2021北京重点区初二(下)期末数学汇编：四边形的章节综合.docx

2021北京重点区初二（下）期末数学汇编
四边形的章节综合
一、单选题
1．（2021·北京海淀·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别是，，点在轴上，则点的横坐标是（ ）

A．4 B． C．5 D．
2．（2021·北京西城·八年级期末）图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点P从点A出发沿折线AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则▱ABCD的面积为（ ）

A．24 B．16 C．12 D．36
3．（2021·北京西城·八年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点A的坐标为（0，2），顶点B，C在第一象限，且点C的纵坐标为1，则点B的坐标为（ ）

A．（2，3） B．（，3） C．（，2） D．（，3）
4．（2021·北京海淀·八年级期末）如图，在中，，，则的度数是（ ）

A．40° B．50° C．60° D．70°
5．（2021·北京西城·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝4，D是AB边的中点，则CD的长为（ ）

A． B．2 C． D．
6．（2021·北京西城·八年级期末）如图，在▱ABCD中，∠C＝70°，DE⊥AB于点E，则∠ADE的度数为（ ）

A．30° B．25° C．20° D．15°
7．（2021·北京西城·八年级期末）下列命题中，正确的是（ ）
A．有一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有两个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
8．（2021·北京东城·八年级期末）菱形和矩形都具有的性质是（　　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线长度相等
C．对角线平分一组对角 D．对角线互相平分
二、填空题
9．（2021·北京西城·八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，，则AD的长为_____cm．

10．（2021·北京西城·八年级期末）如图，点C在线段AB上，△DAC是等边三角形，四边形CDEF是正方形．
（1）∠DAE＝___°；
（2）点P是线段AE上的一个动点，连接PB，PC．若AC＝2，BC＝3，则PB＋PC的最小值为____．

11．（2021·北京西城·八年级期末）如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，EF平分∠AEC交BC于点F．若AD＝7，AE＝CD＝3，则BF的长为____．

12．（2021·北京东城·八年级期末）如图，菱形的边长为4，，点是的中点，点是上一动点，则的最小值是______．

13．（2021·北京海淀·八年级期末）如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC．分别取AC，BC的中点D，E，测得D，E两点间的距离为30，则A，B两点间的距离为________．

14．（2021·北京东城·八年级期末）在中，若，则__________．
三、解答题
15．（2021·北京西城·八年级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点M（x1，y1），N（x2，y2），我们将|x1﹣x2|＋2|y1﹣y2|称为点M与点N的“纵2倍直角距离”，记作dMN．
例如：点M（﹣2，7）与N（5，6）的“纵2倍直角距离”dMN＝|﹣2﹣5|＋2|7﹣6|＝9，
（1）①已知点P1（1，1），P2（﹣4，0），P3（0，），则在这三个点中，与原点O的“纵2倍直角距离”等于3的点是 　 　；
②已知点P（x，y），其中y≥0，若点P与原点O的“纵2倍直角距离”dPO＝3，请在下图中画出所有满足条件的点P组成的图形．
（2）若直线y＝2x＋b上恰好有两个点与原点O的“纵2倍直角距离”等于3，求b的取值范围；
（3）已知点A（1，1），B（3，1），点T（t，0）是x轴上的一个动点，正方形CDEF的顶点坐标分别为C（t﹣，0），D（t，），E（t＋，0），F（t，﹣）．若线段AB上存在点G，正方形CDEF上存在点H，使得dGH＝5，直接写出t的取值范围．

16．（2021·北京海淀·八年级期末）在平面直角坐标系中，对于点与，给出如下的定义：
将过点的直线记为，若直线与有且只有两个公共点，则称这两个公共点之间的距离为直线与的“穿越距离”，记作．
例如，已知过点的直线与，其中，，，，如图所示，则．

请解决下面的问题：
已知，其中，，，．
（1）当时，已知，为过点的直线．
①当时，________________；当时，________________；
②若，结合图象，求的值；
（2）已知，为过点的直线，若有最大值，且最大值为，直接写出的取值范围．
17．（2021·北京西城·八年级期末）已知∠MON＝90°，点A是射线ON上的一个定点，点B是射线OM上的一个动点，且满足OB＞OA．点C在线段OA的延长线上，且AC＝OB．
（1）如图1，CD∥OB，CD＝OA，连接AD，BD；
①△AOB与△　 　全等，∠OBA＋∠ADC＝　 　°；
②若OA＝a，OB＝b，则BD＝　 　；（用含a，b的式子表示）
（2）如图2，在线段BO上截取BE，使BE＝OA，连接CE．若∠OBA＋∠OCE＝β，当点B在射线OM上运动时，β的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由．

18．（2021·北京东城·八年级期末）在平面直角坐标系中的图形和点，给出如下定义：如果图形上存在点，使得，那么称点为图形的和谐点．已知点，．

（1）在点，，中，直线的和谐点是______；
（2）点在直线上，如果点是直线的和谐点，求点的横坐标的取值范围；
（3）已知点，，如果直线上存在正方形的和谐点，，使得线段上的所有点（含端点）都是正方形的和谐点，且，直接写出的取值范围．
19．（2021·北京海淀·八年级期末）如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且，连接AE，CF．求证：AE//CF．

20．（2021·北京海淀·八年级期末）下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．

已知：如图1，直线l 及直线l 外一点A．
求作：直线AD，使得AD// l．
作法：如图2，
①在直线l 上任取两点B，C，连接AB；
②分别以点A，C 为圆心，线段BC，AB 长为半径画弧，两弧在直线l 上方相交于点D；
③作直线AD．
直线AD 就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接CD．
∵ AB ＝________，BC ＝________，
∴ 四边形ABCD 为平行四边形（_________）（填推理的依据）．
∴ AD// l．
21．（2021·北京海淀·八年级期末）如图，在中，，为边上的中线，点与点D关于直线对称，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接BE，若，，求的长．

22．（2021·北京海淀·八年级期末）在正方形中,是线段上一动点（不与点,重合）,连接,,分别过点,作,的垂线交于点．
（1）依题意补全图形,并证明;
（2）过点作∥,交于点,连接．若正方形的边长为1,写出一个的值,使四边形为平行四边形,并证明．

23．（2021·北京朝阳·八年级期末）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
对于两个数a，b，
称为a，b这两个数的算术平均数，
称为a，b这两个数的几何平均数，
称为a，b这两个数的平方平均数．
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：
（1）若a = -1，b = -2，则M = ，N = ，P = ；
（2）小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：
如图，画出边长为a+b的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示N2．

①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为M2，P2的图形；
②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是： （把M，N，P从小到大排列，并用“＜”或“≤”号连接）．
24．（2021·北京朝阳·八年级期末）如图，在正方形ABCD中，E为AB边上一点（不与点A，B重合），CF⊥DE于点G，交AD于点F，连接BG．
（1）求证：AE=DF；
（2）是否存在点E的位置，使得△BCG为等腰三角形？若存在，写出一个满足条件的点E的位置并证明；若不存在，说明理由．

25．（2021·北京西城·八年级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上的一个动点，连接CD．作AE∥DC，CE∥AB，连接ED．
（1）如图1，当CD⊥AB时，求证：AC＝ED；
（2）如图2，当D是AB的中点时，
①四边形ADCE的形状是 　 　；（填“矩形”、“菱形”或“正方形”）
②若AB＝10，ED＝8，则四边形ADCE的面积为 　 　．

26．（2021·北京东城·八年级期末）已知：如图1，为锐角三角形，．

求作：菱形．
作法：如图2．

①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；
②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线与交于点；
③以点为圆心，以长为半径作弧，与射线交于点，点和点分别位于的两侧，连接，；则四边形就是所求作的菱形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：由作法可知，平分．
，
______．
，
四边形是平行四边形（______）（填推理的依据）．
，
四边形是菱形（______）（填推理的依据）．
27．（2021·北京东城·八年级期末）如图，在四边形中，，，，.过点作，垂足为点，延长至点，使，连接，．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）求的长．
28．（2021·北京东城·八年级期末）如图，点是正方形边上一点，.作点关于直线的对称点，连接.作射线交直线于点，连接．

（1）依题意补全图形；
（2）求的度数（用含的式子表示）；
（3）①______°；
②用等式表示，的数量关系，并给出证明．
29．（2021·北京朝阳·八年级期末）如图，点E，F在平行四边形的对角线上，．求证：四边形为平行四边形．

30．（2021·北京西城·八年级期末）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，BE＝DF，EF与对角线AC相交于点O．求证：OE＝OF．

参考答案
1．C
【分析】
分别过点A、C作AE⊥x轴，CD⊥x轴于点E，D，证明得BE=OD，从而可得OB，即可解答此题．
【详解】
解：分别过点A、C作AE⊥x轴，CD⊥x轴于点E，D，如图，

∴
∵点A的坐标是（4，-2），点C的坐标是（1，2）
∴OD=1，OE=4
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CO，AB//CO
∴
在和中

∴≌
∴
∴
∴点的横坐标是5
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，矩形的性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键．
2．B
【分析】
根据图象可得 AB=6，BD=12-6=6，AD=8，过点B作BE⊥AD，运用勾股定理求出BE的长，即可求出▱ABCD的面积．
【详解】
解：过点B作BE⊥AD，交AD于点E，

由图象可得 AB=6，BD=12-6=6，AD=8，
∴AB=BD
∵BE⊥AD
∴，
∴
∴
故选：B
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，注意解决本题应首先弄清横轴和纵轴表示的量，利用数形结合的思想解题，得到AB，AD的具体的值．
3．D
【分析】
延长BC交x轴于D，由点A坐标求OA=2，由四边形OABC是菱形，可得AO=OC=BC=2，在Rt△OCD中，由勾股定理OD=即可．
【详解】
解：延长BC交x轴于D，
∵点A的坐标为（0，2），
∴OA=2，
∵四边形OABC是菱形，
∴AO=OC=BC=2，
∵BC∥y轴，
∴BD⊥x轴，
在Rt△OCD中，
∵点C的纵坐标为1，
∴CD=1，
∴OD=，
∵BD=BC+CD=2+1=3，
∴点B（，3）．
故选择D．

【点睛】
本题考查点的坐标，菱形性质，勾股定理，掌握点的坐标求法，菱形性质，勾股定理是解题关键．
4．D
【分析】
因为，，所以可得到，根据平行四边形的性质对角相等，从而得出的度数．
【详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质以及平行四边形的性质，清楚掌握其性质并能灵活运用是解题关键．
5．C
【分析】
先根据勾股定理求出AB的长，再根据直角三角形的性质，即可求解．
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝4，
∴AB=，
∵D是AB边的中点，
∴CD=，
故选C．
【点睛】
本题主要考查勾股定理以及直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
6．C
【分析】
根据平行四边形的性质，可得∠A=∠C＝70°，再根据直角三角形的性质，即可求解．
【详解】
解：∵在▱ABCD中，
∴∠A=∠C＝70°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90°-70°=20°，
故选C．
【点睛】
本题主要考查平行四边形和直角三角形的性质，掌握平行四边形对角相等，是解题的关键．
7．D
【分析】
根据平行四边形判定方法可判断A、根据矩形判定方法可判断B、根据菱形判定方法可判断C、根据正方形的判定定理可判断D即可．
【详解】
解：A、两组对边相等或一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，为此有一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，选项A不正确；
B、有三个是直角的四边形是矩形，为此有两个角是直角的四边形不一定是矩形，故选项B不正确；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，为此对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故选项C错误；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项D正确．
故选D．
【点睛】
本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法．解决此题的关键是牢记判定定理
8．D
【分析】
根据菱形与矩形都是特殊的平行四边形，他们都具有平行四边形的性质，利用平行四边形的性质排查即可．
【详解】
解：菱形与矩形都是特殊的平行四边形，具有平行四边形的性质，对角线互相平分，且是中心对称图形，
A. 对角线互相垂直，菱形具有，而矩形不具有，故选项A不符合题意；
B. 对角线相等矩形具有，而菱形不具有，故选项B不符合题意；
C. 对角线平分一组对角菱形具有，而矩形不具有，故选项C不符合题意；
D. 对角线互相平分并且是中心对称图形菱形矩形都具有，故选项D符合题意．
故选择：D．
【点睛】
本题考查菱形与矩形的性质，掌握菱形矩形是特殊的平行四边形，找出平行四边形具有的性质解决问题是关键．
9．10
【详解】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO=DO，
∵点E是AB的中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴AD=2OE，
∵OE=5cm，
∴AD=10cm．
故答案为：10．
考点：平行四边形的性质；三角形中位线定理．
10． 15
【分析】
（1）根据正方形和等边三角形的性质，可得AD=CD=DE，∠ADC=60°，∠CDE=90°，进而即可求解；
（2）作点C关于AE的对称点，连接B交AE于点P，连接A，CP，可得PB＋PC的最小值= PB＋P= B，结合勾股定理，即可求解．
【详解】
解：（1）∵△DAC是等边三角形，四边形CDEF是正方形，
∴AD=CD=DE，∠ADC=60°，∠CDE=90°，
∴∠ADE=90°+60°=150°，
∴∠DAE=（180°-150°）÷2=15°，
故答案是：15，
（2）作点C关于AE的对称点，连接B交AE于点P，连接A，CP，
∵∠DAE=15°，∠DAC=60°，
∴∠CAE=60°-15°=45°，
∵点C关于AE的对称点，
∴∠CAE=∠AE=45°，A=CA=2，P=CP，
∴∠AC=90°，
∴PB＋PC的最小值= PB＋P=B=．
故答案是：．

【点睛】
本题主要考查勾股定理，轴对称—线段和最小值问题以及等边三角形和正方形的性质，添加辅助线，构造直角三角形和轴对称图形，是解题的关键．
11．2
【分析】
由已知易得∠AEF=∠FEC=∠EFC，进而可得EC＝FC，再由勾股定理求出EC即可解答．
【详解】
解：∵在矩形ABCD中，，，；
∴∠AEF=∠EFC，
又∵∠AEF=∠FEC
∴∠FEC=∠EFC，
∴EC＝FC，
∵AD＝7，AE＝CD＝3，
∴ED＝AD-AE=4，
∴，
∴BF=BC-FC=7-5=2，
故答案为2．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质，并能利用勾股定理进行推理计算是解决问题的关键.
12．
【分析】
根据菱形的性质得到点B与点D关于对角线AC对称，连接BE，BE与AC的交点为M，得到MD+ME的最小时点M的位置，求出BE的值即可得到答案．
【详解】
解：如图，∵在菱形ABCD中，点B与点D关于对角线AC对称，
∴连接BE，BE与AC的交点为M，连接DM，此时MD+ME有最小值．
∵∠ABC＝60°，AB＝4，
∴△ABC，△ADC为等边三角形
∴OA＝OC＝2，OB＝2，
∵点是的中点
∴AE＝OB＝2，∠EAC＝30°
∴∠EAB＝90°
在Rt△EAB中AE＝2，AB＝4
∴BE＝ ，
∴的最小值
故答案为：2．

【点睛】
本题考查的是轴对称﹣﹣最短路线问题和菱形的性质，正确确定MD+ME的最小时点M的位置是解题的关键．
13．60
【分析】
先判断出DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB＝2DE，问题得解．
【详解】
解：∵点D，E分别是BC和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，DE＝30，
∴AB＝2DE＝2×30＝60（m）．
故答案是：60．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并准确识图是解题的关键．
14．50°
【分析】
根据平行四边形的性质，可得∠A=∠C，又由∠A+∠C=100°，即可求得∠A的度数
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
∵∠A+∠C=100°，
∴∠A=∠C=50°；
故答案为：50°．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，熟记平行四边形的各种性质是解题的关键．
15．（1）①P1，P3；②见解析；（2）；（3）或．
【分析】
（1）①根据“纵2倍直角距离”分别计算三个点到原点O的“纵2倍直角距离”，即可判断；
②根据“纵2倍直角距离”的定义得|x|+2|y|＝3，根据y≥0，再分两种情况可得两个函数关系式，分别画出即可；
（2）作出与原点O的“纵2倍直角距离”等于3的点，通过观察作出图2可得：当直线y＝2x＋b与x轴的交点在对角线AC上（不含AC两点）时，恰好与四边形的边有两个公共点，由此即可求出b的取值范围；
（3）根据线段AB上存在点G的坐标求出当时，dGH＝5所有满足条件的点H组成的图形，再结合图形的特征求出正方形CDEF与点H的满足“纵2倍直角距离”的点组成图形有公共点时t的取值范围．
【详解】
解：（1）①∵点点P1（1，1），P2（﹣4，0），P3（0，），
∴|1-0|+2|1-0|＝3，||+2|0|＝4，||+2||，
∴与原点O的“纵2倍直角距离”的点是P1，P3；
故答案为：P1，P3；
②设P（x，y），
∵点P与原点O的“纵2倍直角距离”dOP＝3，
∴|x|+2|y|＝3，
当y≥0，x≥0时，x+2y＝3，即，
当y≥0，x≤0时，﹣x+2y＝3，即，
如图1所示，

（2）如图，与原点O的“纵2倍直角距离”等于3的点组成图形是四边形ABCD， 直线y＝2x＋b经过A点或C点时，与四边形只有一个公共点，当直线y＝2x＋b与x轴交点在AC之间时，与菱形有两个公共点，

当直线，y＝2x＋b经过A点（-3，0）时；，解得：，
当直线，y＝2x＋b经过A点（3，0）时；，解得：，
∴b的取值范围为；
（3）设正方形CDEF上存在点H（x，y）
当线段AB上存在点G坐标为（1，1），则：dGH＝，
当，时，，即，满足条件的图形为线段，
当，时，，即，满足条件的图形为线段，

当点G坐标从A（1，1）移动B（3，1）时对应满足条件的H点图形也平移2个单位到线段，线段，
∴满足点G的“纵2倍直角距离”的H点图形如图阴影部分所示：所有满足条件的H点是线段
其中：线段的解析式为，线段的解析式为，
由图可得：当正方形在线段下方时，D点在线段，正方形与满足条件的H点图形有公共点D（t，），
即：，解得，
同理求出当正方形在线段下方时，F点在线段，正方形与满足条件的H点图形有公共点D（t，），即，解得，
∴当，正方形与满足条件的H点图形由公共点存在，
同理可求：当，正方形与满足条件的H点图形由公共点存在，
综上所述：若线段AB上存在点G，正方形CDEF上存在点H，使得dGH＝5，则或．
【点睛】
本题属于新定义与一次函数相结合的综合压轴题，读懂定义，紧扣定义解题，熟练掌握“纵2倍直角距离”的定义是解答此题的关键，根据G点的位置确定满足“纵2倍直角距离”的H点的范围是解（3）的难点．
16．（1）①2；；②，；（2）
【分析】
（1）①由题意和图像即可得出；
②根据题意表示出一次函数的表达式，根据“穿越距离”，的长度列方程求解即可；
（2）由一次函数的图像和的最大值求解即可．
【详解】
（1）当时，，．
由图可知,四边形ABCD为正方形，
又∵点在直线上．
所以将代入
得：，即．
∴．
①当时，
∴：．
∴．
当时，将代入，得出
∴：．
直线经过和，
∴由题意可知：．
②如图，．

过作于，则．
∵，
∴．
∴．
∴．
结合图象，由正方形的轴对称性可知，均符合题意．
（2）设直线的表达式为，
将代入得：，，
∴．
如图所示，设直线与线段AB交于点，与线段CD交于点．

∴将代入得：，解得：，
将代入得：，解得：．
∵的最大值为，
又因为平行线段和之间的距离为2，
∴由勾股定理可得PQ之间的水平距离，
代入得：，
解得：．
∴，，此时Q点与B点重合．
∴由“穿越距离”得定义和图像可得，若有最大值，且最大值为，
C点需在P点的右边，即C点的横坐标需大于P点的横坐标，
∴；
D点需在P点的左边或和P点重合，即D点的横坐标需小于等于P点的横坐标，
∴，解得：；
综上所述，的取值范围是.
【点睛】
此题考查了一次函数图像和平行四边形结合动点问题，解题的关键是根据题意找到题目中的等量关系列出方程．
17．（1）①DCA，90；②；（2）当点B在射线OM上运动时，β的大小不会发生变化，其值为45°．
【分析】
（1）①根据平行线的性质可得∠ACD＝∠AOB＝90°，结合已知则可证明△AOB≌△DCA，再利用全等三角形的性质即可求得∠OBA＋∠ADC＝90°．②延长MO到点E，使OE＝CD，连接DE，利用矩形的判定及性质可得DE＝OC＝OA＋AC＝a＋b，即可利用勾股定理得出结果；
（2）过点B作BF⊥OM，过点C作CF⊥ON，交于点F，在CF上截取CD，使CD＝OA，连接BD，AD，结合已知推出四边形OBFC是矩形，并利用三角形全等判定及性质可证明
△ABD是等腰直角三角形，再矩形的性质及全等三角形的判定及性质可得∠OBA＋∠FBD＝∠OBF-∠ABD＝45°，即可证明结论．
【详解】
解：（1）①∵CD∥OB，∠MON＝90°，
∴∠ACD＝∠AOB＝90°．
∵AC＝OB，CD＝OA，
∴△AOB≌△DCA（SAS）．
∴∠OBA＝∠CAD．
∵∠CAD＋∠ADC＝90°，
∴∠OBA＋∠ADC＝90°．
故答案为：DCA，90；
②如图，延长MO到点E，使OE＝CD，连接DE，

∵△AOB≌△DCA，OA＝a，OB＝b，
∴AC＝OB＝b，CD＝OA＝a．
∵CD∥OB，OE＝CD，
∴四边形OCDE是平行四边形．
∵∠OCD＝90°，
∴平行四边形OCDE是矩形．
∴DE＝OC＝OA＋AC＝a＋b．
∵BE＝OB＋OE＝a＋b，
∴．
故答案为：；
（2）如图，过点B作BF⊥OM，过点C作CF⊥ON，交于点F，在CF上截取CD，使CD＝OA，连接BD，AD，

∵∠MON＝90°，
∴∠OBF＝∠OCF＝∠MON＝90°．
∴四边形OBFC是矩形．
∴OC＝BF，OB＝CF，∠F＝90°．
∵AC＝OB，
∴△AOB≌△DCA（SAS）．
∴∠OBA＝∠CAD，AB＝AD．
∵∠OAB＋∠OBA＝90°，
∴∠OAB＋∠CAD＝90°．
∴∠BAD＝90°．
∴△ABD是等腰直角三角形．
∴∠ABD＝45°．
∵OB＝CF，
∴OE＋BE＝CD＋DF．
∵BE＝OA＝CD，
∴OE＝DF．
∵OC＝BF，∠EOC＝∠F＝90°，
∴△COE≌△BFD（SAS）．
∴∠OCE＝∠FBD．
∵∠OBA＋∠FBD＝∠OBF-∠ABD＝45°，
∴∠OBA＋∠OCE＝45°．
∴当点B在射线OM上运动时，β的大小不会发生变化，其值为45°．
【点睛】
此题属于全等三角形综合问题，考查了全等三角形、矩形的判定与性质及勾股定理等知识，熟练掌握所学知识并灵活运用其解决问题是解题的关键．
18．（1）和；（2）；（3）或
【分析】
(1)如下图1中，根据点P为图形M的和谐点的定义，观察图形可知P1和P2是直线AB的和谐点；
(2)如图2中，根据点P为图形M的和谐点的定义，可知0≤PQ≤1，根据题意|y-3|≤1，解不等式得2≤y≤4，再利用函数求x的范围；
(3)当b=7时，图中线段E1F1上的点都是和谐点，且利用勾股定理可得，当将直线往y轴负半轴平移时刚好经过点L，此时上的点都是和谐点，且，当再往下平移时，直线经过开始EF上有部分点不是和谐点，由此求出b的范围为1≤b＜7；根据对称性，-7＜b≤-1也满足．
【详解】
(1)如下图1中，根据点P为图形M的和谐点的定义，观察图形可知：

到AB的最短距离为1，根据和谐点的定义图形上存在点，使得，点P1是直线的和谐点；
到到AB的最短距离为0.5，根据和谐点的定义图形上存在点，使得，点P2是直线的和谐点；；
到AB的最短距离为3，根据和谐点的定义图形上不存在点，使得，故点P3不是直线的和谐点；
在点，，中，直线的和谐点是点，；
故答案为：点，；
(2)如图过点P作PQ⊥AB于Q，0≤PQ≤1，
设P点的纵坐标为y，
根据题意|y-3|≤1，
解得：2≤y≤4，
∵，
∴2≤≤4，
解得，
点的横坐标的取值范围是；

(3)如下图所示：
过（0，4）作平行AB的直线，过（-4,0）作BC的平行线，过（0,-4）作CD的平行线，过（4，0）作AD的平行线，分别交于GHJK，则四边形GHJK为正方形，
直线y=x+b与GH-HJ交于E，与GK-KJ交于F，
在梯形E1F1LU和梯形SVE2F2上及其内部所有点都是是正方形的和谐点，
∵，
取GK上点F1（-3，4），GH上点E1（-4，3），
此时E1F1=，直线y=x+b过点F1时是b的最大值，
∴-3+b=4，b=7，
当直线y=x+b过点L（3，4）时，
3+b=4，b=1，
当直线y=x+b在E1F1与LU之间运动时，
当直线过点S时，
4+b=3，b=-1，
取HJ上点E2（3，-4），KJ上取F2（4，-3），
此时E2F2=，
当直线y=x+b过点F2时是b的最小值，
4+b=-3，
∴b=-7，
当直线y=x+b在SV与E2F2之间运动时，b的范围是-7，

故b的取值范围为：1≤b＜7或-7＜b≤-1．
【点睛】
本题属于一次函数的综合题，同时也是一个新定义题型，借助一次函数的知识，勾股定理，正方形性质考查了函数平移等相关知识，解题的关键是理解题意，学会用分类思想思考问题；本题属于压轴题，难度较大．
19．见解析
【分析】
由平行四边形的性质得∥，＝，再证，得四边形是平行四边形，即可得出结论．
【详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴∥，＝．
∵，
∴．
即．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∴．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
20．（1）见解析；（2），，两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【分析】
（1）根据作法画出图形即可；
（2）根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行证明即可．
【详解】
（1）如图所示，

（2）证明：连接CD．
∵ AB ＝CD，BC ＝AD，
∴ 四边形ABCD 为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）（填推理的依据）．
∴ AD// l．
故答案为：，，两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定．
21．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据对称得到CE＝CD，AE＝AD，再根据直角三角形斜边上中线的性质得，从而得证；
（2）过E作EN⊥BC交BC的延长线于点N，勾股定理求得，再根据勾股定理求得即可．
【详解】
（1）证明：∵点E与点D关于直线AC对称，
∴CE＝CD，AE＝AD．
∵∠ACB＝90°，为边上的中线，
∴．
∴CE＝CD＝AD＝AE．
∴四边形AECD是菱形．
（2）过E作EN⊥BC交BC的延长线于点N．
在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，
∴．

∴．
由勾股定理得．
∵四边形AECD是菱形，
∴EC＝CD＝2，EC//AD．
∴∠ECN＝30°．
∵∠ENC＝90°，
∴．
由勾股定理得．
∴．
∵∠ENC＝90°，
由勾股定理得．
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，直角三角形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，掌握以上性质是解题的关键．
22．（1）见解析;（2）当时,四边形FCQN为平行四边形,见解析
【分析】
（1）根据题意作图即可,在BA上截取BM＝BF,连接MF,根据题目条件证明△AMF≌△FCQ即可．
（2）设 ,则 , ,由题意和（1）的结论,结合平行线和勾股定理得出,根据平行四边形的性质即可证明．
【详解】
（1）补全图形如图所示:

证明:如图,在BA上截取BM＝BF,连接MF．

∵四边形ABCD为正方形,
∴AB＝BC,∠B＝∠BCD＝90°,AC平分∠BCD．
∴∠ACB＝45°．
∵CQ⊥AC,
∴∠ACQ＝90°．
∴∠FCQ＝∠ACB＋∠ACQ＝135°．
∵BM＝BF,∠B＝90°,
∴∠FMB＝∠MFB＝45°,
．①
∴∠AMF＝180°－∠FMB＝135°．
∴∠AMF＝∠FCQ．②
∵FQ⊥AF,
∴∠AFQ＝90°．
∴∠QFC＋∠AFB＝90°．
∵∠B ＝90°,
∴∠BAF＋∠AFB＝90°．
∴∠BAF＝∠CFQ．③
由①②③得△AMF≌△FCQ．
∴AF＝FQ．
（2）证明: 当时,四边形FCQN为平行四边形,
如图,在BA上截取BM＝BF,连接MF．

设 ,则 , ,
∴ ,
由（1）可得△BMF为等腰直角三角形,且△AMF≌△FCQ．
∴,
∵,
∴∠FCQ＋∠NQC＝180°．
∵∠FCQ＝135°,
∴∠NQC＝45°．
∵∠NCQ＝90°,
∴∠NQC＝45°＝∠CNQ．
∴,
∴,
若四边形FCQN为平行四边形,
则 ,
所以 ,解得: ,
∴当时,四边形FCQN为平行四边形．
【点睛】
此题考查了正方形的性质,平行四边形的判定,全等三角形的证明以及勾股定理等,解题的关键是根据题意作出辅助线构造出全等三角形．
23．（1），，；（2）①见解析；②．
【分析】
（1）将分别代入求值即可得；
（2）①分别求出，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得；
②根据（2）①中的所画的图形可得，由此即可得出结论．
【详解】
解：（1）当时，
，
，
，
故答案为：，，；
（2）①，
则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：

，
则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：

②由（2）①可知，，当且仅当，即时，等号成立，
都是正数，
都是正数，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质等知识点，较难的是题（2）①，正确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键．
24．（1）证明见解析；（2）存在，当点为边的中点时，为等腰三角形，证明见解析．
【分析】
（1）先根据正方形的性质可得，再根据直角三角形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；
（2）当点为边的中点时，为等腰三角形．证明：延长，交于点，先证出，根据三角形全等的性质可得，从而可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，由此即可得证．
【详解】
证明：（1）∵四边形是正方形，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
；
（2）存在，当点为边的中点时，为等腰三角形，证明如下：
如图，延长，交于点，

∵点为边的中点，
，
在和中，，
，
，
，
，
是斜边上的中线，
，
为等腰三角形．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、直角三角形斜边上的中线等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．
25．（1）见解析（2）①菱形；②
【分析】
（1）根据已知条件，得出四边形是平行四边形，再根据，即可证明结论；
（2）①根据直角三角形斜边上中线的性质，根据菱形判定定理可得出结论；②根据菱形面积计算公式计算即可．
【详解】
解：（1），，
∴四边形是平行