必修四平面向量的坐标运算附答案.doc

(完整word)必修四平面向量的坐标运算(附答案)
　平面向量的坐标运算
[学习目标］　1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示。2。掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．

知识点一　平面向量的坐标表示
（1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
（2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底,对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a＝xi＋yj，则有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，a＝(x，y)叫做向量的坐标表示．
(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A（x，y），则＝（x，y)，若A（x1，y1），B（x2，y2),则＝（x2－x1，y2－y1）．
思考　根据下图写出向量a,b，c，d的坐标,其中每个小正方形的边长是1.

答案　a＝（2，3），b＝(－2,3）,c＝(－3，－2)，
d＝（3，－3)．
知识点二　平面向量的坐标运算
（1）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2)，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．
(2)若a＝(x1，y1），b＝（x2，y2）,则a－b＝（x1－x2,y1－y2）,即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．
（3）若a＝(x,y）,λ∈R，则λa＝（λx，λy），即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
(4）已知向量的起点A（x1，y1），终点B(x2，y2),则＝（x2－x1,y2－y1)．
思考　已知a＝,b＝，c＝，如下图所示，写出a，b，c的坐标，并在直角坐标系内作出向量a＋b，a－b以及a－3c,然后写出它们的坐标．

答案　

易知:a＝(4，1），b＝（－5，3）,c＝（1，1）,
＝a＋b＝(－1,4),＝a－b＝(9,－2），＝a－3c＝（1,－2）．

题型一　平面向量的坐标表示
例1　已知边长为2的正三角形ABC,顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量,,，的坐标．
解　如图,正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0,0），B（2,0）,C(2cos 60°,2sin 60°），
∴C（1,),D(，），
∴＝(2,0)，＝（1，），
＝（1－2,－0)＝（－1,）,
＝（－2，－0)＝（－，）．

跟踪训练1　在例1的基础上，若E为AB的中点，G为三角形的重心时，如何求向量,，，的坐标？
解　由于B(2，0）,E(1,0），C（1，），D（，)，G(1,),
所以＝(1－1，0－)＝(0,－),
＝(1，)，
＝(1－2,－0)＝(－1，)，
＝（－1,－)＝（－，)．
题型二　平面向量的坐标运算
例2　已知平面上三点A（2，－4)，B（0,6），C（－8，10)，求(1）－；（2)＋2;（3）－。
解　∵A（2，－4）,B(0,6),C（－8,10）．
∴＝(0，6）－（2，－4)＝（－2,10）,
＝（－8,10）－(2，－4)＝（－10,14)，
＝(－8,10)－(0，6）＝(－8,4)．
∴（1)－＝(－2，10）－（－10,14)＝（8，－4)．
（2)＋2＝(－2，10）＋2（－8，4）＝（－18，18）．
（3)－＝（－8，4)－(－10，14)＝（－3,－3)．

跟踪训练2　已知a＝（－1，2）,b＝（2，1),求：
(1）2a＋3b；(2）a－3b；（3）a－b。
解　（1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2，1)
＝(－2，4）＋（6,3）＝(4,7）．
（2）a－3b＝(－1,2)－3（2,1）
＝（－1，2）－（6，3)＝（－7,－1)．
(3）a－b＝（－1,2）－(2,1)
＝－＝。
题型三　平面向量坐标运算的应用
例3　已知点A（2,3），B(5,4)，C(7，10)．若＝＋λ（λ∈R），试求λ为何值时,
（1)点P在一、三象限角平分线上；
（2）点P在第三象限内．
解　设点P的坐标为(x，y）,
则＝(x,y）－（2,3)＝(x－2,y－3），
＋λ＝(5，4)－(2,3)＋λ[（7,10）－（2,3)］
＝（3，1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ,1＋7λ)．
∵＝＋λ，
∴则
(1）若P在一、三象限角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ,
∴λ＝。
（2）若P在第三象限内，则∴λ〈－1。
∴λ＝时,点P在第一、第三象限角平分线上；λ<－1时，点P在第三象限内．

跟踪训练3　已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为（3,7)，(4,6），(1,－2），求第四个顶点的坐标．
解　不妨设A（3，7)，B（4，6),C（1，－2)．第四个顶点为D（x，y)．
则A、B、C、D四点构成平行四边形有以下三种情形．
（1）当平行四边形为ABCD时，＝，
设点D的坐标为(x,y),
∴（4，6)－(3,7）＝（1，－2)－(x，y），
∴　∴　
∴D(0，－1)；
(2）当平行四边形为ABDC时，仿(1)可得D(2，－3）；
(3）当平行四边形为ADBC时，仿(1）可得D(6,15）．
综上所述，第四个顶点的坐标可能为(0，－1），（2,－3)或(6,15）．

坐标法解决向量问题

例4　已知O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°,设＝a,＝b，＝c，且|a｜＝2,|b|＝1，|c|＝3，试用a，b表示c.
分析　注意到两个已知的特殊角,联想到建立直角坐标系求向量坐标．
解　如图，以O为原点,为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，
由三角函数的定义,得B（cos 150°，sin 150°），C(3cos 240°，3sin 240°)．
即B（－，)，C(－,－),
又∵A(2,0），
故a＝(2,0)，b＝（－,)，c＝（－,－）．
设c＝λ1a＋λ2b(λ1,λ2∈R)，∴（－，－)＝λ1(2，0）＋λ2（－，)＝(2λ1－λ2,λ2)，
∴∴
∴c＝－3a－3b.

1．设平面向量a＝（3，5），b＝（－2,1）,则a－2b等于(　　）
A．（7,3） B．（7，7） C．（1，7) D．（1，3)
2．已知向量＝(3，－2），＝（－5，－1），则向量的坐标是（　　）
A. B。
C．(－8，1) D．（8,1）
3．已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2），B(－1,－2），C(3，1），且＝2，则顶点D的坐标为(　　)
A。 B. C．(3，2） D．（1,3）

4．已知向量a＝(2，－3）,b＝（1,2)，p＝（9，4)，若p＝ma＋nb，则m＋n＝________.
5．设向量a＝(1，－3）,b＝(－2,4）,c＝(－1，－2）．若表示向量4a,4b－2c，2(a－c）,d的有向线段首尾相接能构成四边形，求向量d.

一、选择题
1．已知平面向量a＝(1,1），b＝（1,－1),则向量a－b等于（　　）
A．（－2，－1） `B．(－2，1)
C．（－1,0) D．（－1,2)
2．已知a－b＝（1,2)，a＋b＝（4,－10)，则a等于（　　)
A．(－2，－2) B．(2，2)
C．(－2,2） D．(2，－2)
3．已知向量a＝(1,2），b＝(2,3），c＝(3，4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1,λ2的值分别为(　　)
A．－2,1 B．1，－2
C．2，－1 D．－1,2
4．已知M（3，－2），N(－5，－1)且＝，则点P的坐标为（　　）
A．（－8,1） B.
C. D．(8，－1）
5．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线．若＝(2，4)，＝（1，3），则等于(　　)
A．(－2，－4） B．(－3,－5）
C．(3，5） D．(2,4）
6．向量＝（7，－5），将按向量a＝（3,6)平移后得向量，则的坐标形式为（　　）
A．（10,1) B．（4，－11)
C．(7，－5） D．（3,6）

二、填空题
7．已知点A（1,3），B（4，－1），则与向量同方向的单位向量为________．
8．已知平面上三点A(2，－4)，B（0,6)，C(－8，10)，则－的坐标是________．
9．已知A(－1，－2），B（2，3），C(－2,0),D(x，y）,且＝2，则x＋y＝________。

10．已知四边形ABCD为平行四边形，其中A（5，－1)，B（－1，7）,C（1,2），则顶点D的坐标为________．
三、解答题
11．已知a＝（2，1）,b＝（－1,3），c＝(1,2），求p＝2a＋3b＋c，并用基底a、b表示p.

12．已知点A（3，－4）与B(－1，2)，点P在直线AB上，且||＝2|｜，求点P的坐标．

13．已知点A（－1，2)，B(2,8）及＝，＝－，求点C、D和的坐标．

当堂检测答案
1．设平面向量a＝(3,5），b＝（－2,1）,则a－2b等于（　　)
A．（7,3） B．（7,7) C．（1，7） D．（1，3）
2．已知向量＝（3,－2)，＝(－5，－1），则向量的坐标是(　　）
A. B。
C．（－8，1) D．(8,1)
3．已知四边形ABCD的三个顶点A（0，2）,B(－1,－2），C（3,1），且＝2，则顶点D的坐标为(　　)
A. B。 C．(3,2) D．(1，3)
4．已知向量a＝(2，－3)，b＝(1，2)，p＝(9，4），若p＝ma＋nb，则m＋n＝________。
5．设向量a＝（1，－3)，b＝（－2,4），c＝(－1,－2)．若表示向量4a,4b－2c，2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形,求向量d.

课时精练答案
一、选择题
1．答案　D
2．答案　D
3．答案　D
解析　由解得
4．答案　C
解析　设P（x,y），由(x－3，y＋2）＝×（－8，1),
∴x＝－1，y＝－.

5．答案　B
解析　∵＝＋，
∴＝－＝（－1,－1）．
∴＝－＝（－3，－5）．
6．答案　C
解析　与方向相同且长度相等,
故＝＝（7，－5）．
二、填空题
7．答案　
解析　∵＝－＝(4,－1）－（1,3）＝(3，－4),
∴与同方向的单位向量为＝。
8．答案　(－3,6)
9．答案　
解析　∵＝（－2，0)－(－1，－2）＝(－1，2），
＝（x,y）－（2，3)＝（x－2,y－3），
又2＝，即(2x－4,2y－6）＝（－1,2），
∴　解得　
∴x＋y＝。
10．答案　(7，－6)
解析　设D(x，y)，由＝,
∴（x－5，y＋1）＝（2，－5)．
∴x＝7，y＝－6.
三、解答题
11．解　p＝2a＋3b＋c
＝2（2,1）＋3（－1,3)＋（1，2）
＝（4,2)＋(－3,9)＋(1，2)＝（2,13)．
设p＝xa＋yb，则有
，解得。
∴p＝a＋b.
12．解　设P点坐标为(x,y),｜｜＝2｜|.
当P在线段AB上时,＝2。
∴(x－3，y＋4)＝2（－1－x,2－y），
∴解得
∴P点坐标为(，0）．
当P在线段AB延长线上时，＝－2。
∴（x－3，y＋4)＝－2（－1－x,2－y），
∴解得
综上所述，点P的坐标为(,0)或（－5,8)．
13．解　设点C（x1，y1),D(x2，y2)，
由题意可得＝（x1＋1，y1－2)，＝（3,6），
＝（－1－x2，2－y2），＝（－3,－6)．
∵＝，＝－，
∴(x1＋1,y1－2）＝(3，6)＝（1，2）．
∴（－1－x2，2－y2）＝－(－3,－6)＝(1，2），
则有和
解得和
∴C，D的坐标分别为(0,4）和(－2,0），∴＝(－2，－4)．