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标准正交基

一、 标准正交基定义及相关概念

1、 欧几里得空间: 设V实数域R上一线性空间, 在V上定义了一个二元实函数, 称为内积, 记作（）, 它含有以下性质:
（1） (）=();
（2） (k)=k();
（3） ()=()+();
（4） ()>=0, 当且仅当=0时, ()=0;
这里, 是V中任意向量, k是任意实数, 这么线性空间V称为欧几里得空间, 简称欧氏空间。

2、 正交向量组: 欧式空间V中一组非零向量, 假如它们两两正交, 就称为一正交向量组。

3、 标准正交基: 在n维欧氏空间中, 由n个向量组成正交向量组称为正交基, 由单位向量组成正交基称为标准正交基。

二、 标准正交基相关性质

1、 正交向量组性质:
（1） 正交向量组是线性无关。
证实: 设是一正交向量组, 是m个实数, 且有:

用与等式两边作内积, 得:
由, 有, 从而:
命题得证。

（2） 单个非零向量组成向量组是正交向量组。
（3） 在n维欧氏空间中, 两两正交非零向量不超出n个。（如: 在平面上找不到三个两两垂直非零向量, 在空间中找不到四个两两垂直非零向量。）

2、 标准正交基性质:

（1） 若是一组标准正交基, 则:
证实: 时, 由单位向量定义: ,
时, 由正交向量定义:
命题得证。

（2） 对一组正交基单位化就得到一组标准正交基。
比如:
因为
所以是一组标准正交基。

（3） n维欧氏空间中, 一组基为标准正交基充要条件是这组基度量矩阵为单位矩阵。
因为度量矩阵是正定, 依据第五章相关正定二次型结果, 正定矩阵等同于单位矩阵, 这说明在n维欧氏空间中存在一组基, 它度量矩阵是单位矩阵, 由此能够断言, 在n维欧氏空间中, 标准正交基是存在。

（4） 若是一组标准正交基, 向量在该基下坐标为, 即:
则:
证实:

（5） 若是一组标准正交基, 且:

则:
这个表示式是几何中向量内积在直角坐标系中坐标表示式推广。

三、 标准正交基求法

定理1: n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基。
证实: 设是欧氏空间中一正交向量组,
对作数学归纳法,
当初, 就是一组正交基了。
假设时定理成立, 也就是说, 能够找到向量, 使得成为一组正交基。
现在来看情形。因为, 所以一定有向量不能被线性表出, 作向量
这里是待定系数, 用与作内积, 得:

取 有
由选择可知, 所以是一正交向量组, 依据归纳法假定, 能够扩充成一正交基, 得证。

定理2: 对于n维欧氏空间中任意一组基, 都能够找到一组标准正交基, 使
证实: 设是一组基, 逐一求出向量
首先, 取通常, 假定已经求出, 它们单位正交, 含有性质 下一步求
因为, 所以不能被线性表出按定理1证实中方法, 作向量
显然, , 且
令, 就是一单位正交向量组,
同时,
由归纳法原理, 得证。
定理中要求, 就相当于由基到基过渡矩阵是上三角形。
定理 2中把一组线性无关向量变成一单位正交向量方法称为施密特（Schimidt）正交化过程。

例: 把, , , 变成单位正交向量组。
解: 先把它们正交化, 得: ,
,
再单位化, 得: , ,
,

四、 正交矩阵

1、 定义: n级实数矩阵A称为正交矩阵, 假如;
所以, 以上分析表明, 由标准正交基到标准正交基过渡矩阵是正交矩阵; 反过来, 假如第一组基是标准正交基, 同时过渡矩阵是正交矩阵, 那么第二组基一定也是标准正交基。
最终, 依据逆矩阵性质, 由, 得,
写出来就是:
上式是矩阵行与行之间关系, 而是矩阵列与列之间关系, 二者是等价。

2、 正交矩阵性质:
（1） 若A为正交矩阵, 则;
（2） 若A为正交矩阵, 则;
（3） 若A为正交矩阵, 则也是正交矩阵;
（4） 若A为正交矩阵, 则;
（5） 两个正交矩阵乘机还是正交矩阵;
（6） 若A为正交矩阵, 则也是正交矩阵;

3、 为正交矩阵充要条件是它行（列）向量组是标准正交向量组。

参考文件:

[1]线性代数(第四版), 同济大学应用数学系。高等教育出版社, 。[2]高等代数(第三版)。北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数(第三版)。高等教育出版社, 。