2022年初升高物理衔接讲义--11-高中物理学习的数学基础——三角函数和角的弧度制(学生版).docx

专题11 高中物理学习的数学基础
——三角函数和角的弧度制
知识精讲

一、锐角三角函数
1.1锐角三角函数的定义
(1)直角三角形的三条边：
如图所示，在直角三角形ΔABC中，∠C是直角。则AC、BC叫做直角边，AB叫做斜边。∠A、∠B都是锐角。对于∠A来说，AC叫做∠A的邻边，BC叫做∠A的对边。

(2)锐角三角函数
初中几何课本中给出锐角三角函数的定义，是依据这样一个基本事实：在直角三角形中，当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值是一个固定的值。
关于这点，我们看下图，图中的直角三角形AB1C1，AB2C2，AB3C3，…都有一个相等的锐角A，即锐角A取一个固定值。如图所示，许许多多直角三角形中相等的那个锐角叠合在一起，并使一条直角边落在同一条直线上，那么斜边必然都落在另一条直线上。不难看出：

B1C1∥B2C2∥B3C3∥…，
∵△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽…，

因此，在这些直角三角形中，∠A的对边与斜边的比值是一个固定的值。
根据同样道理，由“相似形”知识可以知道，在这些直角三角形中，∠A的对边与邻边的比值，∠A的邻边与斜边的比值都分别是某个固定的值。
这样，在△ABC中，∠C为直角，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作SinA；锐角A邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作CosA；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tgA；锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，于是我们得到锐角A的四个锐角三角函数。
三角函数定义如下：
设∠A=α，并令AC=x，BC=y，AB=r，则α的四个三角函数值定义为：

∠A 的正弦、余弦、正切、余切统称为三角函数(高中数学还将会学到其它的三角函数名称)。
1.2 锐角三角函数的主要性质
1. 三角函数值只是一个比值，由角的大小唯一确定，与直角三角形的边长无关。
2．Sinα、Cosα、tanα、cotα均为正值。
3.当0<α<90°时，正弦与正切函数为增函数；余弦与余切函数为减函数
4.对于同一个角α，存在如下的关系：
①平方和关系：

②比值的关系：

③倒数关系：

5. 若α、β互为余角，则有：
Sinα=Cosβ,Cosα=Sinβ,tanα=cotβ,cotα=tanβ
6．若α、β互为补角，则有：
Sinα= Sin(1800-β)= Sinβ Cosα= Cos(1800-β)=- Cosβ
tanα= tan(1800-β)=- tanβ cotα= cot(1800-β)=- cotβ

1.3 0－90°之间的特殊角的各三角函数值：
高中物理计算中经常用到0、30°、37°、45°、53°、60°、90°的角的三角函数的值。现把这些值列在下面的表格中，这些值都是要求记忆的。其它角度的三角函数的值可以查数学用表或用计算器来算
角度
00
300
370
450
530
600
900
sin

cos

tan

cot

表格中的370和530角同学们在初中很少遇到，但我们在高中物理中经常要用到它们。其实这两个角也是大家很熟悉的，还记得“勾3股4弦必5”吧？在这个直角三角形中，长为5的边所对的是直角，长为3的边所对的锐角就是370，长为4的边对的角就是530。

1.4 正余弦定理

正弦定理
余弦定理 a2=b2=c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB c2=a2+b2-2abcosA
1.5 直线方程
直线y=kx+b图线如图所示

1．直线的斜率k
2．纵截距y0和横截距x0：直线与x、y轴的交点A、B到原点O的距离就是纵截距y0和横截距x0，分别等于x=0和y=0时y的值、x的值，即y0=b x0=
直线的斜率k和纵横截距是图象问题的重要手和方法

1.6 一元二次函数
一元二次函数 y=ax2+bx+c
(1)顶点坐标公式
(2)判别式
1) 图象与x轴有两个交点
2) 图象与x轴只有一个交点
3) 图象与x轴没有交点
(3)配方
主要用于解决极值问题，尤其判别式法是一种非常有效的方法，如解答追击问题。

2. 角的弧度制表示
2．1 弧度制——另一种度量角的单位制
角的单位，除了我们熟知的“度、分、秒”以外，还可以用另一个单位——弧度。它的单位是“弧度”，记作rad ，读作弧度。
在一个圆中，圆心角的弧度值等于圆弧的长度除以圆的半径。所以，当圆弧的长度等于圆的半径长度时，这段圆弧所对的圆心角称为1弧度的角。如图：

∠AOB=1rad ∠AOC=2rad
2. 2 角度制与弧度制的换算
显然，一个平角是，对应的弧长就是一个“半圆”，如果这个圆的半径是R，那么这段弧长就是πR，所以，180°的角用弧度做单位就是180°=Rπ/R =π弧度πrad。这个关系式可以作为角度与弧度的换算关系式。
由上述关系式可知：

今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略不写。例如：3表示3rad sinπ表示πrad角的正弦
一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住。你能自己推出30°、45°、60°、90°、120°、150°分别等于多少rad了吧！
扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：.

课程要求

1.掌握0－90°之间的特殊角的各三角函数值和相关运算
2. 了解正余弦定理和一元二次函数
3.掌握角度制与弧度制的换算

典例剖析

(典例1)三角函数的定义及性质
△ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方形的边长均为 1)， AD ^ BC 于 D ．下列选项中，错误的是( )

A．sina=cosa B．tanC=2 C．tana=1 D．sin=cos
(典例2)特殊角的三角函数值
已知∠A是锐角，且；

(典例3)解直角三角形，在下列图中填写各直角三角形中字母的值．

(典例4)实例分析
一船向东航行，上午8时到达处，看到有一灯塔在它的南偏东，距离为72海里的处，上午10时到达处，看到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的速度为( )
A 海里/小时 B 海里/小时 C 海里/小时 D 海里/小时
(典例5)一些常用的特殊角三角函数值
角度θ
正弦(sinθ)
余弦(cosθ)
正切(tanθ)
余切(cotθ)
00

300

370

450

530

600

900

(典例6)时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为(　　)
A.π　　 B．－π C.π　　 D．－π

(典例7)下列说法不正确的是(　　)
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的，1弧度的角是周角的
C．1 rad的角比1°的角要大
D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
(典例8)一个半径为2的扇形，如果它的周长等于所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是________ rad，扇形面积是________.

对点精练

1.在Rt⊿ABC中，∠C＝90°，BC＝10，AC＝4，则；
2.的值等于(　　)
A． B． C． D．1
3.在△ABC中，∠C＝90°，，则
4.已知Rt△中,若cos,则

5.在△ABC中,若|sinA﹣|+(﹣cosB)2=0,∠A,∠B都是锐角,则∠C度数是( )
A．75° B．90° C．105° D．120°
6.当角度在到之间变化时，函数值随着角度的增大反而减小的三角函是 ( )
A．正弦和正切 B．余弦和余切 C．正弦和余切 D．余弦和正切
7.在△中,sin, 则cos等于( )
A、 B、 C、 D、
8.当A为锐角，且＜cos∠A＜时，∠A的范围是(　　)
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜60° C．60°＜∠A＜90° D．30°＜∠A＜45°
9.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是(　　)
A．2 B．sin 2 C．2sin 1 D.
10.在平面直角坐标系内P点的坐标(，)，则P点关于轴对称点P／的坐标为 ( )
A． B． C． D．

11. 一个物体点出发，在坡度为的斜坡上直线向上运动到，当m时，物体升高 ( )
A m B m C m D 不同于以上的答案
12.数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．
(精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°=0.83，tan34°≈0.67，≈1.73)

13.如图，河对岸有铁塔AB，在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进14米到达D，在D处测得A的仰角为45°，求铁塔AB的高。
A
C
D
B

14.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点(C，O的连线垂直于AB)，求点C到弦AB所在直线的距离．
(参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88)

15.如图，A城气象台测得台风中心在A城的正西方300千米处，以每小时10千米的速度向北偏东60º的BF方向移动，距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域。
（1） 问A城是否会受到这次台风的影响？为什么？
（2） 若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响的时间有多长？

16.某挖掘机的底座高AB=0.8米，动臂BC=1.2米，CD=1.5米，BC与CD的固定夹角∠BCD=140°．初始位置如图1，斗杆顶点D与铲斗顶点E所在直线DE垂直地面AM于点E，测得∠CDE=70°(示意图2)．工作时如图3，动臂BC会绕点B转动，当点A，B，C在同一直线时，斗杆顶点D升至最高点(示意图4)．
(1)求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数．
(2)问斗杆顶点D的最高点比初始位置高了多少米？(精确到0.1米)
(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，1.73)

．
17.如图，某货船以24海里/时的速度将一批货物从处运往正东方向的处，在点处测得某岛在北偏东60°的方向上．该货船航行30分钟后到达处，此时再测得该岛在北偏东30°的方向上，
(1)求的度数；
(2)已知在岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．(参考：，)

18.(1)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是 .
(2)已知扇形的圆心角是，半径是，弧长为.
①若，，求扇形的面积；
②若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数.
19.已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.