线性规划的实际应用举例.doc

线性计划实际应用举例
　　为了便于同学们掌握线性计划通常理论和方法, 本文拟就简单线性计划(即两个变量线性计划)实际应用举例加以说明。

　　1 物资调运中线性计划问题

　　例1 A, B两仓库各有编织袋50万个和30万个, 因为抗洪抢险需要, 现需调运40万个到甲地, 20万个到乙地。已知从A仓库调运到甲、 乙两地运费分别为120元/万个、 180元/万个; 从B仓库调运到甲、 乙两地运费分别为100元/万个、 150元／万个。问怎样调运, 能使总运费最小? 总运费最小值是多少?

　　解: 设从A仓库调运x万个到甲地, y万个到乙地, 总运费记为z元。那么需从B仓库调运40-x万个到甲地, 调运
20-y万个到乙地。

　　从而有

　　z=120x+180y+100(40-x)+150·(20-y)=20x+30y+7000。

　　作出以上不等式组所表示平面区域 (图1), 即可行域。

　　令z'=z-7000=20x+30y.

　　作直线l: 20x+30y=0,

　　把直线l向右上方平移至ll位置时, 直线经过可行域上点M(30, 0), 且与原点距离最小, 即x=30, y=0时,
z'=20x+30y取得最小值, 从而z=z'+7000=20x+30y+7000亦取得最小值, zmin=20×30+30×0+7000=7600(元)。

　　答: 从A仓库调运30万个到甲地, 从B仓库调运10万个到甲地, 20万个到乙地, 可使总运费最小, 且总运费最小值为7600元。

　　2 产品安排中线性计划问题

　　例2 某饲料厂生产甲、 乙两种品牌饲料, 已知生产甲种饲料1吨需耗玉米0.4吨, 麦麸0.2吨, 其它添加剂O.4
吨; 生产乙种饲料1吨需耗玉米0.5吨, 麦麸0.3吨, 其它添加剂0.2吨。每1吨甲种饲料利润是400元, 每1吨乙种饲料利润是500元。可供饲料厂生产玉米供给量不超出600吨, 麦麸供给量不超出500吨, 添加剂供给量不超出300吨。问甲、 乙两种饲料应各生产多少吨(取整数), 能使利润总额达成最大? 最大利润是多少?

　　分析: 将已知数据列成下表1。

　　表1　 例2表

　　解: 设生产甲、 乙两种饲料分别为x吨、 y吨, 利润总额为z元, 那么

　　z=400x+500y。

　　作出以上不等式组所表示平面区域(图2)即可行域。

　　作直线l: 400x+500y=0。并把l向右上方平移, 因为l1: 4x+5y=6000与l平行, 所以线段MN上全部坐标都是整数点(整点)都是最优解。易求得M(250, 1000), N(0, 1200)。

　　取整点M(250, 1000), 即x=250, y=1000时,

　　zmax=400×250+500×1000=600000(元)=60(万元)。

　　答: 可安排生产甲种饲料250吨, 乙种饲料1000吨, 能使利润总额达成最大。最大利润为60万元。

　　注: 书本题中出现线性计划问题大都有唯一最优解。例2使我们认识到最优解个数还有其她可能, 这里不再深入探究。

　　3 配料与下料中线性计划问题

　　例3 甲、 乙、 丙三种食物维生素A, B含量及成本如表2。

　　表2　 例3表

甲
乙
丙
维生素A(单位/千克)
600
700
400
维生素B(单位/千克)
800
400
500
成本(元/千克)
11
9
4

　　某食物营养研究所想用xkg甲种食物, ykg乙种食物, zkg丙种食物配成100kg混合食物, 并使混合物最少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B。
　　1)用x, y表示混合食物成本c(元);
　　2)确定x, y, z值, 使成本最低。

　　解: 1)依题意有:

　　x+y+z=100　　　 (3)

　　c=11x+9y+4z　　　 (4)

　　由(3)得z=100-x-y, 代入(4)得:

　　c=11x+9y+4(100-x-y)=7x+5y+400, 其中x＞0, y＞0。

　　2)将z=100-x-y代入(1), (2), 并化简, 得

　　作出不等式组 　所表示平面区域(图3), 即可行域。

　　作直线l: 7x+5y=0, 把直线l向右上方平移至ll位置时, 直线经过可行域上点M, 且与原点距离最小。

　　由　求得M点坐标,

　　故当x=50, y=20时, 7x+5y取得最小值, c=7x+5y+400亦取得最小值,

　　cmin=7×50+5×20+400=850。

　　答: 1) c=7x+5y+400(x＞0, y＞0);
　　2) 当x=50, y=20, z=30时, 成本c最低。

　　例4 现有2m及3m长条钢各10根, 需截成0.6m和0.8m长两种规格零件毛坯, 其中0.6m长毛坯需20个, 0.8m长毛坯需30个, 为使材料不浪费, 且使所用条钢根数最小, 该怎样设计下料方案。

　　解: 为使材料不浪费, 2m长条钢可截成0.6m长毛坯2个, 0.8m长毛坯1个, 3m长条钢可截成0.6m长毛坯1个, 0.8m长毛坯3个。
　　设需截2m长条钢x根, 3m长条钢y根, 则

　　作出可行域(如图4), 目标函数为z=x+y.

　　作出一组平行线x+y=t(t为参数)中, 经过可行域内点且和原点距离最近直线, 此直线经过直线2x+y=20和直线x+3y=30交点M(6, 8)。

　　故当x=6, y=8时, z=x+y取最小值。

　　答: 符合条件下料方案是: 使用2m长条钢6根、 3m长条钢8根。

　　经过上述例题, 不难发觉, 简单线性计划在实际生活中有较广泛应用。在工业、 农业、 商业、 交通运输业、 军事、 经济计划和管理决议等很多领域都常常使用线性计划方法。

　　线性计划理论和方法关键在两类问题中得到应用:

　　一是征人力、 物力、 资金等资源一定条件下, 怎样使用它们来完成最多任务;

　　二是给定一项任务, 怎样合理安排和计划, 能以最少人力、 物力、 资金等资源来完成该项任务。

　　对于只有两个变量线性计划(即简单线性计划)问题, 能够用图解法求解。其基础处理步骤是:
　　1)建立线性约束条件及线性目标函数;
　　2)画出可行域;
　　3)求出线性目标函数在可行域内最值(即最优解);
　　4)作答。

　　尤其值得一提是, 包含更多变量线性计划问题是不能用图解法求解, 需要借助计算机及专门软件来处理。