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初中数学教材知识梳理·系统复习
第一单元 数与式 第1讲 实 数
知识点一: 实数概念及分类
关键点拨及对应举例
1.实数
（1）按定义分 （2）按正、 负性分
正有理数
有理数 0 有限小数或 正实数
负有理数 无限循环小数 实数 0
实数
正无理数 负实数
无理数 无限不循环小数
负无理数
（1）0既不属于正数, 也不属于负数.
（2）无理数多个常见形式判定: ①含π式子; ②结构型: 如3.…（每两个1之间多个0）就是一个无限不循环小数; ③开方开不尽数: 如, ; ④三角函数型: 如sin60°, tan25°.
（3）失分点警示: 开得尽方含根号数属于有理数, 如=2, =-3, 它们都属于有理数.
知识点二 : 实数相关概念
2.数轴
（1）三要素: 原点、 正方向、 单位长度
（2）特征: 实数与数轴上点一一对应; 数轴右边点表示数总比左边点表示数大
例:
数轴上-2.5表示点到原点距离是2.5.
3.相反数
（1）概念: 只有符号不一样两个数
（2）代数意义: a、 b互为相反数ó a+b=0
（3）几何意义: 数轴上表示互为相反数两个点到原点距离相等
a相反数为-a, 尤其0绝对值是0.

例: 3相反数是-3, -1相反数是1.
4.绝对值
（1）几何意义: 数轴上表示点到原点距离
（2）运算性质: |a|= a (a≥0); |a-b|= a-b(a≥b)
-a(a＜0). b-a(a＜b)
（3）非负性: |a|≥0, 若|a|+b2=0,则a=b=0.
（1）若|x|=a（a≥0）, 则x=±a.
（2）对绝对值等于它本身数是非负数.
例: 5绝对值是5; |-2|=2; 绝对值等于3是±3;|1-|=-1.
5.倒数
（1）概念: 乘积为1两个数互为倒数.a倒数为1/a(a≠0)
（2）代数意义: ab=1óa,b互为倒数

例:
-2倒数是-1/2 ; 倒数等于它本身数有±1.
知识点三 : 科学记数法、 近似数
6.科学记数法
（1）形式: a×10n,其中1≤|a|＜10, n为整数
（2）确定n方法: 对于数位较多大数, n等于原数整数为减去1; 对于小数, 写成a×10-n, 1≤|a|＜10, n等于原数中左起至第一个非零数字前全部零个数（含小数点前面一个）
例:
21000用科学记数法表示为2.1×104;
19万用科学记数法表示为1.9×105; 0.0007用科学记数法表示为7×10-4.
7.近似数
（1）定义: 一个与实际数值很靠近数.
（2）正确度: 由四舍五入到哪一位, 就说这个近似数正确到哪一位.
例:
3.14159正确到百分位是3.14; 正确到0.001是3.142.
知识点四 : 实数大小比较
8.实数大小比较
（1）数轴比较法: 数轴上两个数, 右边数总比左边数大.
（2）性质比较法: 正数＞0＞负数; 两个负数比较大小, 绝对值大反而 小.
（3）作差比较法: a-b＞0óa＞b; a-b=0óa=b; a-b＜0óa＜b.
（4）平方法: a＞b≥0óa2＞b2.
例:
把1, -2,0, -2.3按从大到小次序排列结果为___1＞0＞-2＞-2.3_.
知识点五 : 实数运算
9.
常见运算
乘 方
多个相同因数积; 负数偶（奇）次方为正（负）
例:
（1）计算: 1-2-6=_-7__;(-2)2=___4__;
3-1=_1/3_;π0=__1__;
(2)64平方根是_±8__,算术平方根是__8_,立方根是__4__.
失分点警示: 类似 “算术平方根”计算错误. 例: 相互对比填一填: 16算术平方根是 4___,算术平方根是___2__.
零次幂
a0=_1_(a≠0)
负指数幂
a-p=1/ap（a≠0, p为整数）
平方根、
算术平方根
若x2=a（a≥0）,则x=.其中是算术平方根.
立方根
若x3=a,则x=.
10.混合运算

先乘方、 开方, 再乘除, 最终加减; 同级运算, 从左
向右进行; 如有括号, 先做括号内运算, 按小括号、
中括号、 大括号一次进行.计算时, 能够结合运算律,
使问题简单化
第2讲 整式与因式分解
知识点一: 代数式及相关概念
关键点拨及对应举例
1.代数式
（1）代数式: 用运算符号（加、 减、 乘、 除、 乘方、 开方）把数或表示数字母连接而成式子, 单独一个数或一个字母也是代数式．
（2）求代数式值: 用具体数值替换代数式中字母, 计算得出结果, 叫做求代数式值．
求代数式值常利用整体代入法计算.
例: a－b＝3, 则3b－3a＝－9.
2.整式 （单项式、 多项式）
（1）单项式: 表示数字与字母积代数式, 单独一个数或一个字母也叫单项式.其中数字因数叫做单项式系数, 全部字母指数和叫做单项式次数.
（2）多项式: 多个单项式和.多项式中每一项叫做多项式项, 次数最高项次数叫做多项式次数.
（3）整式: 单项式和多项式统称为整式.
（4）同类项: 所含字母相同而且相同字母指数也相同项叫做同类项.全部常数项都是同类项.
例:
（1）下列式子: ①-2a2;②3a-5b; ③x/2;④2/x;⑤7a2;⑥7x2+8x3y; ⑦.其中属于单项式是①③⑤⑦; 多项式是②⑥; 同类项是①和⑤.
（2）多项式7m5n-11mn2+1是六次三项式, 常数项是 __1 .
知识点二: 整式运算
3.整式加减运算
(1)合并同类项法则:同类项系数相加, 所得结果作为系数, 字母和字母指数不变．
(2)去括号法则: 若括号外是“＋”, 则括号里各项都不变号; 若括号外是“－”, 则括号里各项都变号.
(3)整式加减运算法则: 先去括号, 再合并同类项.
失分警示: 去括号时, 假如括号外面是符号, 一定要变号, 且与括号内每一项相乘, 不要有漏项.
例: －2(3a－2b－1)＝－6a＋4b＋2.
4.幂运算法则
(1)同底数幂乘法: am·an＝am＋n;
(2)幂乘方: (am)n＝amn;
(3)积乘方: (ab)n＝an·bn;
(4)同底数幂除法: am÷an＝am－n (a≠0).

其中m,n都在整数

(1)计算时, 注意观察, 善于利用它们逆运算处理问题.例: 已知2m+n=2,则3×2m×2n=6.
（2）在处理幂运算时, 有时需要先化成同底数.例: 2m·4m=23m.
5.整式乘除运算
(1)单项式×单项式: ①系数和同底数幂分别相乘; ②只有一个字母照抄．
(2)单项式×多项式: m(a+b)=ma+mb.
(3)多项式×多项式: (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.
(4)单项式÷单项式: 将系数、 同底数幂分别相除.
(5)多项式÷单项式: ①多项式每一项除以单项式; ②商相加．

失分警示: 计算多项式乘以多项式时, 注意不能漏乘, 不能丢项, 不能出现变号错.
例: (2a－1)(b＋2)＝2ab＋4a－b－2.
（6）乘法
公式
平方差公式: (a＋b)(a－b)＝a2－b2.
注意乘法公式逆向利用及其变形公式利用

完全平方公式: (a±b)2＝a2±2ab＋b2. 变形公式:
a2+b2=(a±b)2∓2ab,ab=【(a+b)2-（a2+b2）】 /2
6.混合运算
注意计算次序, 应先算乘除, 后算加减; 若为化简求值, 通常步骤为: 化简、 代入替换、 计算．
例: （a-1）2-(a+3)(a-3)-10=_-2a__.
知识点五: 因式分解
7.因式分解
(1)定义: 把一个多项式化成多个整式积形式．
(2)常见方法: ①提公因式法: ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c).
②公式法: a2－b2＝(a＋b)(a－b); a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
(3)通常步骤: ①若有公因式, 必先提公因式; ②提公因式后, 看是否能用公式法分解; ③检验各因式能否继续分解.
(1) 因式分解要分解到最终结果不能再分解为止, 相同因式写成幂形式;
(2) 因式分解与整式乘法互为逆运算．
第3讲 分 式
知识点一: 分式相关概念
关键点拨及对应举例
1. 分式概念
（1）分式: 形如 (A, B是整式, 且B中含有字母, B≠0)式子.
（2）最简分式: 分子和分母没有公因式分式.
在判定某个式子是否为分式时, 应注意: （1）判定化简之间式子; （2）π是常数, 不是字母. 例: 下列分式: ①;②; ③;④, 其中是分式是②③④; 最简分式 ③.
2.分式意义
(1)无意义条件: 当B＝0时, 分式无意义;
(2)有意义条件: 当B≠0时, 分式有意义;
(3)值为零条件: 当A＝0, B≠0时, 分式＝0.
失分点警示: 在处理分式值为0, 求值问题时, 一定要注意所求得值满足分母不为0.
例: 当值为0时, 则x＝-1.
3.基础性质
( 1 ) 基础性质: (C≠0)．
（2）由基础性质可推理出变号法则为:
; .
由分式基础性质可将分式进行化简:
例: 化简: =.
知识点三 : 分式运算
4.分式约分和通分
(1)约分(可化简分式): 把分式分子和分母中公因式约去,
即;
(2)通分(可化为同分母): 依据分式基础性质, 把异分母分式化为同分母分式, 即
分式通分关键步骤是找出分式最
简公分母, 然后依据分式性质通分.
例: 分式和最简公分母为.
5.分式加减法
(1)同分母: 分母不变, 分子相加减.即±＝;
(2)异分母: 先通分, 变为同分母分式, 再加减.即±＝.
例: ＝－1.

6.分式乘除法
(1)乘法: ·＝; (2)除法: ＝;
(3)乘方: ＝ (n为正整数).
例: ＝; ＝2y;
＝.
7.分式混合运算
(1)仅含有乘除运算: 首先观察分子、 分母能否分解因式, 若能, 就要先分解后约分.
(2)含有括号运算: 注意运算次序和运算律合理应用.通常先算乘方, 再算乘除, 最终算加减, 若有括号, 先算括号里面．
失分点警示: 分式化简求值问题, 要先将分式化简到最简分式或整式形式, 再代入求值.代入数值时注意要使原分式有意义.有时也需利用到整体代入.
第4讲 二次根式
知识点一: 二次根式
关键点拨及对应举例
1.相关概念
（1）二次根式概念: 形如(a≥0)式子.
（2）二次根式有意义条件: 被开方数大于或等于0.
（3）最简二次根式: ①被开方数因数是整数, 因式是整式（分母中不含根号）; ②被开方数中不含能开得尽方因数或因式
失分点警示: 当判定分式、 二次根式组成复合代数式有意义条件时, 注意确保各部分都有意义, 即分母不为0, 被开方数大于等于0等.例: 若代数式有意义, 则x取值范围是x＞1.
2.二次根式性质
（1）双重非负性:
①被开方数是非负数, 即a≥0;
②二次根式值是非负数, 即≥0.

注意: 初中阶段学过非负数有: 绝对值、 偶幂、 算式平方根、 二次根式.
利用二次根式双重非负性解题:
（1）值非负:当多个非负数和为0时, 可得各个非负数均为0.如+=0, 则a=-1, b=1.
（2）被开方数非负:当互为相反数两个数同时出现在二次根式被开方数下时, 可得这一对相反数数均为0.如已知b=+,则a=1,b=0.
(2)两个关键性质:
①()2＝a(a≥0); ②＝|a|＝;
(3)积算术平方根: ＝·(a≥0, b≥0);
(4)商算术平方根: (a≥0, b＞0)．
例: 计算:
＝3.14; ＝2;
=; =2 ;
知识点二 : 二次根式运算
3.二次根式加减法
先将各根式化为最简二次根式, 再合并被开方数相同二次根式．
例: 计算: ＝.
4.二次根式乘除法
（1）乘法: ·=(a≥0, b≥0);
（2）除法: = (a≥0, b＞0)．
注意: 将运算结果化为最简二次根式.
例: 计算: ＝1; 4.
5.二次根式混合运算
运算次序与实数运算次序相同, 先算乘方, 再算乘除, 最终算加减, 有括号先算括号里面（或先去括号）．
运算时, 注意观察, 有时利用乘法公式会使运算简便.
例: 计算: (+1)( -1)= 1 .
第二单元 方程(组)与不等式(组)
第5讲 一次方程(组)
知识点一: 方程及其相关概念
关键点拨及对应举例
1.等式基础性质
(1)性质1: 等式两边加或减同一个数或同一个整式, 所得结果仍是等式.即若a＝b, 则a±c＝b±c .
(2)性质2: 等式两边同乘（或除）同一个数（除数不能为0）, 所得结果仍是等式.即若a＝b, 则ac＝bc, (c≠0)．
(3)性质3: （对称性）若a=b,则b=a.
(4)性质4: （传输性）若a=b,b=c,则a=c.
失分点警示: 在等式两边同除以一个数时, 这个数必需不为0.
例: 判定正误.
(1)若a=b,则a/c=b/c. (×)
(2)若a/c=b/c, 则a=b. (√)
2.相关方程 基础概念
(1)一元一次方程: 只含有一个未知数, 而且未知数次数是1, 且等式两边都是整式方程．
(2)二元一次方程: 含有两个未知数, 而且含有未知数项次数都是1整式方程．
(3)二元一次方程组: 含有两个未知数两个一次方程所组成一组方程．
(4)二元一次方程组解: 二元一次方程组两个方程公共解．
在利用一元一次方程定义解题时, 注意一次项系数不等于0.
例: 若(a-2)是相关x一元一次方程, 则a值为0.
知识点二 : 解一元一次方程和二元一次方程组
3.解一元一次方程步骤
(1)去分母:方程两边同乘分母最小公倍数, 不要漏乘常数项;
(2)去括号: 括号外若为负号, 去括号后括号内各项均要变号;
(3)移项: 移项要变号;
(4)合并同类项: 把方程化成ax=-b(a≠0);
(5)系数化为1: 方程两边同除以系数a,得到方程解x=-b/a.
失分点警示: 方程去分母时, 应该将分子用括号括起来, 然后再去括号, 预防出现变号错误.
4.二元一次 方程组解法
思绪: 消元, 将二元一次方程转化为一元一次方程.
已知方程组, 求相关代数式值时, 需注意观察, 有时不需解出方程组, 利用整体思想处理解方程组. 例: 已知则x-y值为x-y=4.
方法:
(1)代入消元法:从一个方程中求出某一个未知数表示式, 再把“它”代入另一个方程, 进行求解;
(2) 加减消元法: 把两个方程两边分别相加或相减消去一个未知数方法.
知识点三 : 一次方程(组)实际应用
5.列方程(组)
解应用题通常步骤
(1)审题: 审清题意, 分清题中已知量、 未知量;
(2)设未知数;
(3)列方程(组): 找出等量关系, 列方程（组）;
(4)解方程(组);
(5)检验: 检验所解答案是否正确或是否满足符合题意;
(6)作答: 规范作答, 注意单位名称．
（1）设未知数时, 通常求什么设什么, 但有时为了方便, 也可间接设未知数.如题目中包含到比值, 能够设每一份为x.
（2）列方程（组）时, 注意抓住题目中关键词语, 如共是、 等于、 大（多）多少、 小（少）多少、 几倍、 几分之几等.
6.常见题型及关系式
（1）利润问题: 售价=标价×折扣, 销售额=售价×销量, 利润=售价-进价, 利润率=利润/进价×100%.
（2）利息问题: 利息=本金×利率×期数, 本息和=本金+利息.
（3）工程问题: 工作量=工作效率×工作时间.
（4）行程问题: 旅程=速度×时间. ①相遇问题: 全旅程=甲走旅程+乙走旅程;
②追及问题: a.同地不一样时出发: 前者走旅程=追者走旅程; b.同时不一样地出发: 前者走旅程+两地间距离=追者走旅程.
第6讲 一元二次方程
知识点一: 一元二次方程及其解法
关键点拨及对应举例
1. 一元二次方程相关概念
(1)定义: 只含有一个未知数, 且未知数最高次数是2 整式方程．
(2)通常形式: ax2＋bx＋c＝0(a≠0), 其中ax2、 bx、 c分别叫做二次项、 一次项、 常数项, a、 b、 c分别称为二次项系数、 一次项系数、 常数项．
例: 方程是相关x一元二次方程, 则方程根为－1.
2.一元二次方程解法
（1）直接开平方法: 形如（x+m）2=n(n≥0)方程, 可直接开平方求解.
( 2 )因式分解法: 可化为（ax+m）(bx+n)=0方程, 用因式分解法求解.
( 3 )公式法:一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0求根公式为x=（b2-4ac≥0）.
(4)配方法: 当一元二次方程二次项系数为1, 一次项系数为偶数时, 也能够考虑用配方法．
解一元二次方程时, 注意观察, 先特殊后通常, 即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法, 不能用这两种方法解时, 再用公式法.
例: 把方程x2+6x+3=0变形为(x+h)2=k形式后, h=-3,k=6.
知识点二 : 一元二次方程根判别式及根与系数关系
3.根判别式

(1)当Δ＝>0时, 原方程有两个不相等实数根．
(2)当Δ＝=0时, 原方程有两个相等实数根．
(3)当Δ＝<0时, 原方程没有实数根．
例: 方程判别式等于8, 故该方程有两个不相等实数根; 方程判别式等于－8, 故该方程没有实数根.
*4.根与系数关系
（1）基础关系: 若相关x一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1、 x2,则x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意利用根与系数关系前提条件是△≥0.
（2）解题策略: 已知一元二次方程, 求相关方程两根代数式值时, 先把所求代数式变形为含有x1+x2、 x1x2式子, 再利用根与系数关系求解.
与一元二次方程两根相关代数式常见变形:
(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1,x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2,等.
失分点警示
在利用根与系数关系解题时, 注意前提条件时△=b2-4ac≥0.
知识点三 : 一元二次方程应用
4.列一元二次方程解应用题
（1）解题步骤: ①审题; ② 设未知数; ③ 列一元二次方程; ④解一元二次方程; ⑤检验根是否有意义; ⑥作答．
利用一元二次方程处理实际问题时, 方程通常有两个实数根, 则必需要依据题意检验根是否有意义.
（2）应用模型: 一元二次方程常常在增加率问题、 面积问题等方面应用.
①平均增加率（降低率）问题: 公式: b＝a(1±x)n, a表示基数, x表示平均增加率（降低率）, n表示改变次数, b表示改变n次后量;
②利润问题: 利润=售价-成本; 利润率=利润/成本×100%;
③传输、 比赛问题:

④面积问题: a.直接利用对应图形面积公式列方程; b.将不规则图形经过割补或平移形成规则图形, 利用面积之间关系列方程.
第7讲 分式方程
知识点一: 分式方程及其解法
关键点拨及对应举例
1.定义
分母中含有未知数方程叫做分式方程．
例: 在下列方程中, ①; ②; ③, 其中是分式方程是③.
2.解分式方程
方程两边同乘以
最简公分母

约去分母
基础思绪: 分式方程 整式方程

例: 将方程转化为整式方程可得: 1－2＝2(x－1).
解法步骤:
(1)去分母, 将分式方程化为整式方程;
(2)解所得整式方程;
(3) 检验: 把所求得x值代入最简公分母中, 若最简公分母为0, 则应舍去．
3.增根
使分式方程中分母为0根即为增根.
例: 若分式方程有增根, 则增根为1.
知识点二 : 分式方程应用
4.列分式方程解应用题通常步骤
(1)审题; (2)设未知数; (3) 列分式方程; (4)解分式方程; (5)检验: (6)作答．
在检验这一步中, 既要检验所求未知数值是不是所列分式方程解, 又要检验所求未知数值是不是符合题目实际意义.

第8讲 一元一次不等式(组)
知识点一: 不等式及其基础性质
关键点拨及对应举例
1.不等式相关概念
（1）不等式: 用不等号(＞, ≥, ＜, ≤或≠)表示不等关系式子.
（2）不等式解: 使不等式成立未知数值.
（3）不等式解集: 使不等式成立未知数取值范围.
例: “a与b差小于1”用不等式表示为a－b≤1.
2.不等式基础性质
性质1: 若a＞b,则 a±c>b±c;
性质2: 若a＞b,c>0, 则ac>bc, >;
性质3: 若a＞b,c<0, 则ac<bc, <.
切记不等式性质3, 注意变号.
如: 在不等式－2x＞4中, 若将不等式两边同时除以－2, 可得x＜2.
知识点二 : 一元一次不等式
3.定义
用不等号连接, 含有一个未知数, 而且含有未知数项次数都是1, 左右两边为整式式子叫做一元一次不等式.
例: 若是相关x一元一次不等式, 则m值为-1.
4.解法
（1）步骤: 去分母; 去括号; 移项; 合并同类项; 系数化为1.
失分点警示
系数化为1时, 注意系数正负性, 若系数是负数, 则不等式改变方向.
（2）解集在数轴上表示:

x≥a x＞a x≤a x＜a
知识点三 : 一元一次不等式组定义及其解法
5.定义
由多个含有同一个未知数一元一次不等式合在一起, 就组成一个一元一次不等式组．
（1）在表示解集时“≥”, “≤”表示含有, 要用实心圆点表示; “＜”, “＞”表示不包含要用空心圆点表示．
（2）已知不等式（组）解集情况, 求字母系数时, 通常先视字母系数为常数, 再逆用不等式（组）解集定义, 反推出含字母方程, 最终求出字母值.
如: 已知不等式（a-1）x＜1-a解集是x＞-1, 则a取值范围是a＜1.
6.解法
先分别求出各个不等式解集, 再求出各个解集公共部分
7.不等式组解集类型
假设a＜b
解集
数轴表示
口诀

x≥b

大大取大

x≤a

小小取小

a≤x≤b

大小, 小大中间找

无解

大大, 小小取不了
知识点四 : 列不等式处理简单实际问题
8.列不等式解应用题
（1）通常步骤: 审题; 设未知数; 找出不等式关系; 列不等式; 解不等式; 验检是否有意义.
（2）应用不等式处理问题情况:
a.关键词: 含有“最少（≥）”、 “最多（≤）”、 “不低于（≥）”、 “不高于（≤）”、 “不大（小）于”、 “超出（＞）”、 “不足（＜）”等;
b.隐含不等关系: 如“更省钱”、 “更划算”等方案决议问题, 通常还需依据整数解, 得出最好方案
注意:
列不等式处理实际问题中, 设未知数时, 不应带“最少”、 “最多”等字眼, 与方程中设未知数一致.

第9讲 平面直角坐标系与函数
知识点一: 平面直角坐标系
关键点拨及对应举例
1.相关概念
（1）定义: 在平面内有公共原点且相互垂直两条数轴组成平面直角坐标系．
（2）几何意义: 坐标平面内任意一点M与有序实数对(x, y)关系是一一对应．
点坐标先读横坐标(x轴), 再读纵坐标(y轴).
2.点坐标特征
( 1 )各象限内点坐标符号特征（如图所表示）:
点P(x,y)在第一象限⇔x＞0, y＞0;
点P(x,y)在第二象限⇔x＜0, y＞0;
点P（x,y）在第三象限⇔x＜0, y＜0;
点P（x,y）在第四象限⇔x＞0, y＜0.
（2） 坐标轴上点坐标特征:
①在横轴上⇔y＝0; ②在纵轴上⇔x＝0; ③原点⇔x＝0, y＝0.
（3）各象限角平分线上点坐标
①第一、 三象限角平分线上点横、 纵坐标相等;
②第二、 四象限角平分线上点横、 纵坐标互为相反数
（4）点P（a,b）对称点坐标特征:
①相关x轴对称点P1坐标为(a, －b); ②相关y轴对称点P2坐标为(－a, b);
③相关原点对称点P3坐标为(－a, －b)．
（5）点M（x,y）平移坐标特征:

M（x,y） M1(x+a,y)

M2(x+a,y+b)

（1）坐标轴上点不属于任何象限.
（2）平面直角坐标系中图形平移, 图形上全部点坐标改变情况相同.
（3）平面直角坐标系中求图形面积时, 先观察所求图形是否为规则图形, 若是, 再深入寻求求这个图形面积原因, 若找不到, 就要借助割补法, 割补法关键秘诀是过点向x轴、 y轴作垂线, 从而将其割补成能够直接计算面积图形来处理.
3.坐标点距离问题
（1）点M(a,b)到x轴, y轴距离: 到x轴距离为|b|; )到y轴距离为|a|．
（2）平行于x轴, y轴直线上两点间距离:
点M1(x1,0), M2(x2,0)之间距离为|x1－x2|, 点M1(x1, y), M2(x2, y)间距离为|x1－x2|;
点M1(0, y1), M2(0, y2)间距离为|y1－y2|, 点M1(x, y1), M2(x, y2)间距离为|y1－y2|．
平行于x轴直线上点纵坐标相等; 平行于y轴直线上点横坐标相等.
知识点二: 函 数
4.函数相关概念
（1）常量、 变量: 在一个改变过程中, 数值一直不变量叫做常量, 数值发生改变量叫做变量．
（2）函数: 在一个改变过程中, 有两个变量x和y, 对于x每一个值, y都有唯一确定值与其对应, 那么就称x是自变量, y是x函数．函数表示方法有: 列表法、 图像法、 解析法.
（3）函数自变量取值范围: 通常标准为: 整式为全体实数; 分式分母不为零; 二次根式被开方数为非负数; 使实际问题有意义．
失分点警示
函数解析式, 同时有多个代数式, 函数自变量取值范围应是各个代数式中自变量公共部分. 例: 函数y=中自变量取值范围是x≥-3且x≠5.
5.函数图象
（1）分析实际问题判定函数图象方法:
①找起点: 结合题干中所给自变量及因变量取值范围, 对应到图象中找对应点;
②找特殊点: 即交点或转折点, 说明图象在此点处将发生改变;
③判定图象趋势: 判定出函数增减性, 图象倾斜方向.
（2）以几何图形（动点）为背景判定函数图象方法:
①设时间为t（或线段长为x）, 找因变量与t(或x)之间存在函数关系, 用含t(或x)式子表示, 再找对应函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量取值范围.
读取函数图象增减性技巧: ①当函数图象从左到右呈“上升”（“下降”）状态时, 函数y随x增大而增大（减小）; ②函数值改变越大, 图象越陡峭; ③当函数y值一直是同一个常数, 那么在这个区间上函数图象是一条平行于x轴线段.
第10讲 一次函数
知识点一 : 一次函数概念及其图象、 性质
关键点拨与对应举例
1.一次函数相关概念
（1）概念: 通常来说, 形如y＝kx＋b(k≠0)函数叫做一次函数．尤其地, 当b ＝0时, 称为正百分比函数．
（2）图象形状: 一次函数y＝kx＋b是一条经过点（0,b）和（-b/k,0）直线.尤其地, 正百分比函数y＝kx图象是一条恒经过点（0,0）直线.

例: 当k＝1时, 函数y＝kx＋k－1是正百分比函数,
2.一次函数性质
k, b
符号
K＞0,
b＞0
K＞0,
b＜0
K＞0, b=0
k<0,
b>0
k<0,
b<0
k<0,
b＝0
（1）一次函数y=kx+b中, k确定了倾斜方向和倾斜程度, b确定了与y轴交点位置.
（2）比较两个一次函数函数值大小: 性质法, 借助函数图象, 也能够利用数值代入法.
例: 已知函数y=－2x＋b, 函数值y随x增大而减小(填“增大”或“减小”)．
大致
图象

经过象限
一、 二、 三
一、 三、 四
一、 三
一、 二、 四
二、 三、 四
二、 四
图象性质
y随x增大而增大
y随x增大而减小
3.一次函数与坐标轴交点坐标
(1)交点坐标: 求一次函数与x轴交点, 只需令y=0,解出x即可; 求与y轴交点, 只需令x=0,求出y即可.故一次函数y＝kx＋b(k≠0)图象与x轴交点是, 与y轴交点是(0, b);
(2)正百分比函数y＝kx(k≠0)图象恒过点(0, 0)．
例:
一次函数y＝x＋2与x轴交点坐标是（-2,0）, 与y轴交点坐标是（0,2）.
知识点二 : 确定一次函数表示式
4.确定一次函数表示式条件
（1）常见方法: 待定系数法, 其通常步骤为:
①设: 设函数表示式为y＝kx＋b(k≠0);
②代: 将已知点坐标代入函数表示式, 解方程或方程组;
③解: 求出k与b值, 得到函数表示式．
（2）常见类型:
①已知两点确定表示式; ②已知两对函数对应值确定表示式;
③平移转化型: 如已知函数是由y=2x平移所得到, 且经过点（0,1）, 则可设要求函数解析式为y=2x+b,再把点（0,1）坐标代入即可.
(1)确定一次函数表示式需要两组条件, 而确定正百分比函数表示式, 只需一组条件即可.
(2)只要给出一次函数与y轴交点坐标即可得出b值,b值为其纵坐标, 可快速解题. 如:已知一次函数经过点（0,2）, 则可知b=2.
5.一次函数图象平移
规律: ①一次函数图象平移前后k不变, 或两条直线能够经过平移得到, 则可知它们k值相同.
②若向上平移h单位, 则b值增大h; 若向下平移h单位, 则b值减小h.
例: 将一次函数y=-2x+4图象向下平移2个单位长度, 所得图象函数关系式为y=-2x+2．
知识点三 : 一次函数与方程（组）、 不等式关系
6.一次函数与方程
一元一次方程kx+b=0根就是一次函数y=kx+b（k、 b是常数, k≠0）图象与x轴交点横坐标.
例:
（1）已知相关x方程ax+b=0解为x=1,则函数y=ax+b与x轴交点坐标为（1,0）.
（2）一次函数y=-3x+12中, 当x ＞4时, y值为负数．
7.一次函数与方程组
y=k2x+b
y=k1x+b

二元一次方程组 解两个一次函数y=k1x+b 和y=k2x+b图象交点坐标.
8.一次函数与不等式
（1）函数y=kx+b函数值y＞0时, 自变量x取值范围就是不等式kx+b＞0解集
（2）函数y=kx+b函数值y＜0时, 自变量x取值范围就是不等式kx+b＜0解集

知识点四 : 一次函数实际应用
9.通常步骤

（1）设出实际问题中变量;
（2）建立一次函数关系式;
（3）利用待定系数法求出一次函数关系式;
（4）确定自变量取值范围;
（5）利用一次函数性质求对应值, 对所求值进行检验, 是否符合实际意义;
（6）做答.
一次函数本身并没有最值, 但在实际问题中, 自变量取值往往有一定限制, 其图象为射线或线段.包含最值问题通常思绪: 确定函数表示式→确定函数增减性→依据自变量取值范围确定最值.
10.常见题型
（1）求一次函数解析式.
（2）利用一次函数性质处理方案问题.
第11讲 反百分比函数图象和性质
知识点一: 反百分比函数概念及其图象、 性质
关键点拨与对应举例
1.反百分比函数概念
（1）定义: 形如y＝(k≠0)函数称为反百分比函数, k叫做百分比系数, 自变量取值范围是非零一切实数．
（2）形式: 反百分比函数有以下三种基础形式:
①y＝; ②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数, 且k≠0)

例: 函数y=3xm+1, 当m=－2时, 则该函数是反百分比函数．
2.反百分比函数图象和性质
k符号
图象
经过象限
y随x改变情况
（1）判定点是否在反百分比函数图象上方法: ①把点横、 纵坐标代入看是否满足其解析式; ②把点横、 纵坐标相乘, 判定其乘积是否等于k.
失分点警示
（2）反百分比函数值大小比较时, 首先要判定自变量取值是否同号, 即是否在同一个象限内, 若不在则不能利用性质进行比较, 能够画出草图, 直观地判定.
k>0

图象经过第一、 三象限
（x、 y同号）
每个象限内, 函数y值随x增大而减小.
k<0

图象经过第二、 四象限
（x、 y异号）
每个象限内, 函数y值随x增大而增大.
3.反百分比函数图象特征
（1）由两条曲线组成, 叫做双曲线;
（2）图象两个分支都无限靠近x轴和y轴, 但都不会与x轴和y轴相交;
（3）图象是中心对称图形, 原点为对称中心; 也是轴对称图形, 2条对称轴分别是平面直角坐标系一、 三象限和二、 四象限角平分线．
例: 若(a, b)在反百分比函数图象上, 则(－a, －b)在该函数图象上.(填“在"、 "不在")
4.待定系数法
只需要知道双曲线上任意一点坐标, 设函数解析式, 代入求出反百分比函数系数k即可.
例: 已知反百分比函数图象过点（－3, －1）, 则它解析式是y=3/x.
知识点二 : 反百分比系数几何意义及与一次函数综合
5.系数k几何意义
（1）意义: 从反百分比函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线, 垂线与坐标轴所围成矩形面积为|k|,以该点、 一个垂足和原点为顶点三角形面积为1/2|k|.
（2）常见面积类型:

失分点警示
已知相关面积, 求反百分比函数表示式, 注意若函数图象在第二、 四象限, 则k＜0.
例: 已知反百分比函数图象上任一点作坐标轴垂线所围成矩形为3, 则该反百分比函数解析式为: 或.
6.与一次函数综合
（1）确定交点坐标: 【方法一】已知一个交点坐标为（a,b）, 则依据中心对称性, 可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式, 利用方程思想求解.
（2）确定函数解析式: 利用待定系数法, 先确定交点坐标, 再分别代入两个函数解析式中求解

（3）在同一坐标系中判定函数图象: 充足利用函数图象与各字母系数关系, 可采取假设法,