2423垂直于弦的直径性质.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,#,第,24,章,圆,24.2,圆的基本性质,第,3,课时 垂直于弦的直,径性质,1,课堂讲解,圆的轴对称性,垂径定理,垂径定理的推论,2,课时流程,逐点,导讲练,课堂小结,作业提升,思考问题：,1.,等腰三角形是轴对称图形吗？,2.,如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，,可以发现什么结论？,3.,如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为,半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？,1,知识点,圆的轴对称性,圆是轴对称图形，对称轴是圆所在平面内任意一条 过,圆心的直线,要点精析：,(1),圆的对称轴有无数条,(2),因为直径是弦，弦是线段，而对称轴是直线，所以,不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对,称轴是直径所在的直线”或说成“圆的对称轴是经,过圆心的直线”,知,1,讲,例,1,下列图形中，对称轴条数最多的是,(,),A,线段,B,正方形,C,正三角形,D,圆,导引：,线段有两条对称轴，正方形有四条对称轴，正三角,形有三条对称轴，圆有无数条对称轴,知,1,讲,D,总,结,知,1,讲,过圆心的任意一条直线都是该圆的对称轴，这是圆独,有的性质,1,下列说法：,(1),圆是轴对称图形；,(2),圆有无数条对称,轴；,(3),圆的任意一条直径都是圆的对称轴；,(4),圆,所在平面内任意一条经过圆心的直线都是圆的对称,轴，其中正确的有,(,),A,1,个,B,2,个,C,3,个,D,4,个,知,1,练,2,过圆内一点,A,可以作出几条圆的对称轴，,(,),A,1,条,B,2,条,C,无数条,D,1,条或无数条,知,1,练,3,如图，由两个等圆组成的图案的对称轴,(,),A,有无数条,B,仅有,2,条,C,仅有,1,条,D,仅有,3,条,知,1,练,2,知识点,垂径定理,知,2,导,知,2,讲,定理：,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的,两条弧用几何语言表述为：,如图，在,O,中，,CD,是直径,CD,AB,于,E,知,2,讲,例,2,已知：如图,24-20,在,O,中，,CD,是直径，,AB,是弦，,并且,CD,丄,AB,垂足为,E.,求证：,AE,=,EB,，,.(,或,),（来自,教材,）,证明：,连接,OA,OB,则,OA,=,OB,OAB,为等腰三角形，所以,底边,AB,上的高,OE,所在直线,CD,是,AB,的垂直平分线，,因此点,A,与点,B,关于直线,CD,对称,.,同理，如果点,P,是,O,上 任意一点，过点,P,作直线,CD,的垂线，与,O,相交于,点,Q,则点,P,与点,Q,关于直线,CD,也对称，所以,O,关于直,线,CD,对称,.,当把圆沿着直径,CD,折叠时，,CD,两侧的两个,半圆重合，,AE,与,BE,重合，点,A,与点,B,重合，与,重合，,与,重合,.,因此，,AE,=,EB,，,.,知,2,讲,（来自,教材,）,归 纳,知,2,讲,同理，可以证明下面的定理：,定理 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并,且平分弦所对的两条弧,.,知,2,讲,例,3,如图,24-21,，,O,的半径为,5 cm,，弦,AB,为,6 cm,求圆心,O,到弦,AB,的距离,.,解,:,连接,OA,，过圆心,O,作,OE,丄,AB,垂足为,E,，则,AE,=,EB,=,AB,=6=3(cm).,又,OA,=5 cm,在,Rt,OEA,中，有,OE,=4(cm),答：,圆心,O,到弦,AB,的距离是,4 cm.,总 结,知,2,讲,本题构造,Rt,OAE,，利用解直角三角形解题。,知,2,讲,例,4,如图所示，在单位长度为,1,的正方形网格中，一段圆,弧经过网格的格点,A,，,B,，,C,.,知,2,讲,(1),请完成如下操作：,以点,O,为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标,轴、网格边长为单位长度，建立平面直角坐标系；,用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心,D,的位置,(,不,用写作法，保留作图痕迹,),，并连接,AD,，,CD,.,解：,如图所示,.,知,2,讲,(2),请在,(1),的基础上，完成下列问题：,写出点的坐标：,C,_,，,D,_,；,D,的半径,_.(,结果保留根号,),导引：,(1),连接,AC,，作,AC,的垂直平分线，交,AB,的垂直,平分线于点,D,，,D,即为圆心；,(2),利用图形即可得出点的坐标；利用勾股,定理即可求出半径,(6,，,2),(2,，,0),总,结,知,2,讲,确定圆心的方法：取任意两条不平行的弦，分别作,两弦的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点即为,圆心,例,5,赵州桥（图,24-22),建于,1 400,年前的隋朝，是我国 石拱,桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形，桥的跨度（弧,所对的弦长）为,37.4 m,，拱高（弧的中点到弦的距离）,为,7.2 m,，求赵州桥桥拱所在圆的半径,.(,精确到,0.1 m),知,2,讲,（来自,教材,）,解：,如图,24-23,，过桥拱所在圆的圆心,O,作的垂线，交,于点,C,，交,AB,于点,D,，则,CD,=7.2 m.,由垂径定理，得,AD,=,AB,=37.4=18.7(m),设,O,的半径为,R,m,，在,Rt,AOD,中，,AO,=,R,OD,=,R,-,7.2,AD,=18.7.,由勾股定理，得,AO,2,=,OD,2,+,AD,2,.,R,2,=(,R,-,7.2),2,+18.7,2,.,解方程，,得,R,27.9.,答：,赵州桥桥拱所在圆的半径约为,27.9 m.,知,2,讲,（来自,教材,）,总,结,知,2,讲,本题运用转化思想将实际问题转化为数学问题，先,正确画出图形，找出图中的已知量，然后构造直角,三角形，最后利用勾股定理求解,1,在,半径为,4 cm,的,O,中,，有长为,4 cm,的弦,AB,.,计算,：,(,1),点,O,与,AB,的,距离；,(,2),AOB,的度数,.,知,2,练,2,已知：如图，在,以,O,为,圆心的两个同心圆中，,大圆,的,弦,AB,交小圆,于,C,D,两,点,.,求证：,AC,=,BD,.,知,2,练,3,(,中考,广元,),如图，已知,O,的直径,AB,CD,于点,E,，,则,下列结论中错误的是,(,),A,CE,DE,B,AE,OE,C.D,OCE,ODE,知,2,练,4,如图，在,O,内有折线,OABC,，其中,OA,8,，,AB,12,，,A,B,60,，则,BC,的长为,(,),A,16,B,18,C,19,D,20,知,2,练,5,(,中考,上海,),如图，已知,O,中，,AB,是弦，,半径,OC,AB,，垂足为点,D,.,要使四边形,OACB,为菱形，,还,需要,添加一个条件，这个条件可以是,(,),A,AD,BD,B,OD,CD,C,CAD,CBD,D,OCA,OCB,知,2,练,3,知识点,垂径定理的推论,1,推论：,(1),平分弦,(,不是直径,),的直径垂直于弦，并且,平分弦所对的两条弧，即：如图，在,O,中，,CD,是直径,CD,平分,AB,AB,不是直径,知,3,讲,知,3,讲,要点精析：,推论中涉及两条弦，注意第一条弦不能为直径,(2),弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧，即：,如图，在,O,中，,CD,AB,CD,平分,AB,知,3,讲,(3),平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平,分弦所对的另一条弧，即：如图，在,O,中，,CD,是直径,例,6,下列说法正确的是,(,),A,经过弦的中点的直线平分弦所对的弧,B,过弦的中点的直线一定经过圆心,C,弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦且经过,圆心,D,弦的垂线平分弦所对的弧,知,3,讲,C,导引：,经过弦的中点的直线有无数条，只有经过弦的中点,且垂直于弦的直线才经过圆心并平分这条弦所对的,弧，所以选项,A,，,B,错误；弦的垂线有很多，不一定,平分弦所对的弧，所以选项,D,错误；平分弦所对的,两条弧的直线必垂直平分弦且经过圆心，所以选项,C,正确,知,3,讲,知,3,讲,例,7,如图，在,O,中，,M,，,N,分别为弦,AB,，,CD,的中点，,AB,CD,，,AB,不平行于,CD,.,求证：,AMN,CNM,.,导引：,由弦,AB,，,CD,的中点,M,，,N,联想到,垂径定理的推论，连接,OM,，,ON,，则可得,OM,AB,，,ON,CD,，再结合,AB,CD,可得,AM,CN,，连接,OA,，,OC,，由勾股定理易得,OM,ON,，所以,OMN,ONM,，进而得出结论,证明：,如上图，连接,OA,，,OC,，,OM,，,ON,.,M,，,N,分别是弦,AB,，,CD,的中点，,OM,AB,，,ON,CD,，,AM,AB,，,CN,CD,.,又,AB,CD,，,AM,CN,.,在,Rt,AOM,和,Rt,CON,中，由勾股定理得,OM,，,ON,.,又,OA,OC,，,OM,ON,，,OMN,ONM,.,AMN,90,OMN,，,CNM,90,ONM,，,AMN,CNM,.,知,3,讲,总,结,知,3,讲,在题目中涉及与弦,(,弧,),的中点有关的问题时，常作的辅,助线是连接圆心与弦,(,弧,),的中点，然后运用垂径定理的,推论解题,1,判断正误：,(1),垂直,于弦的直後平分这条弦,.,(,2),平分弦的直後垂直于这条,弦,.,(,3),弦的垂直平分线必过,圆心,.,(,4),平分弦所对弧的直径垂直于这条,弦,.,知,3,练,如图，,O,的直径,CD,10 cm,，,AB,是,O,的弦，,AM,BM,，,OM,OC,35,，则,AB,的长为,(,),A,8 cm,B.cm,C,6 cm,D,2 cm,知,3,练,3,如图，,O,的直径为,10,，弦,AB,的长为,6,，,M,是弦,AB,上,的一个动点，则线段,OM,的长的取值范围是,(,),A,3,OM,5,B,4,OM,5,C,3,OM,5,D,4,OM,5,知,3,练,4,(,中考,绍兴改编,),小敏利用课余时间制作了一个,脸盆,架,，如图是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子,的,交点,为,A,，,B,，,AB,40 cm,，脸盆的最低点,C,到,AB,的,距离,为,10 cm,，则该脸盆的半径为,_,知,3,练,本节应掌握：,圆的轴对称性；,垂径定理及应用；,方法：,(1),垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、,半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形；,(2),在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线,弦,心距；,(3),为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足过,圆心；垂直于弦；则可得平分弦；平分弦所,对的优弧；平分弦所对的劣弧,