则有ae＝8a，解得t＝12.所以再过12－4＝8年，该项投资产生的社会经济效益是投资额的8倍．
答案：8
14．(2021·宜昌一模)设函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)＋ax(a>0)，若f(x)在(0,1]上的最大值为，则a＝________________________________________________________________________.
解析：∵f(x)＝ln x＋ln(2－x)＋ax的定义域为(0,2)，
∴f′(x)＝＋＋a＝＋a，
∵x∈(0,1]，a>0，∴f′(x)＝＋a>0，
∴f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a＝.
答案：
15．(2021·武汉模拟)当x≠0时，函数f(x)满足x<f(x)<ex－1，写出一个满足条件的函数解析式f(x)＝________.
解析：设f(x)＝，f(x)－x＝－x＝＝g(x)，
所以g′(x)＝(ex－1)，所以g(x)在(0，＋∞)单调递增，在(－∞，0)单调递减，
所以g(x)>g(0)＝0，所以f(x)>x；
又f(x)－(ex－1)＝－ex＋1＝＝－(ex－x－1)＝－g(x)<0，
所以f(x)<ex－1.故f(x)＝满足题意．
答案：(答案不唯一)
16．已知定义在R上的奇函数f(x)，设其导函数为f′(x)，当x∈(－∞，0)时，恒有xf′(x)<f(－x)，令F(x)＝xf(x)，则满足F(3)>F(2x－1)的实数x的取值集合是________．
解析：构造函数F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝f(x)＋xf′(x)，由于f(－x)＝－f(x)，因此xf′(x)<f(－x)化为xf′(x)<－f(x)，即xf′(x)＋f(x)<0，也即F′(x)＝f(x)＋xf′(x)<0，故当x∈(－∞，0)时，函数F(x)＝xf(x)是单调递减函数．又F(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝F(x)，故函数F(x)＝xf(x)是偶函数，依据偶函数的对称性可知函数F(x)＝xf(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数，故不等式F(3)>F(2x－1)可化为|2x－1|<3⇒－1<x<2.
答案：(－1,2)