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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考!,9.9 曲线与方程,基础知识 自主学习,关键点梳理,1.曲线与方程,普通地，在平面直角坐标系中，假如某曲线,C,上,点与一个二元方程,f,（,x,，,y,）=0实数解建立了,以下关系：,（1）曲线上点坐标都是,.,（2）以这个方程解为坐标点都是,.,那么这个方程叫做,，这条曲线叫做,.,这个方程解,曲线上点,曲线方程,方程曲线,1/47,2.求动点轨迹方程普通步骤,（1）建系建立适当坐标系.,（2）设点设轨迹上任一点,P,（,x,，,y,）.,（3）列式列出动点,P,所满足关系式.,（4）代换依条件式特点，选取距离公式、,斜率公式等将其转化为,x,，,y,方程式，并化简.,（5）证实证实所求方程即为符合条件动,点轨迹方程.,2/47,3.两曲线交点,（1）由曲线方程定义可知，两条曲线交点坐,标应该是两个曲线方程,，即两个曲线方,程组成方程组实数解；反过来，方程组有几,组解，两条曲线就有几个交点，方程组,，两,条曲线就没有交点.,（2）两条曲线有交点,条件是它们方程所,组成方程组有实数解.可见，求曲线交点问题，就是求由它们方程所组成方程组实数,解问题.,公共解,无解,充要,3/47,基础自测,1.,f,（,x,0,，,y,0,）=0是点,P,（,x,0,，,y,0,）在曲线,f,（,x,，,y,）,=0上 （）,A.充分无须要条件 B.必要不充分条件,C.充要条件 D.既不充分也无须要条件,解析,利用曲线与方程定义两条件来确定其关系，,f,（,x,0,，,y,0,）=0可知点,P,（,x,0,y,0,）在曲线,f,（,x,y,）,=0上，,又,P,（,x,0,，,y,0,）在曲线,f,（,x,，,y,）=0上时，有,f,（,x,0,，,y,0,）=0，,f,（,x,0,，,y,0,）=0是,P,（,x,0,，,y,0,）在曲线,f,（,x,，,y,）=0,上充要条件.,C,4/47,2.方程,x,2,+,xy,=,x,曲线是 （）,A.一个点 B.一条直线,C.两条直线 D.一个点和一条直线,解析,方程变为,x,（,x,+,y,-1）=0，,x,=0或,x,+,y,-1=0.,故方程表示直线,x,=0或直线,x,+,y,-1=0.,C,5/47,3.已知点,A,（-2，0）、,B,（3，0），动点,P,（,x,y,）,满足 ,=,x,2,-6，则点,P,轨迹是 （）,A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线,解析,=（-2-,x,，-,y,），=（3-,x,，-,y,），,则 =（-2-,x,）（3-,x,）+（-,y,）,2,=,x,2,-6，,化简得,y,2,=,x,轨迹为抛物线.,D,6/47,4.已知定点,P,（,x,0,，,y,0,）不在直线,l,:,f,(,x,y,)=0上，则,方程,f,(,x,y,)-,f,(,x,0,y,0,)=0表示一条 （）,A.过点,P,且垂直于,l,直线,B.过点,P,且平行于,l,直线,C.不过点,P,但垂直于,l,直线,D.不过点,P,但平行于,l,直线,解析,P,（,x,0,，,y,0,）不在直线,l,上,f,（,x,0,，,y,0,）0.,方程,f,(,x,y,)-,f,(,x,0,y,0,)=0表示直线与,l,平行.,又,f,（,x,0,，,y,0,）-,f,（,x,0,，,y,0,）=0.,点,P,（,x,0,，,y,0,）在方程,f,（,x,，,y,）-,f,（,x,0,，,y,0,）=0,表示直线上，即直线过,P,点.,B,7/47,5.已知两定点,A,（-2，0），,B,（1，0）,假如动点,P,满足|,PA,|=2|,PB,|，则点,P,轨迹所围成图形,面积等于 （）,A.B.4 C.8 D.9,解析,设,P,（,x,，,y,），则由|,PA,|=2|,PB,|,得(,x,+2),2,+,y,2,=4(,x,-1),2,+,y,2,即（,x,-2）,2,+,y,2,=4，故,P,点轨迹是以（2，0）为,圆心，以2为半径圆.,所围成图形面积等于 2,2,=4 .,B,8/47,题型一 直接法求轨迹方程,【,例1,】如图所表示，过点,P,（2，4）,作相互垂直直线,l,1,、,l,2,.若,l,1,交,x,轴于,A,，,l,2,交,y,轴于,B,，求线段,AB,中点,M,轨迹方程.,设,M,（,x,，,y,），,则,A,、,B,两点坐标可,用,x,y,表示，再利用,=0,建立等式即可.,思维启迪,题型分类 深度剖析,9/47,解,设点,M,坐标为（,x,y,）,M,是线段,AB,中点，,A,点坐标为（2,x,0），,B,点坐标为（0，2,y,）.,=（2,x,-2，-4），,=（-2，2,y,-4）.,由已知 =0，-2（2,x,-2）-4（2,y,-4）=0，,即,x,+2,y,-5=0.,线段,AB,中点,M,轨迹方程为,x,+2,y,-5=0.,10/47,探究提升,（1）本题中等量关系还有,k,PA,k,PB,=,-1，|,AB,|=2|,PM,|.但利用,k,PA,k,PB,=-1时，应分直,线,l,1,斜率存在和不存在两种情况,应用|,AB,|=2|,PM,|,时，运算较繁.,（2）求轨迹方程时，最终要注意它完备性与纯,粹性，多出点要去掉，遗漏点要补上.,11/47,知能迁移1,已知动点,M,到定点,A,(1,0)与定直线,l,:,x,=3距离之,和等于4,求动点,M,轨迹方程.,解,如图所表示,设,M,（,x,y,）是轨迹上任意一点,作,MN,l,于,N,.,则|,MA,|+|,MN,|=4，即 =4-|,x,-3|.,当3,x,4时，=7-,x,.,即,y,2,=-12(,x,-4)(3,x,4).,当0,x,3时，=,x,+1,即,y,2,=4,x,(0,x,3).,M,轨迹方程是,y,2,=-12(,x,-4)(3,x,4),和,y,2,=4,x,(0,x,3).,12/47,题型二 利用定义法求轨迹方程,【,例2,】一动圆与圆,x,2,+,y,2,+6,x,+5=0外切，同时与圆,x,2,+,y,2,-6,x,-91=0内切，求动圆圆心,M,轨迹方程，,并说明它是什么样曲线.,利用两圆位置关系相切这一性,质得到动圆圆心与已知两圆圆心间关系，再,从关系分析满足何种曲线定义.,思维启迪,13/47,解,方法一 如图所表示，,设动圆圆心为,M,（,x,，,y,），,半径为,R,，设已知圆圆心分别为,O,1,、,O,2,，将圆,方程分别配方得：（,x,+3）,2,+,y,2,=4,(,x,-3),2,+,y,2,=100,当动圆与圆,O,1,相外切时，,有|,O,1,M,|=,R,+2.,当动圆与圆,O,2,相内切时，,有|,O,2,M,|=10-,R,.,14/47,将两式相加，得|,O,1,M,|+|,O,2,M,|=12,|,O,1,O,2,|，,动圆圆心,M,（,x,y,）到点,O,1,（-3,0）和,O,2,（3,0）,距离和是常数12，,所以点,M,轨迹是焦点为,O,1,（-3,0）、,O,2,（3,0）,长轴长等于12椭圆.,2,c,=6，2,a,=12，,c,=3，,a,=6，,b,2,=36-9=27，,圆心轨迹方程为 轨迹为椭圆.,15/47,方法二,由方法一可得方程,移项再两边分别平方得：,两边再平方得3,x,2,+4,y,2,-108=0，整理得,所以,动圆圆心轨迹方程是 轨迹是椭圆.,16/47,探究提升,在利用圆锥曲线定义求轨迹时，若所求,轨迹符合某种圆锥曲线定义，则依据曲线方,程，写出所求轨迹方程，若所求轨迹是某种圆锥,曲线上特定点轨迹，则利用圆锥曲线定义列,出等式，化简求得方程.,17/47,知能迁移2,已知圆,C,1,:(,x,+3),2,+,y,2,=1和圆,C,2,:（,x,-3）,2,+,y,2,=9,动圆,M,同时与圆,C,1,及圆,C,2,相外切，求动圆圆,心,M,轨迹方程.,解,如图所表示，设动圆,M,与圆,C,1,及圆,C,2,分别外切于点,A,和点,B,，依据两圆外切充要条件，,得,|,MC,1,|-|,AC,1,|=|,MA,|，,|,MC,2,|-|,BC,2,|=|,MB,|.,因为|,MA,|=|,MB,|，,所以|,MC,2,|-|,MC,1,|=|,BC,2,|-|,AC,1,|=3-1=2.,18/47,这表明动点,M,到两定点,C,2,，,C,1,距离之差是常数2.,依据双曲线定义,动点,M,轨迹为双曲线左支,（点,M,到,C,2,距离大，到,C,1,距离小），这里,a,=1,c,=3,则,b,2,=8,设点,M,坐标为（,x,y,）,其轨迹,方程为 (,x,-1).,19/47,题型三 相关点法(代入法)求轨迹方程,【,例3,】（12分）已知,P,（4，0）是圆,x,2,+,y,2,=36内,一点，,A,、,B,是圆上两动点，且满足,APB,=90,求矩形,APBQ,顶点,Q,轨迹方程.,连结,QP,交,AB,于,R,则,R,是矩形,APBQ,中心.因而可选,R,坐标为中间变量，先求,R,轨迹方程,再将,Q,坐标代入,R,坐标中即可.,思维启迪,20/47,解,如图所表示，设,AB,中点为,R,坐标为（,x,1,，,y,1,），,Q,点坐标为（,x,，,y,），2分,则在,R,t,ABP,中，|,AR,|=|,PR,|，,又因为,R,是弦,AB,中点，依垂径,定理有,R,t,OAR,中,|,AR,|,2,=|,AO,|,2,-|,OR,|,2,=,36-（,x,+,y,）.,又|,AR,|=|,PR,|=,所以有（,x,1,-4）,2,+,y,=36-（,x,+,y,）.,即,x,+,y,-4,x,1,-10=0.8分,4分,21/47,因为,R,为,PQ,中点，所以,x,1,10分,代入方程,x,+,y,-4,x,1,-10=0，得,整理得,x,2,+,y,2,=56.,这就是,Q,点轨迹方程.12分,22/47,探究提升,相关点法也叫坐标转移（代入）法，是,求轨迹方程惯用方法.其题目特征是：点,A,运动,与点,B,运动相关,且点,B,运动有规律（有方程），只需将,A,坐标转移到,B,坐标中,整理即可得,A,轨,迹方程.,23/47,知能迁移3,已知长为1+线段,AB,两个端点,A,、,B,分别在,x,轴、,y,轴上滑动,P,是,AB,上一点,且,=.求点,P,轨迹,C,方程.,解,设,A,（,x,0,，0），,B,（0，,y,0,），,P,（,x,，,y,），,又 =（,x,-,x,0,，,y,），=（-,x,，,y,0,-,y,），,所以,x,-,x,0,=-，,y,=（,y,0,-,y,）,得,x,0,=，,y,0,=（1+）,y,.,因为|,AB,|=1+，即,x,+,y,=（1+）,2,，,24/47,化简得,点,P,轨迹方程为,25/47,方法与技巧,1.,弦长公式:直线,y,=,kx,+,b,与二次曲线,C,交于,P,1,（,x,1,y,1,）,与,P,2,(,x,2,y,2,)得到弦长为,思想方法 感悟提升,26/47,2.求轨迹方法,（1）直接法：,假如动点满足几何条件本身就是一些几何量,（如距离与角）等量关系，或这些几何条件简,单明了且易于表示,我们只需把这种关系转化为,x,、,y,等式就得到曲线轨迹方程.,（2）定义法：,其动点轨迹符合某一基本轨迹（如直线与圆,锥曲线）定义，则可依据定义采取设方程，,求方程系数得到动点轨迹方程.,27/47,在判断轨迹符合哪一个基本轨迹时，经常用几何,性质列出动点满足距离关系后，可判断轨迹是,否满足圆锥曲线定义.,定义法与其它求轨迹方程思维方法不一样处在于：,此方法经过曲线定义直接判断出所求曲线轨迹类,型，再利用待定系数法求轨迹方程.,（3）代入法（相关点法）：,当所求动点M是随着另一动点P（称之为相关点）,而运动.假如相关点P所满足某一曲线方程，这时,我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关,点代入曲线方程，就把相关点所满足方程转化,为动点轨迹方程，这种求轨迹方法叫做相关,点法或坐标代换法.,28/47,失误与防范,1.求曲线方程时有已知曲线类型与未知曲线类型，,普通当已知曲线类型时普通用待定系数法求方程；,当未知曲线类型时惯用求轨迹方程方法求曲线,方程.,2.求曲线轨迹方程时，经常要设曲线上任意一点,坐标为（,x,y,）,然后求,x,与,y,关系.,29/47,3.在求轨迹方程五种类型中，单从思维角度应该,分为两个方面：一是用定义法,（从已知曲线类,型、或从距离关系中）能判断到曲线类型时,再,用待定系数法求曲线方程；二是,当未知曲线类,型时用其它四种方法求曲线方程.,4.仔细区分五种求轨迹方法，合理确定要选择,求轨迹方法,哪些类型、哪些已知条件适合哪一,种方法，要融会贯通，不可乱用方法！,30/47,一、选择题,1.,（北京理,4）,若点,P,到直线,x,=-1距离比,它到点（2,0）距离小1,则点,P,轨迹为（）,A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线,解析,由题意可知,点,P,到直线,x,=-2距离等于它,到点(2,0)距离,依据抛物线定义知,点,P,轨迹,为抛物线.,定时检测,D,31/47,2.方程（,x,-,y,）,2,+(,xy,-1),2,=0曲线是 （）,A.一条直线和一条双曲线,B.两条双曲线,C.两个点,D.以上答案都不对,解析,（,x,-,y,）,2,+(,xy,-1),2,=0,C,32/47,3.已知定点,A,（1，1）和直线,l,:,x,+,y,-2=0，那么到定,点,A,距离和到定直线,l,距离相等点轨迹为,（）,A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线,解析,因为点,A,在直线,x,+,y,-2=0上.所以选D.,D,33/47,4.已知点,A,（-2,0）、,B,（3,0）,动点,P,（,x,，,y,）满,足 =,x,2,，则点,P,轨迹是 （）,A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线,解析,由条件知，=（-2-,x,，-,y,），=（3-,x,，-,y,）.,=（-2-,x,）（3-,x,）+,y,2,=,x,2,，,整理得：,x,2,-,x,-6+,y,2,=,x,2,，即,y,2,=,x,+6，,点,P,轨迹为抛物线.,D,34/47,5.如图所表示,一圆形纸片圆心为,O,，,F,是圆内一定点，,M,是圆周,上一动点，把纸片折叠使,M,与,F,重合,然后抹平纸片,折痕为,CD,，,设,CD,与,OM,交于点,P,，则点,P,轨迹是 （）,A.椭圆 B.双曲线,C.抛物线 D.圆,解析,由条件知|,PM,|=|,PF,|.,|,PO,|+|,PF,|=|,PO,|+|,PM,|=|,OM,|=,R,|,OF,|.,P,点轨迹是以,O,、,F,为焦点椭圆.,A,35/47,6.有一动圆,P,恒过定点,F,(,a,0)（,a,0）且与,y,轴相,交于点,A,、,B,，若,ABP,为正三角形，则点,P,轨,迹为 （）,A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线,解析,设,P,（,x,，,y,），动圆,P,半径为,R,，,因为,ABP,为正三角形，,P,到,y,轴距离,d,=，即|,x,|=.,而,R,=|,PF,|=,|,x,|=,整理得:(,x,+3,a,),2,-3,y,2,=12,a,2,，即,点,P,轨迹为双曲线.,D,36/47,二、填空题,7.平面上有三个点,A,（-2，,y,），,B ，,C,（,x,，,y,），若 ,则动点,C,轨迹方程是,.,解析,动点,C,轨迹方程为,y,2,=8,x,.,y,2,=8,x,，,37/47,8.,ABC,中，,A,为动点，,B,、,C,为定点，,且满足条件,sin,C,-sin,B,=sin,A,则动点,A,轨迹方程是,.,解析,由正弦定理：,|,AB,|-|,AC,|=|,BC,|，且为双曲线右支.,38/47,9.已知,ABC,顶点,B,（0，0），,C,（5，0），,AB,边上中线长|,CD,|=3，则顶点,A,轨迹方程为,.,解析,方法一,直接法.设,A,（,x,y,）,y,0,则,化简得：（,x,-10）,2,+,y,2,=36,因为,A,、,B,、,C,三点,组成三角形，所以,A,不能落在,x,轴上，即,y,0.,39/47,方法二,定义法.如图所表示，设,A,（,x,y,）,D,为,AB,中点，过,A,作,AE,CD,交,x,轴于,E,，,|,CD,|=3，,|,AE,|=6，则,E,（10，0）,A,到,E,距离为常数6，,A,轨迹为以,E,为圆心，6为半径圆，,即(,x,-10),2,+,y,2,=36,又,A,、,B,、,C,不共线，故,A,点纵坐,标,y,0,故,A,点轨迹方程为（,x,-10）,2,+,y,2,=36(,y,0).,答案,(,x,-10),2,+,y,2,=36(,y,0),40/47,三、解答题,10.,A,、,B,分别是直线,y,=,x,和,y,=-,x,上动点.,O,是,坐标原点，且|,OA,|,OB,|=,a,2,+,b,2,（,a,，,b,为常数,值，,b,0）.,求线段,AB,中点,P,轨迹方程.,解,设,P,、,A,、,B,三点坐标分别为（,x,，,y,）、,（,x,1,，,y,1,）、（,x,2,，,y,2,）.,41/47,又|,OA,|,OB,|=,且|,OA,|,OB,|=,a,2,+,b,2,，|,x,1,x,2,|=,a,2,.,将代入得,y,=(,x,1,-,x,2,),即 ,2,-,2,得,x,2,-即,x,2,-=,a,2,.,所求轨迹方程为 =1.,42/47,11.已知抛物线,y,2,=2,x,O,为顶点，,A,、,B,为抛物线上,两动点，且满足,OA,OB,，假如,OM,AB,，垂足,为,M,，求,M,点轨迹.,解,方法一,设直线,OA,方程为,y,=,kx,则直线,OB,方程为,y,=-,x,.,由 得,k,2,x,2,=2,x,则,x,=0或,x,=,A,点坐标为 ,将,A,点坐标中,k,换为-，,可得,B,点坐标（2,k,2,-2,k,），,则直线,AB,方程为,y,+2,k,=(,x,-2,k,2,),43/47,即,y,=(,x,-2).,又直线,OM,方程为,y,=,整理得(,x,-1),2,+,y,2,=1(,x,0),所求轨迹为以（1，0）为圆心，半径为1圆,（去掉原点）.,方法二,由方法一知，直线,AB,过,N,（2，0）点，,所以,OMN,为直角三角形，点,M,在以,ON,为直,径圆上运动，点,M,轨迹方程为（,x,-1）,2,+,y,2,=1,(,x,0).,44/47,12.如图所表示，已知点,C,坐标是（2，2），过点,C,直线,CA,与,x,轴交于点,A,过点,C,且与直线,CA,垂直直线,CB,与,y,轴交于点,B,.,设点,M,是线段,AB,中点，,求点,M,轨迹方程.,解,方法一,（参数法）,设,M,坐标为（,x,y,）.,若直线,CA,与,x,轴垂直,则可得到,M,坐标为(1,1).,若直线,CA,不与,x,轴垂直,设直线,CA,斜率为,k,则,直线,CB,斜率为-,故直线,CA,方程为,y,=,k,(,x,-2)+2,45/47,令,y,=0得,x,=2-,则,A,点坐标为,CB,方程为,y,=-(,x,-2)+2,令,x,=0,得,y,=2+，,则,B,点坐标为 ,由中点坐标公式得,M,点,坐标为,46/47,消去参数,k,得到,x,+,y,-2=0(,x,1),点,M,（1，1）在直线,x,+,y,-2=0上，,总而言之，所求轨迹方程为,x,+,y,-2=0.,方法二,（直接法）设,M,（,x,，,y,），依题意,A,点坐标,为（2,x,0）,B,点坐标为（0，2,y,）.,|,MA,|=|,MC,|，,化简得,x,+,y,-2=0.,方法三,（定义法）依题意|,MA,|=|,MC,|=|,MO,|,即:|,MC,|=|,MO,|,所以动点,M,是线段,OC,中垂线，,故由点斜式方程得到：,x,+,y,-2=0.,返回,47/47,
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