河北省秦皇岛市2021-2022学年高一上学期期末数学试题.docx

秦皇岛市高一2021~2022年期末统一考试
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第五章5.3.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【1题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用并集的定义求解.
【详解】解：因为集合，，
所以.
故选：A
2. 命题“，是4的倍数”的否定为（ ）
A. ，是4的倍数 B. ，不是4的倍数
C. ，不是4的倍数 D. ，不是4的倍数
【2题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】根据特称量词命题的否定是全称量词命题即可求解．
【详解】因为特称量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题“，是4的倍数”的否定为“，不是4的倍数”．
故选：B
3. 已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应函数值表：

1
2
4
5
6

123.136
15.552
10.88
-52.488
-232.064
在以下区间中，一定有零点的是（ ）
A. （1，2） B. （2，4） C. （4，5） D. （5，6）
【3题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】由表格数据，结合零点存在定理判断零点所在区间.
【详解】∵
∴ ，，，,
又函数的图象是一条连续不断的曲线，
由函数零点存在定理可得在区间上一定有零点．
故选：C.
4. 如图所示的时钟显示的时刻为，此时时针与分针的夹角为．若一个半径为的扇形的圆心角为，则该扇形的面积为（ ）

A. B. C. D.
【4题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】求出的值，利用扇形的面积公式可求得扇形的面积.
【详解】由图可知，，所以该扇形的面积．
故选：C.
5. “是钝角”是“是第二象限角”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【5题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】根据钝角和第二象限角的定义，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.
【详解】因为是钝角，所以，因此是第二象限角，
当是第二象限角时，例如是第二象限角，但是显然不成立，
所以“是钝角”是“是第二象限角”的充分不必要条件，
故选：A
6. 已知函数在上具有单调性，则k的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【6题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】由函数，求得对称轴的方程为，结合题意，得到或，即可求解.
【详解】由题意，函数，可得对称轴的方程为，
要使得函数在上具有单调性，
所以或，解得或．
故选：C.
7. 尽管目前人类还无法精准预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系式为．年月日，日本东北部海域发生里氏级地震，它所释放出来的能量是年月日我国四川九寨沟县发生里氏级地震的（ ）
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
【7题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】设里氏级和级地震释放出的能量分别为和,可得出，利用对数的运算性质可求得的值，即可得解.
【详解】设里氏级和级地震释放出的能量分别为和,
由已知可得，
则，故．
故选：C.
8. 已知偶函数的定义域为，当时，，若，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
【8题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】先由条件求出参数，得到在上的单调性，结合和函数为偶函数进行求解即可.
【详解】因为为偶函数，所以，解得.
在上单调递减，且.
因为，所以，解得或.
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9. 已知点是角终边上一点，则（ ）
A. B. C. D.
【9题答案】
【答案】AC
【解析】
【分析】根据给定条件，利用三角函数定义求出的正余弦及正切值即可计算判断作答.
【详解】因点是角终边上一点，则，
于是得，A正确；
，当时，，当时，，B不正确；
又，则，C正确，D不正确.
故选：AC
10. 已知，则（ ）
A. B. C. D. 取值范围是
【10题答案】
【答案】BC
【解析】
【分析】根据不等式的性质与基本不等式依次判断各选项即可.
【详解】解：对于A选项，当时，不成立，A错误.
对于B选项，因为，所以，，故BC正确；
对于D选项，当，时，，当且仅当时，等号成立，而，所以的取值范围是，故D错误.
故选：BC
11. 函数的图象是折线段，如图所示，其中点，，的坐标分别为，，，以下说法正确的是（ ）

A. B. 的定义域为
C. 为偶函数 D. 满足的的取值集合为
【11题答案】
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据图像以及题意即可求得的解析式，判断A是否正确；根据函数图象特点以及定义域即可判断B是否正确；根据函数图象特点以及与之间的关系即可判断C是否正确；令，若，即，由图像可知，或，即若，则或，结合图象求出结果，即可判断D是否正确.
详解】由图像可知，，故A正确.
由于的图象，是将的图象向右平移1个单位得到，
又的定义域为，所以的定义域为，故B错误.
是将的图象向左平移1个单位长度得到，
由图像可知，的图象关于轴对称，所以为偶函数，故C正确.
令，若，即，由图像可知，或，即若，则或，
当时，，当时或，
故的取值集合为，所以D正确.
故选：ACD.
12. 已知函数fx=2x−1,x≤1,x−22,x>1,函数有四个不同的零点，，，，且，则（ ）
A. 的取值范围是 B. 的取值范围是
C. D.
【12题答案】
【答案】AC
【解析】
【分析】结合的图象，由图可知，，，由二次函数的对称性，可得，可得答案.
【详解】有四个不同的零点，，，，即方程有四个不同的解．
的图象如图所示，由图可知，，，所以，
即的取值范围是，
由二次函数的对称性，可得．因为，所以，故．
故选：AC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. 写出一个能说明“若函数为奇函数，则”是假命题的函数：_________.
【13题答案】
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】由题意，只需找一个奇函数，0不在定义域中即可.
【详解】由题意，为奇函数且，则满足题意
故答案为：
14. 若，则__________．
【14题答案】
【答案】
【解析】
【分析】
先求出的值,然后再运用对数的运算法则求解出和的值,最后求解答案.
【详解】若,则,所以.
故答案为:
【点睛】本题考查了对数的运算法则,熟练掌握对数的各运算法则是解题关键,并能灵活运用法则来解题,并且要计算正确,本题较为基础.
15. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则______．
【15题答案】
【答案】##0.75
【解析】
【分析】根据条件求出，，再代入即可求解.
【详解】因为的图象过原点，所以，即．又因为的图象无限接近直线，但又不与该直线相交，所以，，
所以，
所以．
故答案为：
16. 已知正数a，b满足，则的最小值为______．
【16题答案】
【答案】##
【解析】
【分析】右边化简可得，利用基本不等式，计算化简即可求得结果.
【详解】，
故,则，当且仅当时，等号成立．
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，，．
（1）求；
（2）若，求m的取值范围．
【17~18题答案】
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求得集合A，再由集合的补集运算和交集运算可求得答案；
（2）根据条件建立不等式组，可求得所求范围.
【小问1详解】
因为，，
所以，．
【小问2详解】
因为，所以
解得．故m的取值范围是．
18. 已知函数.
（1）判断在区间上的单调性，并用定义证明；
（2）判断的奇偶性，并求在区间上的值域.
【18~19题答案】
【答案】（1）函数在区间上单调递增，证明见解析
（2）函数为奇函数，在区间上的值域为
【解析】
【分析】（1）利用定义法证明函数单调性；（2）先得到定义域关于原点对称，结合得到函数为奇函数，利用第一问的单调性求出在区间上的值域.
【小问1详解】
区间上单调递增，证明如下：
，，且，
有.
因为，，且，所以，.
于是，即.
故在区间上单调递增.
【小问2详解】
的定义域为.
因为，所以为奇函数.
由（1）得在区间上单调递增，
结合奇偶性可得在区间上单调递增.
又因为，，所以在区间上的值域为.
19. （1）已知，求的值；
（2）已知，且为锐角，求的值.
【19题答案】
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式先化简，再进行弦化切代入求值；
（2）利用诱导公式和同角三角函数基本关系式即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
则，故.
（2）因为为锐角，所以.
又因为，所以为钝角，
则.
故.
20. 已知函数，．
（1）求函数的定义域；
（2）试讨论关于x的不等式的解集．
【20~21题答案】
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）解不等式得出定义域；
（2）利用对数函数的单调性解不等式得出解集.
【小问1详解】
由题意可得解得．故函数的定义域为．
【小问2详解】
当时，函数是增函数．
因为，所以解得．当时，函数是减函数．
因为，所以解得．
综上，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．
21. 已知函数．
（1）若是偶函数，求a的值；
（2）若对任意，不等式恒成立，求a的取值范围．
【21~22题答案】
【答案】（1）0 （2）
【解析】
【分析】（1）由偶函数的定义得出a的值；
（2）由分离参数得，利用换元法得出的最小值，即可得出a的取值范围．
【小问1详解】
因为是偶函数，所以，
即，故．
【小问2详解】
由题意知在上恒成立，
则，又因为，所以，
则．令，则，
可得，
又因为，当且仅当时，等号成立，所以，即a的取值范围是．
22. 已知函数，．
（1）若值域为，求a的值．
（2）证明：对任意，总存在，使得成立．
【22~23题答案】
【答案】（1）2 （2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意，可得，从而即可求解；
（2）利用对勾函数单调性求出在上的值域，再分三种情况讨论二次函数在闭区间上的值域，然后证明的值域是值域的子集恒成立即可得证.
【小问1详解】
解：因为的值域为，所以，解得．
【小问2详解】
证明：由题意，根据对勾函数的单调性可得在上单调递增，所以．
设在上的值域为M，
当，即时，在上单调递增，因为，，所以；
当，即时，在上单调递减，因为，，所以；
当，即时，，，所以；
综上，恒成立，即在上的值域是在上值域的子集恒成立，
所以对任意总存在，使得成立.