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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。不能作为科学依据。,数的开方,1/48,数开方,2/48,练习：,填空：,1、(),2,=9；2、(),2,=0.25；,3、()；4、(),2,=4；,5、(),2,=0.0081,最轻易出现错误是丢掉负数解,3/48,平方根(,square root),假如一个数平方等于,a，,那么这个数就叫做,a,平方根.,用数学语言表示即为：若,x,2,=a，,则,x,叫做,a,平方根,4/48,二、平方根性质：,1、一个正数有两个平方根，它们互为相反数,2、0有一个平方根，它是0本身,3、负数没有平方根,5/48,三、开平方：,求一个数,a,平方根运算，叫做开平方运算,+3与-3平方是9，9平方根是+3和-3，可见平方运算与开平方运算互为逆运算,依据这种关系，我们能够经过平方运算来求一个数平方根,6/48,平方根表示方法:,被开方数,根指数,根号,表示正数,a,正平方根,表示正数,a,负平方根,读作“二次根号”；,读作“二次根号,a”,；,提问：,、,各表示什么意义？,、,能够省略,7/48,例1.填空题,(1),a,是一个正数，表示,a,_，-表示,a,_，表示,a,_,(2)若7是,x,一个平方根，则,x,另一个平方根是_,x=_.,8/48,五、算术平方根定义：,正数,a,有两个平方根，其中正数,a,正平方根，也叫做,a,算术平方根，记作：,说明：,1、因为正数都有一正一负两个平方根，所以正数都有算术平方根,2、0平方根也叫做0算术平方根。,9/48,做一做：,例2、说出以下式子含义：,10/48,立方根,概念:假如一个数立方等于,a，,这个数就叫做,a,立方根(也称数,a,三次方根).,即若,x,3,=a，,则,x,叫做,a,立方根，或称,x,叫做,a,三次方根,11/48,2.表示方法：,被开方数,根指数,根号,读作“三次根号”；,读作“三次根号,a”；,不能省略,不能省略,12/48,开立方概念：,求一个数立方根运算，叫做开立方.,开立方运算 立方运算,13/48,立方根性质：,(1)正数有一个正立方根；,(2)负数有一个负立方根；,(3)0立方根是0,14/48,例3、填空练习：,(1)1平方根是_；立方根为_；,算术平方根为_,(2)平方根是它本身数是_,(3)立方根是其本身数是_,(4)算术平方根是其本身数是_,15/48,(5)立方根为,.,(6)平方根为,.,(7)立方根为,.,(8)一个自然数算术平方根是,a，,那么与这个自然数相邻下一个自然数平方根是_；立方根是_,16/48,例4、(1)平方根是,。,(2),一个自然数一个平方根是,m,，,那么紧跟它后面一个自然数平方根是（,）,(,A)(B),(C)(D),3,D,17/48,例5、填空：,(1)0.000036平方根是_，算术平方根是_,(2)(-41),2,平方根是_,(3)当,a,为_时，4,a,2,算术平方根是2,a.,（4）,平方根是_，算术平方根是_.,18/48,练习、判断题：,112是144平方根(),2-12是144平方根(),3144平方根是-12(),4-1平方根是-1(),5-1是1平方根(),6(-1),2,平方根是-1(),(是12),(-1无平方根),(是1),19/48,20/48,21/48,例6、1996年某市整年完成国内生产总值264亿元，比1995年增加23%，,问：（1）1995年该市整年完成国内生产总值是多少亿元（准确到1亿元）？,（2）预计该市1998年国内生产总值可到达386.5224亿元，那么1996年到1998年平均年增加率是多少？（黄冈市中考试题）,22/48,解：（1）设1995年某市整年完成国内生产总值 亿元，,依据题意有：,（2）设1996年到1998年平均年增加率为 ，,依据题意有：,用计算器求得：,或,（不合题意，舍去）,答：（1）1995年生产总值为215亿元；,（2）1996年到1998年平均年增加率是21%,23/48,想一想：,什么叫有理数？有理数怎样分类？,观察以下数特点：,24/48,无理数由来,公元前5，古希腊毕达哥拉斯(,Pythagoras),学派弟子希勃索斯(,Hippasus),发觉了一个惊人事实，一个正方形对角线与其一边长度是不可公度(若正方形边长是1，则对角线长不是一个有理数)这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”(指有理数)哲理大相径庭。这一发觉使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界统治地位。希勃索斯所以被囚禁，受到百般折磨，最终竞遭到沉舟身亡惩处。,25/48,不可通约本质是什么？长久以来众说纷坛，得不到正确解释，两个不可通约比值也一直被认为是不可理喻数。15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”数。,然而，真理毕竟是淹没不了，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身可敬学者，就把不可通约量取名为“无理数”这便是“无理数”由来,26/48,无理数定义：,无限不循环小数叫做无理数,断以下说法是否正确？,(1)无限小数都是无理数；,(2)无理数都是无限小数；,(3)带根号数都是无理数。,27/48,数发展历史,数系扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克（,Kronecker，1823-1891）,说“,上帝创造了整数，其它一切都是人造,”。零与自然数产生源于人类在生存活动中原始冲动。,28/48,类似于 2+3=5 事实产生了加法概念，然而2加上几会等于1呢？由此需要定义负数：一个数“负数”即它与该数之和等于0；进而定义减法。产生零、负自然数，合称整数；,加法重复进行产生了乘法，23=6 就是三个2相加。然而2乘以几会等于1呢？由此需要定义倒数：一个数“倒数”即它与该数之积等于1，进而定义除法，产生既约分数，合称有理数。,29/48,无理数是一个能恰好地描述数学特征案例,从数学发展史看，人类对无理数发蒙始于古希腊毕达哥拉斯（,Pythagoras，,公元前582-497）学派，但二千四百年后才产生包含无理数在内实数严格定义。,30/48,乘法重复进行产生了乘方，2,3,就是三个2相乘，然而哪个数平方会等于2呢？毕达哥拉斯学派提出了这个问题，边长为1正方形对角线长度不是既约分数，以后用2表示对角线长度，无理数概念初步形成。,31/48,因为有理数可表示成有限小数或无限循环小数，人们想到用“无限不循环小数”来定义无理数，这也是直至19世纪中叶以前实际做法。它看起来很通俗，不明白无理数奥妙人大致也是这么了解无理数。,但这么做碰到困难更大：关键问题是你无法判断一个数是无限不循环，也不能将两个无限不循环数进行加减乘除。,32/48,启示：,每个有理数作为有长度线段，对应着数轴上坐标。边长为1正方形对角线线段也应对应数轴上一个点，这意味着假如只有有理数，数轴上存有“空隙”尽管有理数非常稠密。应该填补这些“空隙”使数轴成为完美，欧几里德几何原本中曾记载过这一思想雏形。,戴德金,33/48,历史上两种无理数定义,戴德金,说法，一个实数是有理数一个集合,康托,说法，一个实数是有理数一个（柯西）序列,34/48,1874年康托还证实了无理数比有理数多得多，这也意味着，无形、不是根式无理数竟比直观、根式无理数多得多！数轴上代表有理数点即使是稠密任何两个有理数点之间恒有没有数多有理数点，不过除有理数点外“空隙”更多。“空隙”一旦填满，稠密概念发展成了连续概念，数轴上点与实数完全对应，无理数问题画上了永远句号。,35/48,数学家所知道无理数确实少可怜：,知道得最多只是各式各样根式，这是古希腊人即已知道；其次是,与,e,两个非代数数。那些比代数数多得多无理数在哪儿？19数学家希尔伯特（,Hilbert，1862-1943）,提出著名23个数学问题即包含了这一内容。然而，若稍微追问一句“(,+,e,),是无理数还是有理数”？则至今都没有严密答案。,36/48,总之：,数学家心安理得是建立了无懈可击实数体系，在坚实基础上，任何闲言碎语都是不足道。无理数所表达完美无缺、一丝不苟纯粹理性与无孔不入、尽人皆知世俗应用，可谓占尽天上人间风光，正是数学魅力之所在。,37/48,实数定义：,有理数和无理数统称为实数,38/48,三、实数分类：,（1）按定义分类：,（2）按大小分类：,39/48,例7、把以下各数写入对应集合中：,40/48,四、实数轴,我们知道数轴上点表示并不都是有理数，也有没有理数假如我们把全部有理数连起来，组成是一条断断续续数轴，这其中空缺就是我们刚才学习无理数，可见由有理数和无理数把整个数轴填充完整了，所以我们把这个数轴又称为实数轴,实数与数轴上点是一一对应这其中包含着两层含义：第一，每一个实数都能够用数轴上一个点来表示；第二，数轴上每一个点都能够用一个实数来表示,41/48,我们把实数表示在数轴上，最直观地表明了实数大小，以原点为分界限，在原点右侧，表示正数，在原点左侧为负数，我们知道数轴上实数从左到右是由小变大，而且数轴上右侧数总是比它左侧数大，这就引出了实数比较大小问题显然同有理数之间比较大小是类似,例8、比较大小：,42/48,说明：,实数比较，需要遵照标准是必须化成同类数才可作比较，对于一些无理数，若要化成小数，只能取其近似值，所以需要熟记一些无理数近似值。,43/48,例9、填空：,(1)3-,=_,则,x=_；y=_,44/48,小结：,同学们，无理数引进，把我们所研究问题数范围从有理数扩充到了实数，这么一来，我们今后研究问题数范围更广泛了，我们所研究问题也就会更广、更深了从现在起，在考虑一些数学问题时，一定要在实数范围内对于不一样数范围，可能结果是不相同,45/48,1）在 3.14，,sin30,各数中，无理数有（）,A、2,个,B、3,个,C、4,个,D、5,个,2）以下命题中正确个数有（）,无理数就是带根号数,aa+a,21,2,平方根是21,在实数范围内，非负数一定是正数,两个无理数不一定仍是无理数,A、1,个,B、2,个,C、3,个,D、4,个,A,A,46/48,0,3）当,ab0,时，,4）若 与 互为相反数，,则 ,-2,47/48,下课,48/48,
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