非确定型建模方法-统计建模方法1统计检验法1参数估计.pptx

第四章第四章 非确定型建模方法非确定型建模方法n n从数学的角度看，地理现象可分为两大类，即确定现象确定现象和非确定现象非确定现象。n n确定现象是指事先可以预言的现象，即在准确地重复某些条件下，结果总是肯定的。如，水被加热到100便会沸腾。n n非确定现象，又包括随机现象随机现象和模糊现模糊现象象，二者的共同特点是不确定性。n n随机现象是指事件的结果不确定，即在相同条件下重复进行试验，每次结果未必相同，或知道事物过去的状况，但未来的发展却不能完全肯定。研究这类现象的数学工具是概率论与数理统计概率论与数理统计。n n模糊现象是指事物本身的含义不确定的现象。如，资源“丰富”与“贫乏”，天气“好”与“坏”等。研究这类现象的数学工具是模糊数学模糊数学。n n本章主要针对非确定现象，结合有关实例，探讨运用统计学和模糊数学等知识建立地理模型的有关方法。本章内容：n n经典统计建模方法n n空间统计建模方法n n地统计建模方法n n模糊数学建模方法 4.1 4.1 经典统计建模方法经典统计建模方法n n建立在概率论与数理统计基础上；n n适用于对各种随机现象、随机过程和随机事件的处理；n n由于所有的地理现象、地理过程和地理事件都具有一定的随机性，故统计分析方法是现代地理学中最基本和不可缺少的一类数学方法。n n统计检验法n n相关分析法n n回归分析法n n时间序列分析法n n系统聚类分析法n n主成分分析法n n马尔可夫预测法n n趋势面分析法统计检验法统计检验法n n参数估计与检验n n应用实例参数估计参数估计n n参数估计的一般问题参数估计的一般问题 n n一个总体参数的区间估计一个总体参数的区间估计n n两个总体参数的区间估计两个总体参数的区间估计n n样本容量的确定样本容量的确定n n参数估计是推断统计的重要内容之一，它参数估计是推断统计的重要内容之一，它是在抽样及抽样分布的基础上，根据样本是在抽样及抽样分布的基础上，根据样本统计量来推断我们所关心的总体特征。统计量来推断我们所关心的总体特征。统计推断的过程统计推断的过程样样样样本本本本总体总体总体总体样本统计量样本统计量样本统计量样本统计量样本统计量样本统计量如：样本均值、如：样本均值、如：样本均值、如：样本均值、如：样本均值、如：样本均值、方差方差方差方差方差方差总体均值、方总体均值、方差等差等即：参数估计统计分布u参数估计的一般问题参数估计的一般问题一、估计量与估计值一、估计量与估计值二、点估计与区间估计二、点估计与区间估计三、评价估计量的标准三、评价估计量的标准1.1.估计量：用于估计总体参数的随机变量。估计量：用于估计总体参数的随机变量。如样本均值，样本比率、样本方差等如样本均值，样本比率、样本方差等例例如如:样样本本均均值值就就是是总总体体均均值值 的的一一个个估估计量。计量。2.2.参数用参数用 表示，估计量表示，估计量用用 表示表示3.3.估估计计值值：估估计计参参数数时时计计算算出出来来的的统统计计量量的的具具体值。体值。如如果果样样本本均均值值 x=80，则则80就就是是 的的估估计值。计值。一、估计量与估计值一、估计量与估计值参数估计的方法参数估计的方法:n n点估计（点估计（point estimate）n n区间估计（区间估计（interval estimate）二、（二、（1）点估计）点估计1 1、用用用用样样样样本本本本的的的的估估估估计计计计量量量量直直直直接接接接作作作作为为为为总体参数的估计值。例如，总体参数的估计值。例如，总体参数的估计值。例如，总体参数的估计值。例如，用用用用样样样样本本本本均均均均值值值值直直直直接接接接作作作作为为为为总总总总体体体体均值的估计。均值的估计。均值的估计。均值的估计。抽抽抽抽查查查查了了了了几几几几块块块块地地地地的的的的有有有有机机机机质质质质含含含含量量量量得得得得其其其其平平平平均均均均含含含含量量量量为为为为2.3%2.3%，由由由由此此此此推推推推断断断断该该该该地地地地区区区区土土土土壤壤壤壤有有有有机质含量为机质含量为机质含量为机质含量为2.3%2.3%。2 2、由由由由于于于于没没没没有有有有给给给给出出出出估估估估计计计计的的的的概概概概率率率率保证程度，故，少用。保证程度，故，少用。保证程度，故，少用。保证程度，故，少用。点估计完全正确的概率通常为点估计完全正确的概率通常为0。因此，我们更多的是考虑。因此，我们更多的是考虑用样本统计量去估计总体参数的范围用样本统计量去估计总体参数的范围 区间估计区间估计。二、（二、（2）区间估计）区间估计n n含义：在点估计的基础上，估计总体参数的区间范围，并给出区间估含义：在点估计的基础上，估计总体参数的区间范围，并给出区间估含义：在点估计的基础上，估计总体参数的区间范围，并给出区间估含义：在点估计的基础上，估计总体参数的区间范围，并给出区间估计成立的概率值。计成立的概率值。计成立的概率值。计成立的概率值。n n其中：其中：其中：其中：1-1-(0(0 1)1)称为称为称为称为置信度置信度置信度置信度或或或或置信水平置信水平置信水平置信水平，即置信概率。它表明将构，即置信概率。它表明将构，即置信概率。它表明将构，即置信概率。它表明将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例。占的比例。占的比例。占的比例。1 1、2 2分别为参数分别为参数分别为参数分别为参数 的的的的1-1-下置信限和上置信限。下置信限和上置信限。下置信限和上置信限。下置信限和上置信限。1 1，2 2 称为舍弃域，如图。称为舍弃域，如图。称为舍弃域，如图。称为舍弃域，如图。n n 是区间估计的是区间估计的是区间估计的是区间估计的显著性水平显著性水平显著性水平显著性水平；n n常用的置信水平值有常用的置信水平值有常用的置信水平值有常用的置信水平值有 99%,95%,90%99%,95%,90%n n相应的相应的相应的相应的 为为为为0.01,0.01,0.050.05,0.10,0.101-1-/2/2/2/20 0 1 1 2 2置信区间置信区间置信区间置信区间舍弃域舍弃域舍弃域舍弃域舍弃域舍弃域舍弃域舍弃域置信区间置信区间 我们用我们用95%的置信水平得到某班学生考试成绩的置信区间为的置信水平得到某班学生考试成绩的置信区间为60-80分，如何理解？分，如何理解？错误的理解：错误的理解：60-80区间以区间以95%的概率包含全班同学平均成绩的概率包含全班同学平均成绩的真值；或以的真值；或以95%的概率保证全班同学平均成绩的真值落在的概率保证全班同学平均成绩的真值落在60-80分之间。分之间。正确的理解：正确的理解：如果做了多次抽样（如如果做了多次抽样（如100次），大概有次），大概有95次找次找到的区间包含真值，有到的区间包含真值，有5次找到的区间不包括真值。次找到的区间不包括真值。真值只有一个，一个特定的区间真值只有一个，一个特定的区间“总是包含总是包含”或或“绝对不包含绝对不包含”该真值。但是，用概率可以知道在多次抽样得到的区间中大该真值。但是，用概率可以知道在多次抽样得到的区间中大概有多少个区间包含了参数的真值。概有多少个区间包含了参数的真值。如果还是不好理解，那最好这样回答有关区间估计的结果：该如果还是不好理解，那最好这样回答有关区间估计的结果：该班同学平均成绩的置信区间是班同学平均成绩的置信区间是60-80分，置信度为分，置信度为95%。置信区间与置信水平置信区间与置信水平 样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布(1-(1-)%)%区间包含了区间包含了区间包含了区间包含了%的区间未包含的区间未包含的区间未包含的区间未包含 1 1 /2 2 /2 2区间估计的图示区间估计的图示 x95%95%的样本的样本的样本的样本 -1.96-1.96 x x +1.96+1.96 x x99%99%的样本的样本的样本的样本 -2.58-2.58 x x +2.58+2.58 x x90%90%的样本的样本的样本的样本 -1.65-1.65 x x +1.65+1.65 x x三、评价估计量的标准三、评价估计量的标准n n无无无无偏偏偏偏性性性性：估估计计量量抽抽样样分分布布的的数数学学期期望望等等于于被被估估计计的的总体参数。总体参数。，称，称 为为 的无偏估计量。的无偏估计量。P P()B BA A无偏无偏无偏无偏无偏无偏有偏有偏有偏有偏有偏有偏偏差偏差总体总体样本样本n n有效性：有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计 量，有更小标准差的估计量更有效 AB 的抽样分布的抽样分布的抽样分布的抽样分布 的抽样分布的抽样分布的抽样分布的抽样分布P P()1 1（样本（样本（样本（样本1 1）的方差小于）的方差小于）的方差小于）的方差小于 2 2（样本（样本（样本（样本2 2）的方差）的方差）的方差）的方差n n一一致致性性：随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数AB较小的样本容量较小的样本容量较小的样本容量较小的样本容量较大的样本容量较大的样本容量较大的样本容量较大的样本容量P P()u一个总体参数的区间估计一个总体参数的区间估计一、总体均值的区间估计一、总体均值的区间估计二、总体比率的区间估计二、总体比率的区间估计三、总体方差的区间估计三、总体方差的区间估计总体参数总体参数样本统计量样本统计量均值均值比率比率方差方差一、总体均值的区间估计一、总体均值的区间估计1、假设条件：总体服从正态分布，且 已知；如果不是正态分布，可由正态分布来近似（大样本，n30）。当置信度为当置信度为1-1-，则，则的置信区间为：的置信区间为：n n式中式中 为标准正态分布的右侧临界值（可查为标准正态分布的右侧临界值（可查表得到）。表得到）。n n通常称通常称 为抽样标准误差（简称抽样误差），为抽样标准误差（简称抽样误差），称称 为误差范围或误差极限（为误差范围或误差极限（）。例题1：n n根据以往的资料，土壤中磷的含量服从正态分布。现对某地土壤进行采样调查，测得9个土壤样品中磷的平均含量为364.3ppm，已知该地土壤中磷含量的总体标准差为99.8ppm，试估计该地区土壤中磷平均含量的95%和99%置信区间。解：本例题中解：本例题中 =364.3=364.3，=99.8=99.8，=1.96=1.96，=2.58=2.58。1-1-=0.95=0.95时，时，的置信区间为的置信区间为（364.3-1.9699.8/9364.3-1.9699.8/91/21/2，364.3+1.9699.8/9364.3+1.9699.8/91/21/2）=（299.1299.1，429.5429.5）。）。1-1-=0.99=0.99时，时，的置信区间为的置信区间为（364.3-2.5899.8/9364.3-2.5899.8/91/21/2，364.3+2.5899.8/9364.3+2.5899.8/91/21/2）=（278.5278.5，450.1450.1）。）。n n即该地区土壤中磷平均含量的95%置信区间为299.1429.5ppm；99%置信区间为278.5450.1ppm。在报告结束时，可将点估计和区间估计同时写出，如本例95%和99%的置信可分别写成364.3（299.1，429.5）ppm、364.3（278.5，450.1）ppm。在实际应用中，我们可以利用在实际应用中，我们可以利用ExcelExcel得到总体方得到总体方差已知的总体均值的置信区间。差已知的总体均值的置信区间。n n方法方法1 1：应用：应用ExcelExcel的统计函数中的的统计函数中的“NORMSINVNORMSINV”（临界值函数）、（临界值函数）、“AVERAGEAVERAGE”函数函数分别计算分别计算Z Z/2/2和和 ，然后按前式求出置信区间。，然后按前式求出置信区间。注意：注意：注意：注意：利用统计函数利用统计函数NORMSINVNORMSINV（probabilityprobability）计算临界值时，参数应设为计算临界值时，参数应设为probabilityprobability=1-=1-/2/2。n n方法方法2 2：应用应用ExcelExcel的统计函数中的的统计函数中的“AVERAGEAVERAGE”函函数和数和“CONFIDENCECONFIDENCE”（信度）函数分别计算（信度）函数分别计算和和 ，然后按前式求出置信区间。，然后按前式求出置信区间。2 2、正态总体，且总体方差未知、样本容量较小、正态总体，且总体方差未知、样本容量较小（n n3030）时，）时，置信度置信度1-1-1-1-，则则 的置信区间为（应用的置信区间为（应用t t分布进行区间估计）：分布进行区间估计）：式中，式中，为为t t分布的右侧临界值。分布的右侧临界值。通常称通常称 为抽样标准误差，称为抽样标准误差，称 为为误差范围。误差范围。注意注意：（：（1）当总体为正态分布且方差未知，但）当总体为正态分布且方差未知，但样本样本容量很大时（容量很大时（n30），），t分布与标准正态分布非常接分布与标准正态分布非常接近，可直接从标准正态分布表查临界值，即用近，可直接从标准正态分布表查临界值，即用 代替代替 进行简便计算。总体均值进行简便计算。总体均值的置的置信区间为：信区间为：n n例题2n n对某地土壤酸碱度PH值进行测定，以决定种植作物的种类。共抽取7个地块，其PH值分别为5.4、5.8、6.0、6.2、4.9、5.5、6.3。要求以0.99的概率估计该地区土壤PH值对水稻的适应性。解：解：n n=730=730，属于小样本。土壤，属于小样本。土壤PHPH值应为正态分布，值应为正态分布，因而具有应用小样本估计的条件。因而具有应用小样本估计的条件。n n查查t t分布表，当分布表，当=1-0.99=0.01=1-0.99=0.01，f f=7-1=6=7-1=6时，时，t t=3.707=3.707，n n所以，所以，PHPH值的置信区间为：值的置信区间为：n n专业知识告诉我们，水稻生长适宜的土壤专业知识告诉我们，水稻生长适宜的土壤PHPH值为值为5.06.55.06.5之间，由此可以断定从土壤之间，由此可以断定从土壤PHPH值看该地区值看该地区是适宜种植水稻的。是适宜种植水稻的。注意：（2）当总体不是正态分布但样本容量n足够大时，其总体均值的置信区间为：方差已知方差已知方差已知方差已知方差未知方差未知方差未知方差未知 在实际应用中，我们可以利用在实际应用中，我们可以利用ExcelExcel得到总体方得到总体方差未知的总体均值的置信区间。差未知的总体均值的置信区间。n n方法方法1 1：应用：应用ExcelExcel的统计函数中的的统计函数中的“TINVTINV”（临（临界值）、界值）、“AVERAGEAVERAGE”和和“STDVESTDVE”（样本标准差）（样本标准差）函数分别计算函数分别计算t t/2/2(n n-1)-1)、和和S S的值的值，然后按前，然后按前式求出置信区间。式求出置信区间。注意：注意：注意：注意：利用统计函数利用统计函数TINVTINV（probabilityprobability，deg-deg-freedomfreedom）计算临界值时，参数应设为）计算临界值时，参数应设为probabilityprobability=，deg-freedom=deg-freedom=n n-1-1。n n方法方法2 2：应用应用ExcelExcel的分析工具库中的的分析工具库中的“描述统计描述统计”工具和前式得到置信工具和前式得到置信区间。区间。注意：“描述统计”结果中的“平均”是指“平均数 ”，“置信度”是指“误差范围 ”，“标准误差”是指“抽样标准误差 ”。二、总体比例的区间估计二、总体比例的区间估计 当样本容量n很大（一般要求np5，n(1-p)5）时，总体比例在1-置信水平下的置信区间为：三、总体方差的区间估计三、总体方差的区间估计1.估计一个总体的方差或标准差2.假设总体服从正态分布3.3.总体方差 2 的点估计量为s2,且4.总体方差在1-置信水平下的置信区间为n n式中，和 分别为 分布的左临界和右临界值。总体方差的区间估计(图示)1-1-1-1-总体方差总体方差总体方差1-1-1-的置信区间的置信区间的置信区间自由度为自由度为自由度为自由度为n n-1-1的的的的 分布分布分布分布f(x)f(x)u两个总体参数的区间估计两个总体参数的区间估计一、两个总体均值之差的区间估计一、两个总体均值之差的区间估计二、两个总体比例之差的区间估计二、两个总体比例之差的区间估计三、两个总体方差比的区间估计三、两个总体方差比的区间估计两个总体参数的区间估计两个总体参数的区间估计总体参数总体参数样本统计量样本统计量均值之差比率之差方差比一、两个总体均值之差的估计一、两个总体均值之差的估计(大样本)1.1.1 1，2 2已已知知时时，两两个个总总体体均均值值之之差差 1 1-2 2在在1-1-置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为2.1 1、2 2未知时，未知时，两个总体均值之差两个总体均值之差 1 1-2 2在在1-1-置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为两个总体均值之差的估计(小样本:12=22)1.1.假定条件假定条件两个两个总体都服从正态分布总体都服从正态分布两个总体方差未知但相等：两个总体方差未知但相等：1 1=2 2两个独立的小样本两个独立的小样本(n n1 13030和和n n2 230)30)2.2.总体方差的合并估计量总体方差的合并估计量3.两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为：例题3 为了估计磷肥对某种农作物增产的作用，选20块条件大致相同的地块进行对比试验其中10块地施磷肥，另外10块地不施磷肥，得到单位面积的产量（单位：kg）如下：施 磷 肥：620 570 650 600 630 580 570 600 600 580 不施磷肥：560 590 560 570 580 570 600 550 570 550设施磷肥的地块单位面积产量 X N(，)，不施磷肥的地块单位面积产量 Y N(，）求 的置信度为0.95的置信区间 解 由题设，两个正态总体的方差相等，但 未知,m=10，n=10，=0.05，=0.95，=600，=570，,查表得 ,因此 ,的置信度为0.95的置信区间为两个总体均值之差的估计两个总体均值之差的估计(小样本:1222)n n两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为自由度自由度n n1.假定条件 两个两个总体服从二项分布总体服从二项分布 可以用正态分布来近似可以用正态分布来近似 两个样本是独立的两个样本是独立的n n2.两个总体比例之差1-2在1-置信水平下的置信区间为二、两个总体比例之差的区间估计二、两个总体比例之差的区间估计三、两个总体方差比的区间估计三、两个总体方差比的区间估计1.1.比较两个总体的方差比比较两个总体的方差比2.2.用两个样本的方差比来判断用两个样本的方差比来判断 如果如果S S1 12 2/S S2 22 2接近于接近于1 1,说明两个总体方差很接近说明两个总体方差很接近 如果如果S S1 12 2/S S2 22 2远离远离1 1,说明两个总体方差之间存在差说明两个总体方差之间存在差异异2.2.总体方差比在总体方差比在1-1-置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为两个总体方差比的区间估计(图示)F FF F1-1-1-1-F F 总体方差比总体方差比总体方差比1-1-1-的置信区间的置信区间的置信区间方差比置信区间示意图方差比置信区间示意图方差比置信区间示意图方差比置信区间示意图 在进行参数估计之前，首先应该确定一个适在进行参数估计之前，首先应该确定一个适当的样本容量，也就是应该抽取一个多大的样本当的样本容量，也就是应该抽取一个多大的样本来估计总体参数。在进行估计时，总是希望提高来估计总体参数。在进行估计时，总是希望提高估计的可靠程度。但在一定的样本容量下，要提估计的可靠程度。但在一定的样本容量下，要提高估计的可靠程度（置信水平），就应扩大置信高估计的可靠程度（置信水平），就应扩大置信区间，而过宽的置信区间在实际估计中往往是没区间，而过宽的置信区间在实际估计中往往是没有意义的。比如，我们要说某一天会下雨，置信有意义的。比如，我们要说某一天会下雨，置信区间并不宽，但可靠性相对较低。如果说第三季区间并不宽，但可靠性相对较低。如果说第三季度会下一场雨，尽管很可靠，但准确性又太差，度会下一场雨，尽管很可靠，但准确性又太差，也就是置信区间太宽了，这样的估计也是没有意也就是置信区间太宽了，这样的估计也是没有意义的。义的。u样本容量的确定样本容量的确定 如果想要缩小置信区间，又不降低置信程度，就需要增加样本容量，但样本容量的增加也会受到许多限制。比如，会增加调查的费用和工作量。因此，如何制定一个适当的样本容量，也是抽样估计中需要考虑的一个问题。估计总体均值时样本容量的确定估计总体均值时样本容量的确定估计总体比例时样本容量的确定估计总体比例时样本容量的确定估计总体均值之差时样本容量的确定估计总体均值之差时样本容量的确定估计总体比率之差时样本容量的确定估计总体比率之差时样本容量的确定1、估计总体均值时样本容量n为2、样本容量n与总体方差 2、希望达到的边际误差E、可靠性系数Z或t之间的关系为：与总体方差成正比与总体方差成正比与允许误差成反比与允许误差成反比与可靠性系数成正比与可靠性系数成正比一、估计总体均值时样本容量的确定一、估计总体均值时样本容量的确定 其中：其中：例题4：拥有理学学士学位的大学毕业生年薪的标准差大约为2000元，假定要想估计95%的置信区间，希望边际误差为400元，应取多大的样本容量？解：解：已知已知=2000=2000，E E=400=400，Z Z/2/2=1.96=1.96，根据前式，得：根据前式，得：即，应抽取即，应抽取9797人作为样本。人作为样本。1、根据比例区间估计公式可得样本容量n为二、估计总体比例时样本容量的确定二、估计总体比例时样本容量的确定 2、E的取值一般小于0.13、未知时，可取其最大值0.5其中：其中：其中：例题5：根据以往的生产统计，某种产品的合格率约为90%，现要求边际误差为5%，在求95%的置信区间时，应抽取多少个产品作为样本？解：解：已知：已知：=90%=90%，E E=5%=5%，Z Z/2/2=1.96=1.96。根据前式，得：根据前式，得：即，应抽取即，应抽取139139个产品作为样本。个产品作为样本。三、估计两个总体均值之差时样本容量的确定三、估计两个总体均值之差时样本容量的确定 1.1.设n1和n2为来自两个总体的样本，并假定n1=n22.2.根据均值之差的区间估计公式可得两个样本的容量n为其中：其中：其中：例题6：要估计两个群落的种群平均数量差值的置信区间。要求置信水平为95%，预先估计两个群落的方差分别是：群落1为90，群落2为120。如果要求估计的误差范围（边际误差）不超过5种，在两个群落中应分别抽取多少个种群进行调查？解：解：已知：已知：解得：解得：1.1.设n1和n2为来自两个总体的样本，并假定n1=n22.2.根据比例之差的区间估计公式可得两个样本的容量n为四、估计两个总体比例之差时样本容量的确定四、估计两个总体比例之差时样本容量的确定 其中：其中：其中：The end