高等代数矩阵的相抵合同相似模板.doc

莆田学院数学系
“高等代数选讲”课程论文

题目: 矩阵相抵、 协议、 相同
部分相关这三种等价关系联络、 差异和不变量

姓名: 阮超英
学号: 21041132

数学系级本科（1）班

年6月23日

矩阵相抵、 协议、 相同
部分相关这三种等价关系联络、 差异和不变量

[摘要] 矩阵相抵、 协议、 相同这三种等价关系之间既包含着联络, 又蕴涵着差异, 以及矩阵在各自关系下不变量。
[关键词] 相抵; 协议; 相同; 等价关系; 不变量

1 首先介绍矩阵相抵、 协议及相同概念引入及其定义以及等价关系证实。
1.1矩阵相抵
矩阵相抵是在矩阵初等变换基础上引入, 故先了解一下初等变换下初等矩阵。
定义1 由单位矩阵经过一次初等变换得到矩阵称为初等矩阵。
显然, 初等矩阵是方阵, 每个初等变换都有一个与之对应初等矩阵。
交换矩阵行与行位置

把矩阵行乘以一非零数（为数域中数）

把矩阵行倍加到行, 有

一样能够得到与列变换对应初等矩阵, 不难看出, 初等矩阵是可逆, 且逆矩阵还是初等矩阵。
定义2 矩阵与相抵（记为或称为等价）是指对进行行和列有限次初等变换后可得到, 亦即存在初等矩阵
显然, 矩阵相抵是一个等价关系, 它满足
＜1＞ 对称性 若与相抵,则与相抵;
因为由定义2, 有: ,
这么可得到:
＜2＞ 反身性 若和本身相抵;
因为:
＜3＞ 传输性 若和相抵, 和相抵, 则和相抵。
因为:

故:
而矩阵相抵一个关键方面就是矩阵相抵。
多项式, 以下三种变换称为对“初等行变换”:
1．交换矩阵两行;
2．把矩阵某行乘以一非零数
3．把矩阵一行乘以一多项式加到另一行上去。
类似能够定义列初等变换。
定义3 若, 都是矩阵且经过初等变换后可变为, 则称矩阵与相抵。
与数字矩阵一样, 矩阵相抵关系是一个等价关系。即
<1>与本身相抵;
<2>若与相抵,则与相抵;
<3>若与相抵,与相抵,则与相抵。
矩阵协议
经过一个非退化线性替换,二次型还是变成二次型.不过,替换后二次型与原来二次型之间有什么关系,即找出替换后二次型矩阵与原二次型矩阵之间关系。 设:
〈1〉
是一个二次型, 作非退化线性替换〈2〉
我们得到一个二次型
现在来看矩阵与关系
把〈2〉带入〈1〉, 有
易看出矩阵也是对称, 实际上
由此, 即得
这就是前后两个二次型矩阵关系, 与之对应, 我们引入
定义4 数域上矩阵成为协议, 假如有数域上可逆矩阵, 使 。
协议是矩阵之间一个关系, 不难看出协议关系含有
<1>反身性
<2>对称性 由即得
<3>传输性
因之, 协议是一个矩阵之间等价关系, 而且经过非退化线性替换, 新二次型矩阵与原二次型矩阵是协议。
1.3矩阵相同
引入:
定理1 设线性空间中线性变换在两组基
〈3〉
〈4〉
下矩阵分别为从基〈3〉到〈4〉过渡矩阵是, 于是

证实: 已知

于是

由此即得
由此我们引进相同定义
定义5 设, 为数域上两个级方阵, 假如能够找到数域上级可逆矩阵, 使得 , 就说相同于。记作。
相同是矩阵之间一个关系, 这种关系含有下面三个性质:
<1>反身性 , 这是因为
<2>对称性 假如, 那么。假如, 那么有X使
, 令, 就有
所以。
<3>传输性 假如, , 那么。
已知有, 使令
就有
2部分相关矩阵相抵、 协议、 相同充要条件及其证实
定理2 矩阵与相抵当且仅当二者行列式因子组相同或者不变因子组相同。
证实: 我们只需证行列式因子在任意一个初等变换下不变就能够了。
对第一个初等变换, 变换矩阵任两行, 显然阶子式最多改变一个符号, 所以行列式因子不变。
对第二种初等变换, 阶子式与变换后矩阵阶子式最多差一个非零常数, 所以行列式因子也不改变。
对第三种初等变换, 记变换后矩阵为, 则与阶子式可能出现以下3种情形:
〈1〉 子式完全相同;
〈2〉 子式中一行（或一列）等于中对应子式同一行（列）加上该子式中某一行（列）与某个多项式之积;
〈3〉 子式某一行（或列）等于中对应子式同一行（列）加上不在该子式中某一行与某一个多项式之积。在前面两种情形, 行列式值不变, 所以不影响行列式因子, 现在来讨论第三种情形。设为阶子式, 对应阶子式记为, 则由行列式性质得

其中由行与列组成, 所以它与阶子式最多差一个符号。是乘以某一行那个多项式, 于是行列式因子|, |, 故 |, 这说明可整除 全部阶子式, 所以可整除阶行列式因子。但也可用第三种初等变换变成, 于是|, 因为及都是首一多项式, 所以必有。证毕
定理3 两个复数对称矩阵协议充要条件是它们秩相同。
证实: 因为任意一个复系数二次型经过一合适非退化线性替换能够变成规范形, 且规范形是唯一。换个说法既是, 任一复数对称矩阵协议于一个形式为

对角阵, 从而有, 两个复数对称矩阵协议充足必需条件是它们秩相同。
定理4 数域上阶矩阵, 则与相同充要条件是它们
特征矩阵与含有相同行列式因子或不变因子。
证实: 显然不变因子被行列式因子唯一确定, 反之, 行列式因子也被
不变因子唯一确定, 由定理2及定理: “设, 是数域上矩阵,
则与相同充要条件是矩阵与相抵”证毕
3基于上述多个定理, 深入探讨矩阵相抵、 协议、 相同之间部分联络及差异。
(1)为了把数域上矩阵相同关系归结为矩阵相抵关系,先介绍一个定理。
定理5 设, 是数域上矩阵, 则与相同充足必需条件是矩阵与相抵。
证实: 若与相同, 则存在上非异阵使于是
〈3〉
把看成是常数矩阵, 〈3〉式表明与相抵。
反过来, 若与相抵, 即存在及, 使
〈4〉
其中与都是有限个初等矩阵之积, 所以都是可逆阵。所以可将〈4〉式写为:
〈5〉
又可设 〈6〉
代入〈5〉式经整理得:
〈7〉
〈7〉式左边是一次矩阵多项式, 所以〈7〉式中括号内部分必需是零次, 也即必是一个常数矩阵, 设为。于是
〈8〉
〈8〉式又可整理为
再次比较次数得
现只须证实是一个非异阵即可。由假设

将上式两边右乘并移项得:
但
所以 〈9〉
又设
代入〈9〉式并整理得
比较次数即知上式左边方括号内矩阵必需为零。所以, 即是非异阵。证毕
推论1 设是复数域上两个数域且 , 若是上两个矩阵, 则在上相同充要条件是它们在上相同。
证实: 若在上相同, 因为 , 它们当然在上相同, 反之, 若在上相同, 则与 在上有相同不变因子, 也就是说它们有相同法式, 但在求法式过程中只包含多项式加、 减、 乘及数加、 减、 乘及数乘下也封闭。所以法式中不变因子多项式仍是上多项式, 与初等变换相对应初等矩阵也是上矩阵, 也就是说存在上可逆钜阵使 ,

所以, 与在上相抵, 从而, 在上相抵。证毕
例1设, , 它们相同吗？
解法1:

所以与等价, 故。

解法2:

所以与等价, 故。
此题将相同关系转化为等价关系, 相同关系难以处理, 但等价关系就能够用初等变换, 这么问题就变得比较具体, 同时还能够求出相同变换矩阵。实际上, 由上可知

即 , 于是,
从而, 这里

（2）协议与相同之间联络
因为一个二次型经变量代换后得到二次型相伴对称矩阵与原二次型相伴对称矩阵是协议, 又因为含平方项二次型其相伴对称矩阵是一个对角阵, 所以, 化二次型为平方项等价于对对称矩阵寻求非异阵, 使是一个对角阵。这一情形于矩阵相同关系颇为类似, 在相同关系下我们期望找到一个非异阵, 使 成为简单形式矩阵（如标准型）。现在我们要找一个非异阵, 使为对角阵, 所以把二次型化为平方项相当于寻求协议关系下标准型。
4 矩阵相抵、 协议、 相同关系下不变量及全系不变量
（1） 秩是两个（同阶）矩阵在相抵关系下不变量, 反之, 若两个
矩阵秩相同, 则它们必相抵, 这是因为基于以下
定理6 任意一个矩阵都与一形式为

矩阵等价 , 它称为矩阵标准形, 主对角线上1个数等于秩（1个数能够是零）。
证实: 假如, 那么它已经是标准形了, 以下无妨假定, 经过初等变换一定能够变成一左上角元素不为零矩阵。
当初, 把其它行减去第一行 倍, 其它列减去第一列 倍。然后, 用乘第一行, 就变成

是一个矩阵, 对再反复以上步骤。这么下去便可得出所要标准形。显然, 标准形矩阵秩就等于它主对角线上1个数, 而初等变换不改变矩阵秩, 所以1个数也就是矩阵秩。而矩阵和相抵充要条件是有初等矩阵
使
故秩是两个（同阶）矩阵在相抵关系下不变量。
（2） 相同矩阵不变量, 这些不变量不仅在相同关系下保持不变
而且足以判定两个矩阵是否相同, 我们称这么不变量为全系不变量。
相同关系比相抵关系更为复杂部分, 它全系不变量也比秩复杂。我们知道, 矩阵特征多项式（从而特征根）是相同不变量。但它并不是全系不变量, 因为我们很轻易举出例子来证实这一点, 比以下面两个矩阵特征多项式相同但不相同:

特征多项式与特征多项式都是, 但, 决不相同。大家经过研究最终发觉, 两个矩阵与之间相同与 相抵有着亲密联络: 这么我们能够把数域上矩阵相同关系归结为矩阵相抵关系, 又由定理2知行列式因子组或不变因子组是 矩阵矩阵与相抵不变量, 而由定理4知数域上阶矩阵与相同, 则它们特征矩阵 与含有不变行列式因子或不变因子。
（3）秩是矩阵协议关系下一个不变量
我们已经知道, 任意一个实对称阵必相合于一个对角阵:
,
其中显然 。所以秩是矩阵协议关系下一个不变量。如同相同标准型一样, 我们要找出实对称矩阵在协议关系下全系不变量。
因为协议关系是等价关系, 我们不妨设实对称矩阵已含有下列对角阵形状:
由: “设是数域上非零对称矩阵, 则必存在非异阵, 使 第（1, 1） 元素不等于零”知道, 任意调换主对角线上元素得到矩阵仍与协议。所以, 我们可把零放在一起, 把正项和负项放在一起, 即可设
所代表二次型为
令

则式变为
这等价于说协议于下列对角阵:
现在我们要证实式中数及是一个不变量。
定理7 设是一个元实二次型, 可化为两个标准型:

其中;

则必有
证实: 用反证法, 设, 由前面说明知道可设 及均为+1或-1, 所以

又设
其中, , ,
于是。令
则

因为 , 所以齐次方程组
必有非零解（个未知数, 个方程式）令其中一个非零解为
把这组解代入式左边得到,
但这时, 故式右边将小于等于零, 这就引出了矛盾。同理可证也为不可能。证毕
现引入符号差定义:
定义6 设是一个实二次型, 若它能化为形如式形状, 则称是二次型秩, 是正惯性指数, 是负惯性指数, 称为符号差。
定理8 秩与符号差是实对称矩阵协议关系下全系不变量。
证实: 由上面定理知道 , 秩与符号差是实对称矩阵协议关系下关系不变量。反之, 若阶实对称矩阵秩为, 符号差都是, 则它们都协议于
其中个1, 个-1及个零。所以与协议。证毕
对于复二次型要比实二次型更简单。因为下列复二次型

均可化为
其,
所以复对称矩阵协议关系只有一个全系不变量, 那就是秩。
参考文件: [1] 北大数学系几何与代数教研室代数小组. 《高等代数》（第三版）.高等教育出版社. [2] 李师正, 张玉芬, 李桂荣等. 《高等代数解题方法与技巧》高等教育出版社. [3] 张贤科, 许甫华编著. 《高等代数学》.清华大学出版社. [4] 姚慕生编著. 《高等代数学》.复旦大学出版社.