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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考!,第九章 拉格朗日方程,利用矢量力学分析约束动力系统，未知约束力多，方程数目多，求解烦琐。能否建立不含未知约束力动力学方程？,将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建立动力虚功方程，广义坐标化，能量化，化为拉氏第二类方程，实现用最少数目方程，描述动力系统。,1/57,9-1 动力学普遍方程,9-1-1 方程建立,9-1-2 经典问题,2/57,1.普通形式,n,个质点。对 有,9-1 动力学普遍方程,9-1-1 方程建立,给,则有,而双面理想约束,故有,动力学普遍方程或达朗贝尔拉格朗日原理,(9-1),不论约束完整，定常是否均适用。,则有,3/57,2.广义坐标形式,设完整约束系统有,k,个自由度，可取,为广义坐标。,9-1 动力学普遍方程,9-1-1 方程建立,则,代入式(9-1),交换,i,，,j,次序，得,广义主动力,广义惯性力,式中,4/57,因各 线性无关 故有,(9-2),等价形式,仅,(9-3),9-1-1 方程建立,9-1 动力学普遍方程,式中包含了惯性力虚功,!,5/57,9-1-2 经典问题,1.,已知重量,轮转动惯量 ，求,加速度?,加惯性力，受主动力如图。,给连杆 ，则,由 有,9-1 动力学普遍方程,6/57,1.,由动能定理求导，怎样求解?,2.,怎样求约束力?,2.,已知重量 轮纯滚,水平面光滑,求三棱,柱加速度。,9-1-2 经典问题,9-1 动力学普遍方程,7/57,加惯性力，受力如图。,选 广义坐标。,由,有,即,(a),又由 有,9-1 动力学普遍方程,9-1-2 经典问题,8/57,式(a)代入(b),可得,令 时，牵连惯性力 并不为零；,令 时，相对惯性力 并不为零，,二者相互独立。,(b,),即,9-1 动力学普遍方程,9-1-2 经典问题,9/57,3.,均质圆柱与,薄壁圆柱,1、2,用绳相连，并多圈缠绕圆筒(绳与滑轮,A,重量不计)。已知 试求运动过程中轮心,C,与轮心,O,加速度大小。,图(a),9-1 动力学普遍方程,9-1-2 经典问题,10/57,自由度,k,=2,理想约束系统，取两轮转角 为广义坐标，其受力与运动分析，如图(,b,)所表示，,图(b),令,，由,(a),有,(b),9-1 动力学普遍方程,9-1-2 经典问题,11/57,将式(a)及,代入(b)式，,得,(c),再令,由,有,联立,(c,)和,(d),式，可得,即,(d),图(b),9-1-2 经典问题,9-1 动力学普遍方程,12/57,对于多自由度动力系统，加上主动力和惯性力后，各独立虚位移可任意给定，与受力状态无关。,1.,怎样求绳张力?圆柱纯滚条件?,2.,用动力学普遍定理怎样求解?,3.,计入滑轮,A,质量,结果有何改变?,9-1-2 经典问题,9-1 动力学普遍方程,13/57,9-2 拉格朗日方程,对于完整约束系统，动力学普遍方程为,不便计算，拉格朗日方程利用两个经典微分关系。,9-2-1 两个经典微分关系,第九章 拉格朗日方程,将 能量化 导出拉氏方程。,9-2-2 拉氏方程基本形式,9-2-4 拉氏方程应用,14/57,再对广义速度,求偏导数，得,式(9-7)表明，,可对,分子与分母“同时消点”。,因,对时间,t,求导数，,得,(9-6),(9-7),“同时消点”,证实:,9-2-1 两个经典微分关系,9-2 拉格朗日方程,n,个质点，,s,个完整约束，,k,3,n,s,，,15/57,2)“交换关系”(求导),将式(9-6)两边对广义坐标,证实:,求偏导数，有,而,比较以上两式，可得,(9-8),式,(9-8),表明,可对求导“交换关系”。,9-2 拉格朗日方程,9-2-1 两个经典微分关系,16/57,9-2-2 拉氏方程基本形式,9-2 拉格朗日方程,17/57,为拉式第二类方程基本形式，以,t,为自变量，,为未知函数二阶常微分方程组，2,k,个积分常量，,需2,k,个初始条件 。,故,关于 计算,由 (见下述例题中),(仅,q,i,0时，计算全部主动力虚功),9-2 拉格朗日方程,9-2-2 拉氏方程基本形式,9-2 拉格朗日方程,18/57,9-2-3 势力场中拉氏方程,若有势主动力,引入拉格朗日函数 又称动势。,注意 ，有:,此为势力场中第二类拉氏方程，是关于,k,个广义,坐标二阶常微分方程组。,则有,9-2 拉格朗日方程,19/57,9-2-4 拉氏方程应用,1.,图示两均质圆轮沿斜面纯滚，均质杆,AB,与两,轮心铰接。已知,微分方程及圆频率 。,试求系统微振动,应用拉格朗日方程求解受约束系统动力问题，,首先需要判断约束是否完整，这是应用拉氏方程,前提；其次看主动力是否有势，由此选择拉氏方程,形式。,9-2 拉格朗日方程,20/57,，,代入拉氏方程,中，有,即,为所求微分方程。,系统自由度为1。取轮心,B,沿斜面位移,x,为广义坐标。,平衡位置为零势能位置，则任意,x,位置时，,系统动势,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程应用,21/57,1.,此处势能,V,为何与弹簧初始变形和重力无关?,2.,试用动能定理求解例,1,，并比较两种方法异同。,与简谐振动微分方程,对比可知,振动圆频率,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程应用,22/57,本系统为完整约束，,主动力非有势，采取基本,形式拉氏方程求解。,2.,如图所表示，铰盘半径为,R,，转动惯量为,J,，其,上作用力偶矩为,M,力偶，重物质量分别为,不计摩擦与滑轮质量，求铰盘角加速度,判断系统自由度，,取广义坐标。,本题中，,，取,为广义坐标，,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程应用,23/57,计算系统,T,与,则有,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程应用,24/57,代入拉氏方程，得系统运动微分方程。,代入,中，得,(a),代入,中，得,(b),解方程，求加速度。,，得,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程应用,25/57,试用动力学普遍方程，动力学普遍定理，达朗贝尔原理求解例2，并比较各种方法特点。,完整系统多自由度动力问题，采取拉氏方程，步骤规范，便于求解。拉氏方程与动力学普遍方程对于完整系统本质上一致，前者从能量，后者从受力入手考查系统运动。,9-2 拉格朗日方程,题型特点:,9-2-4 拉氏方程应用,26/57,3.,如图所表示，物,A,重为,，物,B,重为,刚度系数为,k,，其,O,端固定于物,A,上，另一端与物,B,相连。系统由静止开始运动，不计摩擦与弹簧质量，且,弹簧在初瞬时无变形，试求运动中物,A,加速度。,弹簧,9-2-4 拉氏方程应用,9-2 拉格朗日方程,27/57,(弹簧绝对伸长量)为广义坐标。,取系统初始位置为零势能位置。,在任意时刻,t,，有,系统处于势力场中，是保守系统，且自由度为2，取,A,绝对位移,B,相对位移,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程应用,28/57,将以上各项代入以下拉氏方程,得,(a),(b),9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程应用,29/57,由式(a)和式(b)消去,，得,(c),其中,由式,(c),解得,由,时，,得,故,(d),9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程应用,30/57,将式(d)代入式(c)，再将式(c)和(d)代入式(b)得,顺便指出，由式(c)和(d)可知，物,B,相对于物,A,作在常力作用下简谐振动，其振幅为,，固有频率为,多自由度完整约束保守系统问题，应用含,L,拉氏,方程，不需求广义力，求解较为简便。,题型特点:,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程应用,31/57,例题中(a)试求,A,，,B,两物块所受光滑面支承力。,若初瞬时弹簧有一初始伸长,结果有何改变?,(b)试用质心运动定理和动能定理,求,解例3，并比,较各种方法特点。,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程应用,32/57,3.,两个相同单摆，用刚度为,k,弹簧连接已知,m,k,l,a,系统静止时，弹簧无变形，不计杆重试求,系统振动微分方程及固有频率。,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程应用,33/57,自由度为,2,，选 为广义坐标，,选平衡位置势能为,0,，则,(较小时，),9-2-4 拉氏方程应用,9-2 拉格朗日方程,34/57,而,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程应用,35/57,代入 和 中,有,即,9-2 拉格朗日方程,设,代入式,(a),，得,9-2-4 拉氏方程应用,36/57,方程(b)有非0解条件，即频率方程为,即,(c),为系统主频率，将 分别代入式,(b),得,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程应用,37/57,即 ，为系统第一主振型，,振动时弹簧不变形。,振动时弹簧中点不动。,将,代入(b)得,第二主振型，,两振型图以下:,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程应用,38/57,4.,1,2,3,4刚性杆长均为a，可不计质量。均质刚杆,AB,长 ，质量为2,m,，,C,D,小球质量均为,m,，求微小运动微分方程及3,4杆相对运动。,系统为定常理想完整保守系统。,选,为广义坐标。,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程应用,39/57,而,代入,得,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程应用,40/57,(a),并设 得,同理可得,故,为简谐运动。,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程应用,41/57,9-3-1 广义动量积分(守恒),完整、理想约束、保守系统，若,L,中不含,q,r,，则,q,r,叫循环坐标，且有,即 常数,循环积分，广义动量守恒。,代入,中，得,即,如在重力场中质点质量为,m,，取,x,、,y,、,z,为广义坐标，,可见,x,、,y,为循环坐标，则有,常量，,常量,第九章 拉格朗日方程,42/57,如图所表示，质量为 某行星,A,受太阳引力,，为太阳质量，,G,为万有引力常数，,r,为,极坐标极轴，为其单位矢。试写出行星作平面曲,线运动循环积分。,该系统有二个自由度。,选 为广义坐标，,质点受重力沿 方向，在,x,和,y,方向均为动量守恒。,9-3-1 广义动量积分(守恒),第九章 拉格朗日方程,43/57,可见,L,中不显含 ，即 是循环坐标，则有循环积分。,常数,该广义动量积分表明，行星,A,对点,O,动量矩守恒。,若选,x,、,y,为广义坐标，,有没有循环积分？,问:,9-3-1 广义动量积分(守恒),第九章 拉格朗日方程,44/57,9-3-2,广义能量积分(机械能守量),定常、完整、理想约束保守系统，(,n,个质点)，,k,个,自由度有:,则有,故,第九章 拉格朗日方程,45/57,(1),而,二次齐次函数。,T,为,将,代入上式，得,则,由,Euler,公式，若 为,m,次齐次函数,9-3-2,广义能量积分(机械能守量),第九章 拉格朗日方程,46/57,故,=2,T,（,T,为 二次齐次函数,）,将式(2)代入式(1)，,得,故 常数,此即,拉氏方程能量积分,，表明上述系统机械能守恒。,即,9-3-2,广义能量积分(机械能守量),第九章 拉格朗日方程,47/57,均质轮与均质杆质量均为,m,，轮半径为,r,，,杆长 。轮纯滚。若杆由水平静止释放，求,时,及,。,1.,选,x,和,为广义坐标。,9-3-2,广义能量积分(机械能守量),第九章 拉格朗日方程,48/57,故有循环积分，常数(初始,为0,),又,约束定常，且完整理想。,即 (b),x,方向广义动量守恒，并非系统,x,方向动量。,故,常数,9-3-2,广义能量积分(机械能守量),第九章 拉格朗日方程,49/57,时,，(a)，(b),两式为,解之得,1.,若接触平面光滑(,f,=0)，结果怎样?,2.,若左边连接一水平弹簧(,k,)，结果又怎样?,9-3-2,广义能量积分(机械能守量),第九章 拉格朗日方程,50/57,如图所表示，质量为,m,，半径为,r,匀质轮在质量,为 、半径为,R,薄壁筒内无滑动地滚动，设起始,时系统静止，且,OC,与重力方向夹角 。试求运动中圆筒,转角 与 关系。,2.,9-3-2,广义能量积分(机械能守量),第九章 拉格朗日方程,51/57,系统保守且约束完整、定常，自由度为2，取,与 为广义坐标。设圆轮角速度为 ，则从轮,C,速度,分析,，有 。,因,L,不含 (其中 为循环坐标)，,故对应广义动量守恒，,并考虑到 时，,设,O,为零势能位置，系统动势为,9-3-2,广义能量积分(机械能守量),第九章 拉格朗日方程,52/57,此处利用拉氏方程循环,积分，使问题求解大为简化。,即,对,t,积分，并注意到 时，,得,故,9-3-2,广义能量积分(机械能守量),第九章 拉格朗日方程,53/57,解出 和 ，再积分，,可得 和 改变规律。,该约束定常，故有,T,+,V,=常数，即,将此式与例2中(a)式联立，,怎样求上述 和 改变规律,9-3-2,广义能量积分(机械能守量),第九章 拉格朗日方程,54/57,3.,两等长均质杆水平悬挂，已知,m,、,l,，,AC,=,OB,，,求,BD,绳断瞬间，,O,处约束力。,绳断瞬时，加速度如图，先研究,CD,杆。,9-3-2,广义能量积分(机械能守量),第九章 拉格朗日方程,55/57,怎样求,CD,杆内力?,由,由,由,从,D,端任取,x,段，加惯性力，复力如图。,9-3-2,广义能量积分(机械能守量),第九章 拉格朗日方程,56/57,初瞬时间，,可直接加惯性力争解,类似,题型特点:,9-3-2,广义能量积分(机械能守量),第九章 拉格朗日方程,57/57,
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