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2021年下学期期末质量检测试题卷高一数学
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用交集的定义求解即可，或利用排除法
【详解】解法一由题意得，
解法二因为，所以，故排除B，D；因为，所以，故排除C.
故选：A.
2. 命题：，，则命题的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.
【详解】因为命题：，是存在量词命题，
所以其否定是全称量词命题，即，，
故选：D
3. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】要使有意义，则有，解出即可.
【详解】要使有意义，则有，解得
所以函数的定义域为
故选：A
【点睛】本题考查的是函数定义域的求法，较简单.
4. 设，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性并借助“媒介”数即可得解.
【详解】因函数在R上单调递减，，则有，
又函数在R上单调递增，，则有，
而函数在上单调递增，，则有，
于是得，
所以.
故选：D
5. 已知角的顶点为坐标原点，始边x轴的非负半轴，若点是角终边上一点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数的定义可知，，代入点的坐标，即可求得答案.
【详解】解：因为点是角终边上一点，
所以.
故选：B.
6. 已知x，y均为正数，且，求的最值（ ）
A. 最大值9 B. 最小值9
C. 最大值4 D. 最小值4
【答案】B
【解析】
【分析】根据基本不等式由“1的妙用”可得结果.
【详解】因为，均为正数，且，
则，
当且仅当，时，有最小值.
故选：B.
7. 已知函数的部分图像如下图所示.则能够使得变成函数的变换为（ ）
A. 先横坐标变为原来的倍，再向左平移
B. 先横坐标变为原来的2倍，再向左平移
C. 先向左平移，再横坐标变为原来的倍
D. 先向左平移，再横坐标变为原来的2倍
【答案】C
【解析】
【分析】先根据给定图象求出函数的解析式，再求出由到的变换即得.
【详解】观察图象知A=2，周期T，则，即，，
又，即，而，则，
所以，
把图象向左平移得图象，再把所得图象上每一点的横坐标变为原来的倍即得.
故选：C
8. 若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数中能被称为“理想函数”的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】
由题知“理想函数”为定义域内是增函数，且为奇函数，再依次判断各选项即可得答案.
【详解】解：由知：为定义域上的奇函数，
由时，知：为定义域上的增函数
对于A选项，当时，为减函数，A错误；
对于B选项，，为奇函数，根据幂函数性质可知，在定义域上单调递增，B正确；
对于C选项，为奇函数；
为增函数为减函数
为增函数，C正确；
对于D选项，当时，为减函数，D错误.
故选：BC
【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性，是中档题.本题解题的关键是由新定义得“理想函数”为定义域内是增函数，且为奇函数，再根据奇偶性的定义与单调性定义判断即可.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 设函数，若则实数a=（ ）
A. 2 B. -2 C. 4 D. -4
【答案】AD
【解析】
【分析】按照分类，结合分段函数解析式即可得解.
【详解】因为函数，且
所以或，解得a=-4或a=2.
故选：AD.
10. 下列命题为假命题的是（ ）
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】对于AC，举例判断，对于B，利用不等式性质判断，对于D，利用作差法判断
【详解】对于A，若，则，所以A错误，
对于B，因为，，所以由不等式的性质可得，
对于C，若，则，所以C错误，
对于D，因为，所以，
所以，
所以，所以D正确，
故选：AC
11. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若存在实数，使得对任意的实数x都有成立，则的最小值为
B. 函数的图象关于点成中心对称
C. 若有解，则a的最小值为
D. 函数的图象关于直线对称
【答案】ACD
【解析】
【分析】
先把整理为，对照ABCD四个选项一一验证.
【详解】,作出的图像如图所示：
对于A：若存在实数，使得对任意的实数x都有成立，，则 ，所以故A正确；
对于B：由图像可以看出：的图象的对称中心为，故B错误；
对于C：要使有解，只需，故C正确；
对于D：的图象如图示，所以直线为其一条对称轴.
故选：ACD
【点睛】三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或的性质解题；
12. 已知函数是R上的奇函数，对于任意，都有成立，当时，，给出下列结论，其中正确的是（ ）
A.
B. 点是函数的图象的一个对称中心
C. 函数在上单调递增
D. 函数在上有3个零点
【答案】AB
【解析】
【分析】由，赋值，可得，故A正确；进而可得是对称中心，故B正确；作出函数图象，可得CD不正确.
【详解】在中，令，得，又函数是R上的奇函数，所以，，故是一个周期为4的奇函数，因是的对称中心，所以也是函数的图象的一个对称中心，故A、B正确；
作出函数的部分图象如图所示，易知函数在上不具单调性，故C不正确；
函数在上有7个零点，故D不正确.
故选：AB
【点睛】本题考查了函数的性质，考查了逻辑推理能力，属于基础题目.
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. ________.
【答案】
【解析】
【分析】根据对数的运算法则，以及指数运算进行化简，即可求得结果.
【详解】lg10−3=1−3=−2.
故答案为：.
14. 若，则________.
【答案】
【解析】
【分析】由，可得，然后利用诱导公式和同角三角函数关系对原式化简，再代值计算即可
【详解】由，得，
所以
，
故答案为：
15. 若x满足不等式，则函数的最大值为________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据对数函数的单调性和对数的定义即可得到关于的不等式组，从而可得x的范围，根据对数的运算性质得到，再利用换元法，和二次函数的性质即可求出答案．
【详解】解：不等式，
，解得，
，
设，则，
，其对称轴为，
在，上单调递减，
，
所以函数的最大值为2.
故答案为：2.
16. 已知函数，若恰好有三个零点，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数解析式，作出函数图象，由恰好有3个零点，得到函数与直线恰有三个不同的交点，结合图象，即可得出结果.
【详解】由函数解析可得，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；且当时，；又，
画出函数的大致图象如下：
因为恰好有3个零点，
所以方程恰有三个不同实根，
因此函数与直线恰有三个不同交点，
由图象，为使函数与直线恰有三个不同的交点，只有，
故答案为：.
【点睛】方法点睛：
已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知集合，.
（1）求集合的补集；
（2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）或；（2）
【解析】
【分析】（1）先解中不等式，得出取值范围，再利用数轴得到的补集；
（2）由必要条件得出是的子集，再通过子集的概念，得出的取值范围．
【详解】（1），
或．
（2）“”是“”的必要条件，则，
，
解得：，
即的取值范围是．
【点睛】本题考查集合的基本运算和简易逻辑中的充分条件与必要条件，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将问题转化为集合间的关系.
18. 已知为锐角，.
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由二倍角公式，结合题意，可直接求出结果；
（2）先由题意求出，，
根据，由两角差的正弦公式，即可求出结果.
【详解】（1）因为，所以；
（2）因为为锐角，所以，，
又，所以，
，
所以
.
【点睛】本题主要考查三角恒等变换给值求值的问题，熟记二倍角公式，以及两角差的正弦公式即可，属于常考题型.
19. 若，.
（1）若的解集为，求的值；
（2）当时，求关于的不等式的解集.
【答案】（1）；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）分析可知、是方程的解，利用韦达定理可求得实数的值；
（2）由可得或，对与的大小进行分类讨论，利用二次不等式的解法解不等式，即可得解.
【小问1详解】
解：因为关于的不等式的解集为，则，
所以，、是方程的解，，解得.
【小问2详解】
解：，，由得或.
当时，，原不等式的解为，原不等式的解集为；
当时，，不等式的解为，原不等式的解集为；
当时，原不等式为，不等式的解集为.
综上：当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
20. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（2）求函数的图象沿轴向左平移个单位长度得到函数的图象，求在区间的最值.
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再求其最小正周期和单调增区间即可；
（2）根据（1）中所求，结合函数图像平移求得，再利用整体法即可求得函数的最值.
【小问1详解】
，
∴最小正周期，
当即时单调递增，
∴函数的增区间为；
【小问2详解】
由题可知：，
当时，，
，
，.
21. 某呼吸机生产企业计划投资固定成本500万元引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，需要投入成本（单位：万元）与年产量（单位：台）的函数关系式为，据以往出口市场价格，每台呼吸机的售价为300万元，且依据国外疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完.
（1）求年利润（单位：万元）关于年产量的函数解析式（利润＝销售额－投入成本－固定成本）；
（2）当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润.
【答案】（1）
（2）当年产量为80台时，年利润最大，且最大年利润为1040万元
【解析】
【分析】（1）根据利润＝销售额－投入成本－固定成本求解函数解析式，
（2）当时，利用二次函数的性质求出其最大值，当时，利用基本不等式求出其最大值，然后比较即可
【小问1详解】
当时，；
当时，.
所以；
【小问2详解】
当时，，
故当时，取得最大值；
当时，，
当且仅当“”，即“”时等号成立，
，
即当时，取得最大值
，
综上所述：当年产量为80台时，年利润最大，且最大年利润为1040万元.
22. 若函数、都在区间I上有定义，对任意都有成立，则称、为区间I上的“均分函数”．
（1）判断、是否为区间上的“均分函数”，并说明理由；
（2）若、为区间上的“均分函数”，求m的取值范围；
（3）若、为区间上的“均分函数”，求k的取值范围．
【答案】（1）是均分函数，理由见解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由题设有，换元法及二次函数性质求值域，结合“均分函数”定义判断即可.
（2）由题设在恒成立，列不等式组求范围，即可得的范围.
（3）由题设有在上恒成立，分别求不等式左侧最大值、右侧最小值，即可得k的取值范围．
【小问1详解】
，设，
∴，
∴、是上的均分函数；
【小问2详解】
由题意：在恒成立，即．
∴，解得，则；
【小问3详解】
由题意：
∴，即．
又在上是严格增函数，则．
由，当且仅当时等号成立，但，
故当时，，
∴．
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