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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,返回,第三章 一元函数积分学,微积分,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,第三章 习题课,板块一,:,不定积分计算方法,板块二,:,定积分概念、性质及计算,板块三,:,定积分应用,第1页,板块一,一、求不定积分基本方法,二、几个特殊类型积分,不定积分计算方法,第2页,一、求不定积分基本方法,1.,直接积分法,经过简单变形,利用基本积分公式和运算法则,求不定积分方法,.,2.,换元积分法,第一类换元法,第二类换元法,(,注意常见换元积分类型,),(,代换,:),第3页,3.,分部积分法,使用标准,:,1),由,易求出,v,;,2),比,好求,.,普通经验,:,按“反,对,幂,指,三”次序,排前者取为,u,排后者取为,第4页,屡次分部积分 规 律,快速计算表格,:,尤其,:,当,u,为,n,次多项式时,计算大为简便,.,第5页,例,1.,求,解,:,原式,第6页,例,2.,求,解,:,原式,分析,:,第7页,例,3.,求,解,:,原式,分部积分,第8页,例,4.,设,解,:,令,求积分,即,而,第9页,例,5.,求,解,:,第10页,例,6.,求,解,:,取,说明,:,此法尤其适合用于,以下类型积分,:,第11页,例,7.,设,证,:,证实递推公式,:,第12页,例,8.,求,解,:,设,则,因,连续,得,记作,得,利用,第13页,二、几个特殊类型积分,1.,普通积分方法,有理函数,分解,多项式及,部分分式之和,指数函数有理式,指数代换,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,第14页,2.,需要注意问题,(1),普通方法不一定是最简便方法,(2),初等函数原函数不一定是初等函数,要注意综合,使用各种基本积分法,简便计算,.,所以不一,定都能积出,.,比如,第15页,例,10.,求,解,:,令,则,原式,第16页,例,11.,求,解,:,令,比较同类项系数,故,原式,说明,:,此技巧适合用于形为,积分,.,第17页,例,12.,解：,因为,及,第18页,例,13.,求不定积分,解,:,原式,第19页,例,14.,解,:,I,=,第20页,例,15.,求,解,:,(,n,为自然数),令,则,第21页,板块二,一、与定积分概念相关问题解法,二、相关定积分计算和证实方法,定积分及其相关问题,第22页,一、与定积分概念相关问题解法,1.,用定积分概念与性质求极限,2.,用定积分性质估值,3.,与变限积分相关问题,例,1.,求,解,:,因为,时,所以,利用夹逼准则得,第23页,因为,依赖于,且,1),思索例,1,以下做法对吗,?,利用积分中值定理,原式,不对,!,说明,:,2),这类问题放大或缩小时普通应保留含参数项,.,第24页,解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：,已知,利用夹逼准则可知,例,2.,求,第25页,思索,:,提醒,:,由上题,故,第26页,练习,:,1.,求极限,解：,原式,2.,求极限,提醒：,原式,左边,=,右边,第27页,例,3.,预计以下积分值,解,:,因为,即,第28页,例,4.,证实,证,:,令,则,令,得,故,第29页,例,5.,设,在,上是单调递减连续函数，,试证,都有不等式,证实：显然,时结论成立,.,(,用积分中值定理,),当,时,故所给不等式成立,.,明对于任何,第30页,例,6.,提醒,：,且由方程,确定,y,是,x,函数,求,方程两端对,x,求导,得,再令,x,=1,得,再对,y,求导,得,故,第31页,例,7.,求可微函数,f,(,x,),使满足,解,:,等式两边对,x,求导,得,不妨设,f,(,x,)0,则,第32页,注意,f,(0)=0,得,第33页,例,8.,求多项式,f,(,x,),使它满足方程,解,:,令,则,代入,原方程得,两边求导,:,可见,f,(,x,),应为二次多项式,设,代入 式比较同次幂系数,得,故,再求导,:,第34页,二、相关定积分计算和证实方法,1.,熟练利用定积分计算惯用公式和方法,2.,注意特殊形式定积分计算,3.,利用各种积分技巧计算定积分,4.,相关定积分命题证实方法,思索,:,以下作法是否正确,?,第35页,例,9.,求,解,:,令,则,原式,第36页,例,10.,求,解,:,第37页,例,11.,选择一个常数,c,使,解,:,令,则,因为被积函数为奇函数,故选择,c,使,即,可使原式为,0.,第38页,例,12.,设,解,:,第39页,例,13.,若,解,:,令,试证,:,则,第40页,因为,对右端第二个积分令,总而言之,第41页,例,14.,证实恒等式,证,:,令,则,所以,又,故所证等式成立,.,第42页,例,15.,试证,使,分析,:,要证,即,故作辅助函数,最少存在一点,第43页,证实,:,令,在,上连续,在,最少,使,即,因在,上,连续且不为,0,从而不变号,所以,故所证等式成立,.,故由罗尔定理知,存在一点,第44页,思索,:,本题能否用柯西中值定理证实,?,假如能,怎样设辅助函数,?,要证,:,提醒,:,设辅助函数,第45页,例,16.,设函数,f,(,x,),在,a,b,上连续,在,(,a,b,),内可导,且,(1),在,(,a,b,),内,f,(,x,)0;,(2),在,(,a,b,),内存在点,使,(3),在,(,a,b,),内存在与,相异点,使,(03,考研,),第46页,证,:,(1),由,f,(,x,),在,a,b,上连续,知,f,(,a,)=0.,所以,f,(,x,),在,(,a,b,),内单调增,所以,(2),设,满足柯西中值定理条件,于是存在,第47页,即,(3),因,在,a,上用拉格朗日中值定理,代入,(2),中结论得,所以得,第48页,例,17.,设,证,:,设,且,试证,:,则,故,F,(,x,),单调不减,即,成立,.,第49页,板块三,1.,定积分应用,几何方面,:,面积、,体积、,弧长、,表面积,.,物理方面,:,质量、,作功、,侧压力、,引力、,2.,基本方法,:,微元分析法,微元形状,:,条、,段、,带、,片、,扇、,环、,壳 等,.,转动惯量,.,定积分应用,第50页,例,1.,求抛物线,在,(0,1),内一条切线,使它与,两坐标轴和抛物线所围图形面积最小,.,解,:,设抛物线上切点为,则该点处切线方程为,它与,x,y,轴交点分别为,所指面积,第51页,且为最小点,.,故所求切线为,得,0,1,上唯一驻点,第52页,例,2.,设非负函数,曲线,与直线,及坐标轴所围图形,(1),求函数,(2),a,为何值时,所围图形绕,x,轴一周所得旋转体,解,:,(1),由方程得,面积为,2,体积最小,?,即,故得,第53页,又,(2),旋转体体积,又,为唯一极小点,所以,时,V,取最小值,.,第54页,例,3.,证实曲边扇形,绕极轴,证,:,先求,上微曲边扇形,绕极轴旋转而成体积,体积微元,故,旋转而成体积为,第55页,故所求旋转体体积为,例,4.,求由,与,所围区域绕,旋转所得旋转体体积,.,解,:,曲线与直线交点坐标为,曲线上任一点,到直线,距离为,则,第56页,例,5.,半径为,R,密度为,球沉入深为,H,(,H,2,R,),水池底,水密度,多少功,?,解,:,建立坐标系如图,.,则对应,上球薄片提到水面上微功为,提出水面后微功为,现将其从水池中取出,需做,微元体积,所受重力,上升高度,第57页,所以微功元素为,球从水中提出所做功为,“,偶倍奇零”,第58页,例,6.,设有半径为,R,半球形容器如图,.,(1),以每秒,a,升速度向空容器中注水,求水深为,为,h,(0,h,R,),时水面上升速度,.,(2),设容器中已注满水,求将其全部抽出所做功最,少应为多少,?,解,:,过球心纵截面建立坐标系如图,.,则半圆方程为,设经过,t,秒容器内水深为,h,第59页,(1),求,由题设,经过,t,秒后容器内水量为,而高为,h,球缺体积为,半球可看作半圆,绕,y,轴旋转而成,体积元素,:,故有,两边对,t,求导,得,at,(,升,),第60页,(2),将满池水全部抽出所做最少功,为将全部水提,对应于,微元体积,:,微元重力,:,薄层所需功元素,故所求功为,到池沿高度所需功,.,第61页,
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