2019-2021北京重点校初三(上)期中数学汇编：二次函数与一元二次方程.docx

2019-2021北京重点校初三（上）期中数学汇编
二次函数与一元二次方程
一、单选题
1．（2021·北京八十中九年级期中）已知二次函数，当和时对应的函数值相等，则下列说法中不正确的是（ ）
A．抛物线的开口向上
B．抛物线与y轴有交点
C．当时，抛物线与x轴有交点
D．若是抛物线上两点，则
2．（2019·北京八中九年级期中）如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x=1，如果关于x的方程ax2+bx﹣8=0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（　　）

A．﹣4 B．﹣2 C．1 D．3
3．（2019·北京·北师大实验中学九年级期中）已知有且仅有一个正实数满足关于x的方程（x﹣1）（x﹣3）＝k，则k不可能为（　　）
A．﹣1 B．1 C．3 D．5
4．（2021·北京八十中九年级期中）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c=0( )

A．没有实根
B．只有一个实根
C．有两个实根，且一根为正，一根为负
D．有两个实根，且一根小于1，一根大于2
5．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）如图，抛物线y＝﹣x2+1与x轴交于A，B两点，D是以点C(0，﹣3)为圆心，2为半径的圆上的动点，E是线段BD的中点，连接OE，则线段OE的最大值是（ ）

A．2 B． C．3 D．
二、填空题
6．（2019·北京市陈经纶中学九年级期中）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于的方程的解为______．

7．（2020·北京四中九年级期中）已知关于的二次函数的图象如图所示，则关于的方程的根为__________

8．（2021·北京四中九年级期中）已知二次函数的图象与轴只有一个交点．请写出 一组满足条件的的值：__________，_________________
9．（2021·北京师大附中九年级期中）下列关于抛物线y＝x2+bx﹣2．
①抛物线的开口方向向下；
②抛物线与y轴交点的坐标为（0，﹣2）；
③当b＞0时，抛物线的对称轴在y轴右侧；
④对于任意的实数b，抛物线与x轴总有两个公共点．
其中正确的说法是 _____．（填写正确的序号）
10．（2021·北京师大附中九年级期中）若抛物线y＝x2+6x+m与x轴只有两个交点，则m的值为 _____．
三、解答题
11．（2020·北京师大附中九年级期中）在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2－2mx +m－4 (m≠0)的顶点为A,与x轴交于B,C两点(B在点C左侧)，与y轴交于点D．
(1)求点A的坐标;
(2)若BC=4,
①求抛物线的解析式;
②将抛物线在C,D之间的部分记为图象G (包含C,D两点) . 若过点A的直线y= kx+ b(k≠0)与图象G有两个交点，结合函数的图象，求k的取值范围.
12．（2021·北京八十中九年级期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝ax2﹣2ax+4（a≠0）．
（1）当a＝1时，
①抛物线G的对称轴为x＝　 　；
②若在抛物线G上有两点（2，y1），（m，y2），且y2＞y1，则m的取值范围是 　 　．

（2）抛物线G的对称轴与x轴交于点M，点M与点A关于y轴对称，将点M向右平移3个单位长度得到点B，若抛物线G与线段AB恰有一个公共点，请结合图象，求a的取值范围．
13．（2019·北京四中九年级期中）已知二次函数y=x2–kx+k–1（k＞2）．
（1）求证：抛物线y=x2–kx+k-1（k＞2）与x轴必有两个交点；
（2）抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若ΔOAC的面积是，求抛物线的解析式．
参考答案
1．C
【分析】
根据二次函数图象的开口方向、对称性、与坐标轴交点等性质逐条判断即可．
【详解】
解：二次函数二次项系数是1，大于0，抛物线开口向上，故A正确，不符合题意；
当时，，抛物线与y轴有交点为（0，n），故B正确，不符合题意；
二次函数，当和时对应的函数值相等，它的对称轴为，即，，抛物线解析式为，若抛物线与x轴有交点，则，解得，故C错误，符合题意；
两点关于抛物线对称轴直线对称，所以，故D正确,不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与性质，解题关键是熟练掌握二次函数性质，根据相关性质准确进行推断．
2．B
【详解】
分析：抛物线与抛物线的对称轴相同是解题的关键.
详解：∵关于x的方程有一个根为4，
∴抛物线与x轴的一个交点为（4，0），
抛物线的对称轴为直线
抛物线的对称轴也是x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为
∴方程的另一个根为
故选B．

点睛：考查抛物线与一元二次方程的关系，抛物线的对称轴方程是：
3．B
【分析】
此题可以看作抛物线y＝（x﹣1）（x﹣3）与直线y＝k的交点问题来解答，根据题意作出图形，结合图形可以直接得到答案．
【详解】
解：如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣3）与x轴的两个交点坐标是（1，0），（3，0）．
又因为y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
则该抛物线与y轴的交点坐标是（0，3），顶点坐标是（2，﹣1）．
所以当抛物线＝（x﹣1）（x﹣3）与直线y＝k的交点横坐标是正数时，k的取值范围是k≥3或k＝﹣1．
观察选项，只有选项B符合题意．
故选B．

【点睛】
考查了抛物线与x轴的交点，判断出交点所在的位置是解题的关键．
4．D
【分析】
首先根据图象求出抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点横坐标取值范围，进而写出一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况．
【详解】
由图可知：抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点横坐标的取值范围是0＜x1＜1，2＜x2＜3，
则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实根，且一根小于1，一根大于2．
故选D．
【点睛】
本题考查的是抛物线与x轴的交点问题的知识，根据抛物线与x轴的交点求出一元二次方程的两个根是解答此题的关键，此题难度不大．
5．B
【分析】
连接AD，令y＝0，则，得OE是△ABD的中位线，当A、C、D三点共线，且点C在AD之间时，AD最大，即可求解．
【详解】
解：连接AD，如图，
令y＝0，则，解得，则A（−4，0），B（4，0），
∴O是线段AB的中点，
∵E是线段BD的中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴，
设圆的半径为r，则r＝2，
当A、C、D三点共线，且点C在AD之间时，AD最大，此时OE最大，
，
∴线段OE的最大值是．
故选：B．

【点睛】
本题主要考查的是抛物线与x轴的交点以及三角形中位线的性质，解题的关键是根据圆的基本性质，确定AD的最大值．
6．，
【分析】
根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为，，于是易得关于x的方程ax2-bx-c=0的解．
【详解】
解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，
∴方程组的解为，，
即关于的方程的解为，．
故答案为x1=-2，x2=1．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是，对称轴直线x=-．也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题．
7．0或-3
【分析】
求关于的方程的根，其实就是求在二次函数中，当 y=4时x的值，据此可解．
【详解】
解：∵抛物线与x轴的交点为（-4，0），（1，0），
∴抛物线的对称轴是直线x=-1.5，
∴抛物线与y轴的交点为（0，4）关于对称轴的对称点坐标是（-3，4），
∴当x=0或-3时，y=4,即=4，即=0
∴关于x的方程ax2+bx =0的根是x1=0，x2=-3．
故答案为：x1=0，x2=-3．
【点睛】
本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，能根据题意利用数形结合把求出方程的解的问题转化为二次函数的问题是解答此题的关键．
8．
【分析】
根据判别式的意义得到△=b2-4a=0，然后a取一个不为0的实数，再确定对应的b的值．
【详解】
解：∵二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象与x轴只有一个交点，
∴△=b2-4a=0，
若a=1，则b可取2．
故答案为1，2（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
9．②④
【分析】
利用抛物线的性质对每个说法进行逐一判断即可得出结论．
【详解】
∵a＝1＞0，
∴抛物线的开口方向向上．
∴①说法错误；
令x＝0则y＝﹣2，
∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，﹣2）．
∴②说法正确；
∵抛物线y＝x2+bx﹣2的对称轴为直线x＝﹣，
∴当b＞0时，﹣＜0，
∴当b＞0时，抛物线的对称轴在y轴左侧．
∴③说法错误；
令y＝0，则x2+bx﹣2＝0，
∵Δ＝b2﹣4×1×（﹣2）＝b2+8＞0，
∴对于任意的实数b，抛物线与x轴总有两个公共点．
∴④说法正确；
综上，说法正确的有：②④，
故答案为：②④．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象的性质，抛物线与x轴的交点，抛物线上点的坐标的特征，利用抛物线的开口方向，对称轴，抛物线与x轴的交点的性质解答是解题的关键．
10．m＜9
【分析】
令y＝0，则x2+6x+m＝0，由题意得Δ＞0，解不等式即可得出m的取值范围．
【详解】
解：令y＝0，则x2+6x+m＝0，
∵抛物线y＝x2+6x+m与x轴只有两个交点，
∴Δ＝62﹣4×1×m＞0．
解得：m＜9．
故答案为：m＜9．
【点睛】
本题主要考查了抛物线与x轴的交点，利用抛物线与x轴有两个交点时Δ＞0是解题的关键．
11．（1）(1,－4)；（2）①y= x2－2x－3；②-1≤k<0或0<k≤2
【分析】
（1）把一般式配成顶点式，即可得到A点坐标；
（2）根据对称轴，先求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法，即可求出解析式；
②先求出点D（0，-3），画出抛物线，通过画图可得当k＞0时，直线y=kx+b过A、C时，k最大；当k＜0，直线y=kx+b过A、D时，k最大，然后分别求出两直线解析式，即可得到k的范围．
【详解】
解：（1）y=mx2－2mx +m－4
=m(x2－2x+1)－4
=m(x－1)2－4.
∴点A的坐标为(1，－4) .；
（2）①由(1)得，抛物线的对称轴为：x= 1.
∵抛物线与x轴交于B，C两点(点B在点C左侧)，BC=4，
∴点B的坐标为(－1,0)，点C的坐标为(3，0) .
∴m+ 2m +m－4=0
∴m=1.
∴抛物线的解析式为：y= x2－2x－3；
②由①可得点D的坐标为：(0，－3).
当直线过点A， D时，解得：k=－1.
当直线过点A， C时，解得：k=2.
结合函数的图象可知，k的取值范围为：－1≤k<0或0<k≤2.

【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和一次函数图象的性质．解题的关键是熟练掌握二次函数的性质.
12．（1）①；②m＞2或m＜0；（2）＜a≤或a=4．
【分析】
（1）把a=1代入抛物线解析式，①利用对称轴公式即可求得抛物线G的对称轴； ②先画二次函数的简易图象，根据二次函数的图象和性质，抛物线G上有两点（2，y1），（m，y2），且y2＞y1，判断点（m，y2）的位置，进而可得m的取值范围；
（2）根据题意先求出点M、A、B的坐标，再结合图象，分两种情况讨论，即可求a的取值范围．
【详解】
解：（1）①当时，抛物线G为
抛物线G的对称轴为
故答案为1；
②当时，抛物线为
如图，当或时，

抛物线G上有两点（2，y1），（m，y2）， 且y2＞y1，
在点左边抛物线上或点右边的抛物线上，
m的取值范围是m＞2或m＜0；
故答案为：m＞2或m＜0；
（2）∵抛物线G：y=ax2-2ax+4，
抛物线的对称轴为x=1，且对称轴与x轴交于点M，
∴点M的坐标为（1，0）．
∵点M与点A关于y轴对称，
∴点A的坐标为（-1，0）．
∵点M右移3个单位得到点B，
∴点B的坐标为（4，0）．
依题意，抛物线G与线段AB恰有一个公共点，如图，

当时，抛物线的开口向下，
把点A（-1，0）代入y=ax2-2ax+4，可得；此时抛物线与线段有两个交点，
把点B（4，0）代入y=ax2-2ax+4，可得；此时抛物线与线段只有一个交点，
所以：＜a≤
当时，抛物线的开口向上，此时抛物线的顶点在上，
把点M（1，0）代入y=ax2-2ax+4，可得a=4．
综上：抛物线G与线段AB恰有一个公共点时可得：
＜a≤或a=4．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是结合图象解答．
13．（1）详见解析；（2）y=x2-4x+3
【分析】
（1）先计算判别式的值得到△=(k﹣2)2，利用k＞2，可判断△＞0，于是根据△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点即可得到结论；
（2）根据抛物线与x轴的交点问题，解方程x2﹣kx+k﹣1=0得x=k﹣1或x=1，利用k＞2，点A在点B的左侧得到A(1，0)，B(k﹣1，0)，再表示出C(0，k﹣1)，然后根据ΔOAC的面积是，解方程求出k即可得到抛物线的表达式．
【详解】
（1）∵△=(﹣k)2﹣4×1×(k﹣1)=(k﹣2)2，
又∵k＞2，
∴(k﹣2)2＞0，即△＞0，
∴抛物线y=x2﹣kx+k﹣1与x轴必有两个交点；
（2）∵抛物线y=x2﹣kx+k﹣1与x轴交于A、B两点，
∴令y=0，有x2﹣kx+k﹣1=0，解得：x=k﹣1或x=1．
∵k＞2，点A在点B的左侧，
∴A(1，0)，B(k﹣1，0)．
∵抛物线与y轴交于点C，
∴C(0，k﹣1)．
∵，
∴k-1=3，解得：k=4，
∴抛物线的表达式为y=x2﹣4x+3．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了三角函数的定义．

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