专题32-函数的存在与恒成立问题(学生版).docx

专题32 函数的存在与恒成立问题
一、题型选讲
题型一 、 函数的存在问题
函数的恒成立问题往往采取分离参数法，参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：
①，则只需要
，则只需要
②，则只需要
，则只需要
例1、【2019年高考浙江】已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是___________.
例2、(2016泰州期末） 若命题“存在x∈R，ax2＋4x＋a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是________．

例3、(2016苏锡常镇调研） 已知函数f(x)＝x，若存在x∈，使得f(x)<2，则实数a的取值范围是________．

题型二、 函数的恒成立问题
函数的恒成立问题往往采取分离参数法，参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：
（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行。但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法。（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题。（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目）
参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式）（1）若的值域为
①，则只需要
，则只需要
②，则只需要
，则只需要
例4、（2020届山东省泰安市高三上期末）设函数在定义域(0，+∞)上是单调函数，，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是______．
变式5、【2019年高考天津理数】已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为
A． B．
C． D．
例6、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知函数

当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

题型三、函数的存在与恒成立的综合问题
多变量恒成立与存在问题：对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理
（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离。则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了。
（2）将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可。
例7、(2019苏州期末）设函数f(x)＝，若对任意x1∈(－∞，0)，总存在x2∈使得，则实数a的范围

例8、（2017苏锡常镇一调） 已知函数f(x)＝若存在x1，x2∈R，当0≤x1<4≤x2≤6时，f(x1)＝f(x2)，则x1f(x2)的取值范围是________．

二、达标训练

1、(2017泰州期末） 若命题“存在x∈R，ax2＋4x＋a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是________．

2、(2017苏北四市摸底）已知函数f(x)＝ex－1＋x－2(e为自然对数的底数)，g(x)＝x2－ax－a＋3，若存在实数x1，x2，使得f(x1)＝g(x2)＝0，且|x1－x2|≤1，则实数a的取值范围是________.
3、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知函数,若有且只有两个整数使得,且,则的取值范围是( )
A． B． C． D．

4、【2020年高考天津】已知函数，为的导函数．
当时，求证：对任意的，且，有．

5、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）已知.
（1）求的单调区间；
（2）当时，求证：对于，恒成立；
（3）若存在，使得当时，恒有成立，试求的取值范围.