备战2023年高考数学一轮复习-第一课时-证明平行和垂直.docx

第6节　立体几何中的向量方法

1.理解直线的方向向量及平面的法向量.
2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.
3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线 定理).
4.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用.

1.方向向量与空间位置关系
(1)直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量,一条直线的方向向量有　　　个. 
(2)平面的法向量
直线l⊥平面α,取直线l的方向向量,则这个向量叫做平面α的法向量.显然一个平面的法向量有　　　个,它们是共线向量. 
(3)空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2
l1∥l2
n1∥n2⇔n1=λn2 (λ∈R)
l1⊥l2
n1⊥n2⇔n1·n2=0
直线l的方向向量为n,平面α的法向量为m
l∥α
n⊥m⇔n·m=0
l⊥α
n∥m⇔n=λm(λ∈R)
平面α,β的法向量分别为n,m
α∥β
n∥m⇔n=λm(λ∈R)
α⊥β
n⊥m⇔n·m=0
2.两条异面直线所成角的求法
设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则

l1与l2所成的角θ
a与b的夹角β
范围
(0,π2]

求法
cos θ=　　　　 
cos β=a·b|a||b|
3.直线与平面所成角的求法
设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为θ,a与n的夹角为β,则sin θ=　　　　=　　　　　　. 
4.求二面角的大小
(1)如图①,AB,CD分别是二面角α-l-β的两个半平面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=<AB→,CD→>.

(2)如图②③,n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足|cos θ|=　　　　,二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角). 
5.空间中的距离
(1)利用|AB→|2=AB→·AB→可以求空间中有向线段AB的长度.
(2)空间点面之间的距离

已知AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则点B到平面α的距离为|BO→|=　　　　　　. 

1.已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量,若cos<m,n>=-12,则l与α所成的角为(　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
2.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角为(　　)
A.π4 B.34π
C.π4或34π D.π2或34π
3.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为(　　)
A.22 B.155 C.64 D.63
4.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　)
A.32 B.155 C.105 D.33
第一课时　证明平行和垂直

平面的法向量、直线的方向向量及其应用
1.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个单位法向量是(　　)
A.(33,33,-33)
B.(33,-33,33)
C.(-33,33,33)
D.(-33,-33,-33)
2.若平面α,β的法向量分别为n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则(　　)
A.α∥β B.α⊥β
C.α,β相交但不垂直 D.以上均不正确
3.已知AB→=(1,5,-2),BC→=(3,1,z),若AB→⊥BC→,BP→=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为(　　)
A.337,-157,4 B.407,-157,4
C.407,-2,4 D.4,407,-15

1.直线的方向向量的确定:若l是空间的一条直线,A,B是l上任意两点,则AB→及与AB→平行的非零向量均为直线l的方向向量.
2.平面的法向量的确定:设a,b是平面α内两个不共线向量,n为平面α的一个法向量,则可用方程组n·a=0,n·b=0,求出平面α的一个法向 量n.
利用向量证明平行问题
(2021·河北石家庄高三一检)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为梯形,AD∥BC,CD⊥BC,AD=2,AB=BC=3,PA=4,M为AD的中点,N为PC上的点,且PC=3PN.求证:MN∥平面PAB.

用向量方法证明空间中的平行关系
(1)线线平行:证明两直线的方向向量平行.
(2)线面平行:一是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;二是在平面内找一向量与直线的方向向量共线;三是证明直线的方向向量可以利用平面中的两不共线向量线性表示.
(3)面面平行:一是证明两个平面的法向量平行;二是转化为线面平行、线线平行问题.
[针对训练]
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D的中点为E,BD的中点为F,证明: CD1∥EF.

2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分别是棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点.
求证:平面AMN∥平面EFBD.

利用向量证明垂直问题
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=22AD,设E,F分别为PC,BD的中点.求证:

(1)EF∥平面PAD;
(2)平面PAB⊥平面PDC.

利用空间向量证明线、面垂直的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系,建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系.
(2)建立空间图形与空间向量之间的关系,用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素.
(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量,再研究垂直关系.
(4)根据运算结果解释相关问题.
[针对训练]
1.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,过点E作EF⊥PB于点F.求证:

(1)PA∥平面EDB;
(2)PB⊥平面EFD.

2.如图所示,已知四棱锥P-ABCD 的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD= 90°,AB=BC=PB=PC=2CD,平面PBC⊥底面ABCD.用向量方法证明:

(1)PA⊥BD;
(2)平面PAD⊥平面PAB.

平行与垂直关系中的探索性问题
如图,棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2,∠ABC和∠A1AC均为60°,平面AA1C1C⊥平面ABCD.

(1)求证:BD⊥AA1;
(2)在直线CC1上是否存在一点P,使BP∥平面DA1C1?若存在,求出点P的位置;若不存在,请说明理由.

立体几何开放性问题的求解方法
(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想,找出点或线的位置,然后加以证明,得出结论.
(2)假设所求的点或线存在,并设定参数表达已知条件,根据题目要求进行求解,若能求出参数的值且符合已知限定的范围,则存在这样的点或线,否则不存在.
[针对训练]
1.已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=90°, 2AB=2AD=CD,侧面PAD是正三角形且垂直于底面ABCD,E是PC的中点.

(1)求证:BE⊥平面PCD;
(2)在PB上是否存在一点F,使AF∥平面BDE?若存在,求出点F的位置;若不存在,请说明理由.

2.(2021·湖北襄阳模拟)如图,多面体ABCDEF中,DE⊥平面ABCD,四边形ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°,四边形BDEF是正方形.

(1)求证:CF∥平面AED;
(2)在线段EC上是否存在点P,使得AP⊥平面CEF?若存在,求出EPPC的值;若不存在,请说明理由.

请完成“课时作业”第258～259页的内容