广东省汕头市潮阳区2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题-Word版含解析.doc

广东省汕头市潮阳区20182019学年高一（上）期末数学试卷（解析版）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合，集合，则　　
A. B.
C. ， D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可得，据此结合补集的运算求解即可.
【详解】；
．
故选：A．
【点睛】考查描述法、区间表示集合的概念，对数函数的定义域，以及指数函数的单调性，补集的运算．
2.在平面直角坐标系中，已知角始边与x轴非负半轴重合，顶点与原点重合，且终边上有一点P坐标为，则　　
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合三角函数的定义可得，，据此求解的值即可.
【详解】已知角始边与x轴非负半轴重合，顶点与原点重合，且终边上有一点P坐标为，
则，，，
故选：C．
【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
3.设，，，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
故选B
4.若，则　　
A. 2 B. C. D. 17
【答案】B
【解析】
【分析】
，据此结合即可求得的值.
【详解】，
．
故选：B．
【点睛】本题考查函数值的求法，考查实数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.若向量，满足，当，不共线时，与的关系是　　
A. 相等 B. 平行 C. 垂直 D. 相交但不垂直
【答案】C
【解析】
【分析】
根据即可得出，而根据题意可判断和都是非零向量，从而得出与的关系．
【详解】. ；
；
又不共线；
和都是非零向量；
．
故选：C．
【点睛】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的运算，平面向量基本定理．
6. 下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：对于A．为非奇非偶函数，故A错误；对于B．为偶函数，故B错误；对于C．为奇函数但递减，故C错误；对于D．为奇函数且是增函数，适合题意，故选D.
考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性.
7.已知D，E分别是的边BC，AC上的中点，AD、BE交于点F，则　　
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用重心定理得到，再结合四边形法则转化为即可得解．
【详解】，E为中点，为重心，，
，
故选：A．

【点睛】本题主要考查向量加法法则，重心定理等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8.函数的部分图象大致为　　
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意利用函数的奇偶性和函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图像.
【详解】函数，可知函数是奇函数，排除选项B，
当时，，排除A，
时，，排除D．
故选：C．
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
9.设满足，且对任意，有，则　　
A. B.
C. D. 与不可比较
【答案】A
【解析】
【分析】
由得出，由可知对称轴为，可求出，从而得出和的大小关系，结合的单调性得出结论．
【详解】，，
，，即．
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
当时，，
综上，
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，函数的单调性的应用，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10.在直角三角形ABC中，，，对于平面ABC内的任一点M，平面ABC内总有一点D使得，则　　
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】
由可得D为线段AB上的点且，再将转化为，后代入相乘即可．
【详解】对于平面ABC内的任一点，平面ABC内总有一点D使得，
即对于平面ABC内的任一点M，平面ABC内总有一点D使得
所以D为线段AB上的点且

所以
故选：D．
【点睛】本题主要考查平面向量共线法则，平面向量基本定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11.已知将函数的图象向右平移m个单位长度可得的图象，则正实数m的最小值为　　
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用函数的图象变换规律和诱导公式整理计算即可求得最终结果.
【详解】选项中所给的最小值为，
将函数的图象向右平移个单位长度，
可得的图象，
则正实数m的最小值为.
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，诱导公式，属于基础题．
12.在R上定义运算：，若使得成立，则实数a的取值范围是　　
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用定义把整理成，结合题中不等式解集不是空集，可得函数的最大值大于1，由二次函数的性质确定实数a的取值范围即可.
【详解】由题知：
．
，使得不等式成立，
转化为函数的最大值大于1，
即成立，解之可得或．
故选：A．
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知，则的值为______．
【答案】
【解析】
试题分析：将的分子和分母同时除以，则有.
考点：三角函数间的基本关系
14.已知，且，则______．
【答案】7
【解析】
【分析】
由题意结合函数的解析式分类讨论和两种情况确定实数a的值即可.
【详解】，且，
当时，，无解；
当时，，解得．
综上，．
故答案为：7．
【点睛】当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
15.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，，则________.
【答案】4　
【解析】
由可知，，则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，
因此，.
16.已知函数，若方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
首先由函数的解析式绘制函数图像，然后将问题转化为，有4个交点，据此确定实数a的取值范围即可.
【详解】函数，
函数的图象如图：方程有四个不同的实数根，
转化为，有4个交点．
可得．

故答案为：．
【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及计算能力．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知点A在平面直角坐标系中的坐标为，平面向量，，且，，．
(1)求实数m，n及点B的坐标；
(2)求向量与向量夹角的余弦值．
【答案】(1)，，；(2)．
【解析】
【分析】
(1)由，据此可得m的值，由可得n的值，结合向量的坐标运算确定点B的坐标即可.
根据向量的夹角公式，计算夹角的余弦值即可.
【详解】，，
，
所以，因为，
所以，
所以；
由可知，．
【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，平面向量夹角的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
18.(1)求值：；
(2)已知为第四象限角，且，求的值．
【答案】(1)；(2).
【解析】
【分析】
由题意结合复数的运算法则计算所给算式的值即可；
由题意结合诱导公式和同角三角函数基本关系化简可得，然后由角的范围求解的值即可.
【详解】．
，
可得：，，
为第四象限角，．
【点睛】本题考查对数运算法则的应用，诱导公式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力．
19.已知定义在R上的函数的最大值和最小值分别为m、n，且函数同时满足下面三个条件：相邻两条对称轴相距；；．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的单调递减区间及其对称轴；
(3)求函数在区间上的值域．
【答案】(1)；(2)答案见解析；(3).
【解析】
【分析】
相邻两条对称轴相距，从而周期，求出的值，由，得，结合求得的值即可确定函数的解析式；
由，，能求出函数的单调减区间；由，能求出函数的对称轴．
由，得，由此能求出函数在区间上的值域．
【详解】相邻两条对称轴相距，周期，
，又，，
又，，
，
由，可知，
即，，
解得，，
又，，

由，，
，
函数的单调性减区间为，．
由，得，，
解得，，
函数的对称轴为，．
，，

函数在区间上的值域为．
【点睛】本题考查三角函数的解析式、减区间、对称轴、值域的求法，考查三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.2016年汕头市开展了一场创文行动一直以来，汕头市部分市民文明素质有待提高、环境脏乱差现象突出、交通秩序混乱、占道经营和违章搭建问题严重，为了解决这一老大难问题，汕头市政府打了一场史无前例的“创文”仗，目的是全力改善汕头市环境、卫生道路、交通各方面不文明现象，同时争夺2020年“全国文明城市”称号随着创文活动的进行，我区生活环境得到了很大的改善，但因为违法出行的三轮车减少，市民出行偶有不便有一商人从中看到商机，打算开一家汽车租赁公司，他委托一家调查公司进行市场调查，调查公司的调查结果如表：
每辆车月租金定价元
3000
3050
3100
3150
3200
3250

能出租的车辆数辆
100
99
98
97
96
95

若他打算购入汽车100辆用于租赁业务，通过调查发现租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元由上表，他决定每辆车月租金定价满足：
为方便预测，月租金定价必须为50的整数倍；不低于3000元；定价必须使得公司每月至少能出租10辆汽车设租赁公司每辆车月租金定价为x元时，每月能出租的汽车数量为y辆．
(1)按调查数据，请将y表示为关于x的函数．
(2)当x何值时，租赁公司月收益最大？最大月收益是多少？
【答案】(1)，，且，；(2) 当时，即月租金定为4050时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．
【解析】
【分析】
由题意结合表格可知，当定价为3000元时，能出租100辆，当定价每提升50元时能出租的车辆将减少1辆，据此列出函数关系式即可，注意函数的定义域.
由结合题意求得收益函数，，结合二次函数的性质确定x何值时，租赁公司月收益最大即可.
【详解】由表格可知，当定价为3000元时，能出租100辆，当定价每提升50元时能出租的车辆将减少1辆，
则，
令，得，得，得，
所以所求函数，，且，，
由知，租赁公司的月收益为，
则
，，
当时，取得最大值为307050，
即月租金定为4050时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．
【点睛】本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用一元二次函数对称轴与最值的关系是解决本题的关键．
21.已知函数．
(1)若，求a的值．
(2)判断函数的奇偶性，并证明你的结论．
(3)求不等式的解集．
【答案】(1)；(2)奇函数；(3).
【解析】
【分析】
由题意可得，据此化简求解a的值即可；
函数的定义域为R，考查与的关系即可确定函数的奇偶性；
由不等式得，结合函数的单调性求解不等式的解集即可.
【详解】若，则，
得，
即，
则，．
函数的定义域为R，
，即函数是奇函数．
由不等式得，
，
在R上是增函数，
不等式等价为，
即，
即，
得．
即不等式的解集为．
【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题.
22.已知函数．
(1)当时，求不等式的解集．
(2)讨论不等式的解集．
【答案】(1)；(2)详见解析.
【解析】
【分析】
当时，，则由得，据此确定不等式的解集即可；
即，即不等式的解集为
由题意可得，若，不等式的解集可解，
若，则不等式等价为，令，换元后分类讨论求解不等式的解集即可.
【详解】当时，，
由得，得，即，即不等式的解集为
由得，
即，
若，则不等式等价为得，得，
若，则不等式等价为，
令，则不等式等价为，
若，抛物线开口向上，有两个零点2，，
若，则，此时不等式的解为，即，得，
若，则，此时不等式的无解，
若，则，此时不等式的解为，即，得，
若，抛物线开口向下，有两个零点2，，且，
此时不等式的解为或，即或，得或，
综上若，不等式的解集为或，
若，不等式的解集为，
若，不等式的解集为，
若，不等式的解集为空集，
若，不等式的解集为
【点睛】本题主要考查不等式的解法，分类讨论的数学思想，换元思想及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

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