2020年高考数学一轮(江苏理)-第4章-4-2-同角三角函数基本关系式及诱导公式.docx

§4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式
考情考向分析　考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合起到化简三角函数关系的作用，强调利用三角公式进行恒等变形的技能以及基本的运算能力．题型为填空题，低档难度．

1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan α.
2．三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
－α
π－α
π＋α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin α
sin α
－sin α
cos α
cos α
余弦
cos α
cos α
－cos α
－cos α
sin α
－sin α
正切
tan α
－tan α
－tan α
tan α

口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限

概念方法微思考
1．使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？
提示　根据角所在象限确定三角函数值的符号．
2．诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？
提示　所有诱导公式均可看作k·±α(k∈Z)和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k是奇数还是偶数．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　×　)
(2)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　×　)
(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　×　)
(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　×　)

题组二　教材改编
2．[P18T3]若sin α＝，<α<π，则tan α＝ .
答案　－
解析　∵<α<π，∴cos α＝－＝－，
∴tan α＝＝－.
3．[P22T1]已知tan α＝2，则的值为 ．
答案　3
解析　原式＝＝＝3.
4．[P22T4]化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为 ．
答案　－sin2α
解析　原式＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α.

题组三　易错自纠
5．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为 ．
答案　－
解析　∵sin θ＋cos θ＝，∴sin θcos θ＝.
又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，θ∈，
∴sin θ－cos θ＝－.
6．已知α为锐角，cos＝，则cos(π＋α)＝ .
答案　－
解析　∵cos＝sin α＝，且α为锐角，
∴cos α＝，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－.
7．已知cos α＝，－<α<0，则的值为 ．
答案　
解析　∵－<α<0，
∴sin α＝－ ＝－，∴tan α＝－2.
则＝
＝－＝＝.

题型一　同角三角函数基本关系式的应用

1．已知α是第四象限角，sin α＝－，则tan α＝ .
答案　－
解析　因为α是第四象限角，sin α＝－，
所以cos α＝＝，
故tan α＝＝－.
2．若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝ .
答案　
解析　tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝＝＝.
3．若角α的终边落在第三象限，则＋的值为 ．
答案　－3
解析　由角α的终边落在第三象限，
得sin α<0，cos α<0，
故原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3.
4．已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝ .
答案　－1
解析　由
消去sin α，得2cos2α＋2cos α＋1＝0，
即(cos α＋1)2＝0，∴cos α＝－.
又α∈(0，π)，∴α＝，
∴tan α＝tan ＝－1.
思维升华 (1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．
(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.

题型二　诱导公式的应用
例1 (1)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是 ．
答案　{2，－2}
解析　当k为偶数时，A＝＋＝2；
当k为奇数时，A＝－＝－2.
∴A的值构成的集合是{2，－2}．
(2)化简：＝ .
答案　－1
解析　原式＝
＝＝
＝－＝－·＝－1.
思维升华 (1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
(2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.
跟踪训练1 (1)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，则＝ .
答案　
解析　由已知得tan θ＝3，
∴＝
＝＝.
(2)已知f(α)＝(sin α≠0,1＋2sin α≠0)，则f＝ .
答案　
解析　∵f(α)＝
＝＝＝，
∴f ＝＝＝＝.
题型三　同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
例2 (1)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是 ．
答案　
解析　由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0，解得tan α＝3，又α为锐角，sin2α＋cos2α＝1，故sin α＝.
(2)已知－π<x<0，sin(π＋x)－cos x＝－.
①求sin x－cos x的值；
②求的值．
解　①由已知，得sin x＋cos x＝，
两边平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，
整理得2sin xcos x＝－.
∵(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝，
由－π<x<0知，sin x<0，
又sin xcos x＝－<0，
∴cos x>0，∴sin x－cos x<0，
故sin x－cos x＝－.
②＝
＝＝＝－.
引申探究
本例(2)中若将条件“－π<x<0”改为“0<x<π”，求sin x－cos x的值．
解　若0<x<π，又2sin xcos x＝－，
∴sin x>0，cos x<0，
∴sin x－cos x>0，故sin x－cos x＝.
思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．
跟踪训练2 (1)(2018·南京模拟)已知角θ的终边在第三象限，tan 2θ＝－2，则sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－cos2θ＝ .
答案　
解析　由tan 2θ＝－2可得tan 2θ＝＝－2，
即tan2θ－tan θ－＝0，
解得tan θ＝或tan θ＝－.
又角θ的终边在第三象限，故tan θ＝，
故sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－cos2θ
＝sin2θ＋sin θcos θ－cos2θ
＝
＝＝＝.
(2)已知sin α＝，则tan(π＋α)＋＝ .
答案　或－
解析　∵sin α>0，∴α为第一或第二象限角，
tan(α＋π)＋＝tan α＋
＝＋＝.
①当α是第一象限角时，cos α＝＝，
原式＝＝；
②当α是第二象限角时，cos α＝－＝－，
原式＝＝－.
综合①②知，原式＝或－.

1．已知α是第四象限角，tan α＝－，则sin α＝ .
答案　－
解析　因为tan α＝－，
所以＝－，
所以cos α＝－sin α，
代入sin2α＋cos2α＝1，解得sin α＝±，
又α是第四象限角，所以sin α＝－.
2．已知tan(α－π)＝，且α∈，则sin＝ .
答案　－
解析　tan(α－π)＝tan α＝，
由解得cos α＝±.
又因为α∈，
所以cos α＝－，
所以sin＝cos α＝－.
3．满足等式cos 2x－1＝3cos x(x∈[0，π])的x的值为 ．
答案　
解析　由题意可得，2cos2x－3cos x－2＝0，解得cos x＝－或cos x＝2(舍去)．又x∈[0，π]，故x＝.
4．sin π·cos π·tan的值是 ．
答案　－
解析　原式＝sin·cos·tan
＝··
＝××(－)＝－.
5．(2019·江苏省扬州中学月考)设函数f(x)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x，当0≤x≤π时，f(x)＝0，则f ＝ .
答案　
解析　∵函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x，
当0≤x≤π时，f(x)＝0，
∴f ＝f ＋sin
＝f ＋sin＋sin
＝f ＋sin＋sin＋sin
＝0＋－＋＝.
6．设tan α＝3，则＝ .
答案　2
解析　∵tan α＝3，∴原式＝＝＝＝2.
7．(2018·如东高级中学阶段测试)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线2x－y＝0上，则＝ .
答案　2
解析　∵角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线2x－y＝0上，
∴tan θ＝2，
＝＝＝2.
8．若θ∈，则 ＝ .
答案　sin θ－cos θ
解析　因为
＝＝
＝|sin θ－cos θ|，
又θ∈，所以sin θ－cos θ>0，
所以原式＝sin θ－cos θ.
9．已知sin x＋cos x＝，x∈(0，π)，则tan x＝ .
答案　－
解析　由题意可知sin x＋cos x＝，x∈(0，π)，则(sin x＋cos x)2＝，
因为sin2x＋cos2x＝1，
所以2sin xcos x＝－，即＝＝－，得tan x＝－或tan x＝－.
当tan x＝－时，sin x＋cos x<0，不合题意，舍去，所以tan x＝－.
10．已知sin＝，则sin＋sin2的值为 ．
答案　
解析　由诱导公式得sin＝－sin＝－，
sin2＝cos2＝，
则sin＋sin2＝－＋＝.
11．已知0<α<，若cos α－sin α＝－，则的值为 ．
答案　
解析　因为cos α－sin α＝－，①
所以1－2sin αcos α＝，
即2sin αcos α＝.
所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋＝.
又0<α<，
所以sin α＋cos α>0.
所以sin α＋cos α＝.②
由①②得sin α＝，cos α＝，tan α＝2，
所以＝.
12．已知k∈Z，化简：＝ .
答案　－1
解析　当k＝2n(n∈Z)时，
原式＝
＝
＝＝－1；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
原式＝
＝
＝＝－1.
综上，原式＝－1.

13．若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为 ．
答案　1－
解析　由题意知方程的两根为，
∴sin θ＋cos θ＝－，sin θcos θ＝，
又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，
∴＝1＋，
解得m＝1±，又Δ＝4m2－16m≥0，
∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.
14．已知A，B为△ABC的两个内角，若sin(2π＋A)＝－·sin(2π－B)，cos A＝－cos(π－B)，则B＝ .
答案　
解析　由已知得
化简得2cos2A＝1，即cos A＝±.
当cos A＝时，cos B＝，
又A，B是三角形内角，∴B＝；
当cos A＝－时，cos B＝－，
又A，B是三角形内角，
∴A＝，B＝，不合题意，舍去，
综上可知B＝.

15．已知α，β∈，且sin(π－α)＝cos.cos(－α)＝－cos(π＋β)，求α，β.
解　由已知可得
∴sin2α＋3cos2α＝2，
∴sin2α＝，又α∈，
∴sin α＝，α＝.
将α＝代入①中得sin β＝，又β∈，
∴β＝，
综上α＝，β＝.
16．已知cos＋sin＝1.求cos2＋cos β－1的取值范围．
解　由已知得cos β＝1－sin α.
∵－1≤cos β≤1，
∴－1≤1－sin α≤1，
又－1≤sin α≤1，
可得0≤sin α≤1，
∴cos2＋cos β－1
＝sin2α＋1－sin α－1＝sin2α－sin α
＝2－.(*)
又0≤sin α≤1，
∴当sin α＝时，(*)式取得最小值－，
当sin α＝0或sin α＝1时，(*)式取得最大值0，
故所求范围是.