专题跟踪检测(十五)-圆锥曲线中的最值、范围、证明问题.doc

专题跟踪检测（十五）
圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
1．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若点M(a,0)为x轴上一定点，P为双曲线右支上一点，求线段PM长的最小值．
解：(1)因为e＝，则双曲线的实轴、虚轴相等，
所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
因为双曲线过点(4，－)，所以16－10＝λ，即λ＝6，
所以双曲线方程为－＝1.
(2)设P(x，y)(x≥)，则|PM|＝＝(x≥)．
令f(x)＝2x2－2ax＋a2－6＝22＋－6(x≥)．
①当≤，即a≤2时，当x＝时，f(x)min＝(－a)2，|PM|min＝|－a|；
②当>，即a>2时，当x＝时，f(x)min＝－6，|PM|min＝ .
2．已知点在椭圆E：＋＝1(a>b>0)上，E的离心率为.
(1)求E的方程；
(2)设过定点A(0,2)的直线l与E交于不同的两点B，C，且∠COB为锐角，求l的斜率的取值范围．
解：(1)∵点在椭圆＋＝1(a>b>0)上，∴＋＝1，又椭圆的离心率为，∴e＝＝，由a2＝b2＋c2，解得∴椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)依题意可知，直线l的斜率存在且不为零，∴设l：y＝kx＋2，B(x1，y1)，C(x2，y2)，
联立化简整理有(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，
∴Δ＝(16k)2－48(1＋4k2)>0，解得k>或k<－，
且x1＋x2＝－，x1·x2＝，
由∠COB为锐角，
∴·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＋－＋4>0，
∴12＋12k2－32k2＋4＋16k2＝16－4k2>0，
∴－2<k<2，∴－2<k<－或<k<2，
∴直线l的斜率的范围是∪.
3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点，点M在圆O：x2＋y2＝5上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点A，B是圆O上异于M的两点，且直线MA，MB与椭圆C相切，求证：A，B关于原点O对称．
解：(1)依题意，解得故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：设点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝5上运动，
①当过点M且与椭圆C相切的直线斜率存在时，设切线的方程为y＝k(x－x0)＋y0，k≠0.
由消去y得(1＋4k2)x2＋8k(y0－kx0)x＋4(y0－kx0)2－4＝0，
则Δ＝64k2(y0－kx0)2－4(1＋4k2)[4(y0－kx0)2－4]＝0，
整理得(4－x)k2＋2x0y0k＋1－y＝0，
设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，则k1k2＝＝＝－1，即AB为圆x2＋y2＝5的直径，故此时A，B关于原点O对称．
②当直线MA的斜率不存在时，直线MA的方程为x＝2或x＝－2，
当直线MA的方程为x＝2时，不妨设M(2,1)，则A(2，－1)，B(－2,1)，此时A，B关于原点O对称；当直线MA的方程为x＝－2时，不妨设M(－2,1)，则A(－2，－1)，B(2,1)，此时A，B关于原点O对称．
③当直线MB的斜率不存在时，同理可得，A，B关于原点O对称．
综上所述，A，B关于原点O对称．
4.如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，离心率为，长轴长为4，椭圆C和抛物线F：y2＝2px(p>0)有相同的焦点，直线l：x－y＋m＝0与椭圆交于M，N两点，与抛物线交于P，Q两点．
(1)求抛物线F的方程；
(2)若点D，E满足 ＝＋，＝＋，求·的取值范围．
解：(1)因为椭圆C的离心率为，长轴长为4，即所以a＝2，c＝1，因为椭圆C和抛物线F有相同的焦点，所以＝1，即p＝2，
所以抛物线F的方程为y2＝4x.
(2)由(1)知椭圆C：＋＝1，由得7x2＋8mx＋4m2－12＝0，
Δ1＝64m2－4×7×(4m2－12)>0，得m2<7，
解得－<m<.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－，
所以y1＋y2＝(x1＋x2)＋2m＝.
易知A(－2,0)，所以＝＋＝(x1＋x2＋4，y1＋y2)＝.
由得x2＋(2m－4)x＋m2＝0，
Δ2＝(2m－4)2－4m2>0，得m<1.
设P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则x3＋x4＝4－2m，所以y3＋y4＝(x3＋x4)＋2m＝4，所以＝＋＝(x3＋x4＋4，y3＋y4)＝(8－2m,4)．
所以·＝·(8－2m,4)
＝(8－2m)＋×4＝m2－m＋32，m∈(－，1)，
易知函数y＝m2－m＋32在m∈(－，1)上单调递减，
所以·∈.
5．已知点B是圆C：(x－1)2＋y2＝16上的任意一点，点F(－1,0)，线段BF的垂直平分线交BC于点P.
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)设曲线E与x轴的两个交点分别为A1，A2，Q为直线x＝4上的动点，且Q不在x轴上，QA1与E的另一个交点为M，QA2与E的另一个交点为N，证明：△FMN的周长为定值．
解：(1)由题意可知|PF|＋|PC|＝|PB|＋|PC|＝|BC|＝4>2＝|FC|，
所以动点P的轨迹E是以F，C为焦点，且长轴长为4的椭圆，设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，则a＝2，c＝1，b2＝3，
因此轨迹E的方程为＋＝1.
(2)证明：如图，不妨设A1(－2,0)，A2(2,0)，Q(4，t)(t≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则直线A1Q的方程为y＝(x＋2)，直线A2Q的方程为y＝(x－2)．
由
得(27＋t2)x2＋4t2x＋4t2－108＝0，
Δ＝16t4－4(27＋t2)(4t2－108)>0，
所以(－2)·x1＝，所以x1＝，
所以M.
同理可得N.
所以直线MN的方程为
y＋＝－，
即y＝－x＋＝－(x－1)，
故直线MN过定点(1,0)．
记F′(1,0)，则△FMN的周长L＝|MF|＋|NF|＋|MN|＝|MF|＋|MF′|＋|NF|＋|NF′|＝2a＋2a＝4a＝8，
所以△FMN的周长为定值8.