2021北京北大附中高三三模数学.docx

2021北京北大附中高三三模
数 学
2021.5
本试卷共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共10题，每题4分共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.已知集合A={-2，-1，0，1}，B={x|-1<x<2}，则A∩B=【 】
A.{-1，0，1} B.{1.2}
C.{0，1，2} D.{0，1}
2.已知复数z的虚部为1，且|z|=2，则：可以是【 】
A.1+i B.1-i
C. D.
3.下列函数中值域是R且为偶函数的是【 】
A. B.
C. D.
4. 已知双曲线和双曲线有共同的渐近线，则=【 】
A.-2 B. C. D.2
5.已知α∈(0，π)，且，，则sinα=【 】
A. B.
C. D.
6.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的最大棱长为【 】
A. B.
C. D.

7. 已知点P是圆与曲线的一个公共点，点Q(2.0).若△PCQ是等腰三角形，则满足条件的r的个数为【 】
A.0 B.1
C.2 D.3
8.已知无穷数列满足(t为常数)，为的前n项和，则“t≥0”是“和都有最小项”的【 】
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
9. 已知函数.若，都有，则实数a的取值范围是【 】
A.(0，1) B.(1.3] C.[3，4] D.(1，4]
10.天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、己、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”......，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”......，以此类推.今年是辛丑年，也是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年，则中国共产党成立的那一年是【 】
A.辛酉年 B.辛戊年 C.壬酉年 D.壬戌年

第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共5题，每题5分，共25分.
11.在的展开式中，的系数为_____________(用数字作答).
12.若函数的定义域是[0，+∞)，则f(x)的值域是_________________.
13.能够满足“对任意x>0，sinxcosx<kx总成立”的一个k值是_________________.
14.已知菱形ABCD的边长为1，∠BAD=60°，.时，______________；当取得最小值时，_________________.
15.在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)到两个定点A(-a，0)，B(a，0)的距离之积等于a2(a>0)，称点P的轨迹为双纽线.双纽线是瑞士数学家伯努利于1694年发现的.所以点P的轨迹也叫做伯努利双纽线.给出下列结论：①；
②点P的轨迹的方程为；
③双纽线关于坐标轴及直线y=x对称；
④满足的点P有三个.
其中所有正确结论的序号是_______________.
三、解答题共6题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. (本小题共14分)如图，在三棱维P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC=AB=2，.侧棱PB与平面ABC所成的角为，D为PB的中点.
(1)求证：PB⊥平面ACD；
(2)若E为AD中点，求二面角A-EC-B的余弦值.

17.(本小题共14分)在△ABC中a=2，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)∠C的值；
(2)b的值和△ABC的面积.
条件①：
条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

18.(本小题共14分)某调研机构就该市工薪阶层对“楼市限购令”的态度进行调查，抽调了5000名市民，他们月收入人数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表：
月收入(单位：百元)
[30，50)
[50，70)
[70，90)
[90，110)
[110，130)
[130，150)
调查人数
500
1000
1500
1000
500
500
赞成人数
400
800
1200
414
99
87
(1)若从抽调的5000名市民中随机选取一名市民，求该市民赞成“楼市限购令”的概率；
(2)依据上表中的数据，若从该市工薪阶层随机选取两人进行调查，记赞成“楼市限购令”的人数为X，求求X的分布列和数学期望；
(3)若从抽调的收入在[30，50)(百元)的市民中随机抽取两名，记赞成“楼市限购令”的人数为，期望记作；若从抽调的收入在[50，90)(百元)的市民中随机抽取两名，记赞成“楼市限购令”的人数为，期望记作，比较，与，的大小关系.(直接写出结论即可)

19.(本小题共14分)己知椭圆经过点A(0，1)，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点B(2，0)作直线l与椭圆C交于不同的两点M，N.问：x轴上是否存在点Q，使得直线MQ与直线NQ关于x轴对称?若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由

20. (本小题共15分)已知函数，其中a∈R.
(1)若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线l的斜率为4，求实数a的值；
(2)当a>0时，若函数f(x)在处取得极大值，求证：；
(3)若函数f(x)恰有两个不同的零点，写出满足条件的所有a的值.

21. (本小题共14分)已知无穷数列满足性质，记
(1)直接写出的所有可能值；
(2)判断能否取到下面的值：-4，-6，-9，并说明理由；
(3)证明：.

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