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时空几何及统一场理论

姚 守 忠

【摘要】本文给出一种新的时空几何理论，称为Saint几何学，并以此为基础建立一种统一场理论。通过对各种基本几何学概念的物理学诠释，把场理论的基本概念几何化，得到各种场的统一理解，并给出相应的场方程。从本文还可看出，Boson场和Fermion场的物理性质上的差别取决于Saint几何中基本群的表示，具体的说，它们分别对应于基本群在张量和旋量表示下的时空。

1．引言

时空几何学的研究，是物理学的基本任务之一。这一研究不仅可深化我们对时空本身的理解，而且还可以使我们把场理论的概念赋于几何意义，如广义相对论中对引力的处理。场理论的基本目标可确定为如何找到一个描述真实时空的几何学，所选择的几何学应包括时空的物理学性质。现有的几何学，如Riemann几何及其推广形式，都不满足这一要求．本文试图从更深层次的数学角度给出一种新的时空几何理论，并以此为基础构造一种可能的统一场理论。
本文数学部分给出了时空几何的数学结构．这一部分第1节给出了基本数学结构；第2，3节分别给出了基本群在张量表示下和旋量表示下各种基本几何性质的具体形式，之所以给出这两种群的表示，是因为张量表示下和旋量表示下的基本几何学方程可方便的给出各种相互作用场和实物粒子场的场方程的具体形式；第4节给出了几种特殊Saint空间的基本性质。
本文物理部分讨论了统一场理论。这一部分第1节从几何学的角度对一些基本物理学概念作了阐释，给出了各种具体几何空间与各种具体场的对应关系；第2节给出了基本几何学方程的物理诠释—统一场方程。第3节从统一场的角度描述了一些相互作用场和实物粒子场，给出各种具体场方程的推演过程；第4节给出了统一场的几种可能的量子化方法，但未作进一步的探讨。
讨论和总结是本文的简要总结，并讨论了本文所遗留的问题。

2. 数学部分

为了完整的描述物理学中的时空性质，我们首先借助于数学中的纤维丛理论建立一种用于描述四维流形性质的几何学，称为Saint 几何学。
2．1 Saint几何学的基本性质和基本几何学方程
设Ｍ4为四维微分流形，以Ｍ4为底，以流形上的坐标变换群为纤维构成一个纤维丛空间。这样一个以坐标变换群为纤维的主丛同构于以Ｍ4的切空间为纤维的伴主丛。为讨论的方便，我们仅研究以Ｍ4为底的伴主丛，并称之为Saint纤维丛。
为了描述的方便，用Ｅ=（ｅ1 ，ｅ2 ，ｅ3 ，ｅ4 ）=｛ｅ｝表示Ｍ4上任意点ｘ的切空间的任一标架基。如下定义一个张量空间的标架
Ｇ=Ｅ×Ｅ=（ｅ×ｅ）=｛ｇ｝， （1）
标架基ｇ称为Saint空间的基本张量。以标架Ｇ为纤维的空间亦同构于前面所定义的主纤维丛，所以我们可用这一张量丛空间来表示主纤维丛空间，此纤维丛空间的几何性质由基本张量ｇ决定。
为了描述Ｍ4的整体性质，在Saint纤维丛上引入联络的概念，即相当于给群流形自然定义一个平移变换群，在此群下，标架基满足
▽ｅ=0， （2）
其中▽表示在纤维丛上的协变导数。由协变导数的性质易得张量空间的标架基满足
▽ｇ=0。 （3）
此式给出了Saint纤维丛最基本的性质，称为Saint几何的基本几何学方程，简称基本几何学方程或Saint方程。
以上我们用Ｍ4的切空间建立了Saint纤维丛空间。如果采用Ｍ4的对偶空间，则同样可建立同构于Saint空间的对偶空间，相应的有
（1）用以描述空间几何性质的张量空间标架
Ｇ* =Ｅ* ×Ｅ* =(ｅ* ×ｅ* ) （1a）
（2）由平移变换群所决定的方程
▽ｅ* =0， （2a）
以及（3），由协变微分性质而得的Saint方程
▽ｇ*=0。 （3a）
事实上，Ｅ* 为切空间中切矢对应的一次形式构成的矢量空间的标架。
由以上叙述所给出的描述Ｍ4 的纤维丛空间构成了一种特殊的几何学空间，我们称之为Saint空间, 相应的几何学称为Saint几何学。
另外用一般方法定义纤维丛空间的曲率和挠率；设切空间矢量为Ｘ，Ｙ，则
Ｒ（Ｘ，Ｙ）=[▽X ，▽Y ]-[▽Y ，▽X ]， （4）
Ｔ（Ｘ，Ｙ）=▽XＹ-▽Y Ｘ-[Ｙ，Ｘ]。 （5）
至此我们已完全给出了Saint几何的基本概念和基本性质。
2.2 Saint几何的张量表示
如果Saint几何中的坐标变换群和平移变换群均采用张量表示，则Saint几何中一切基本量可用张量的形式具体写出，称为几何的张量表示。在张量表示下，切空间标架可写为
Ｅ=｛ｅ1 ，ｅ2 ，ｅ3 ，ｅ4 ｝， （6）
其中标架基
ｅμ =ξμ ， （7）
相应的余切空间的一次形式构成的标架
Ｅ* =｛e1 ，e2 ，e3 ，e4 ｝， （6a）
其中标架基
ｅμ =ημ ｄμ （μ=1，2，3，4）． （7a）
基本张量ｇ可表示为
ｇ=ｅμ×ｅν =ξμξν××，
=ｇμν ××， （8）
ｇ*=ｅμ ×ｅν =ξμ ξν ｄμ ×ｄν ．
　　　　　　　　=ｇμν ｄμ×ｄν 。　　　 　 （8a）
协变微分可表示为（以矢量为例）
▽iｅ=（ξa，i-Γbai ξb ）ｅa
=ξa;iｅa ， （9）
▽iｅ* =（ξa，i-Γaib ξb ）ｅa
=ξa;i ｅa ， （9a）
基本几学学方程可写为
， （10）
式中ｇμν为自然基（×）表示下ｇ的分量。而在自然基（ｄμ×ｄν ）下，ｇ* 的分量ｇμν满足
. （10a）
另外在张量表示下，可定义空间线元
ｄｓ2 =ｇμν ｄμ×ｄν 。 （11）
曲率张量和挠率张量可表示为
Rρλμν≡-Γρλμ，ν +Γρλν，μ
-Γαλμ Γραν +Γαλν Γραμ ， （12）
Ｔαμν ≡（Γαμν -Γανμ）。 （13）
由曲率张量的缩并给出的二阶对称张量
Ｒμν =Ｒρλμρ （14）
及组合关系
Ｇμν =-Ｒμν +ｇμν Ｒ （15）
在物理学中具有重要意义，故特别引出。另外ｇμν及联络构成的组合关系
ｇαρ Γλαρ （16）
亦有重要意义。我们如下定义一个矢量
ｊμ=ｇαρ Γμαρ ， （17）
称为时空流矢量。
2.3 Saint几何的旋量表示
这里所定义的旋量是Mincovski空间中旋量的一种推广形式。我们首先给出这种旋量的定义，并借助于坐标变换群的张量表示给出与旋量概念有关的一些量，然后给出旋量表示下Saint几何学量的具体表示形式。
在坐标变换群作用下，旋量变换规则如下：
Λ（）, （18）
式中Λ为变换矩阵（坐标变换群的旋量表示），满足关系
γμ=Λ-1 γμ Λ, （19）
γμ 为γ矩阵，由下式定义
　　　 γμγν =Ⅰｇμν, 　　　　 　　 （20）
式中Ⅰ为单位矩阵，ｇμν 为Saint几何中基本张量的分量。（19）式中=Ａμν为张量表示下坐标变换群表示矩阵的矩阵元。
　　另外定义单位旋量
　　　,　　　　 　　　　 　　　　　　　　　 （21）
式中为Ｕ的共轭，一般共轭旋量定义为满足变换关系
　　 　Λ-1 （22）
的旋量。
　　给出了一般旋量的定义后，我们来讨论旋量表示下Saint几何中各种几何量的几何关系的具体表示形式。
　　由式（20）及（21）可得基本张量ｇ的分量
　　　 ｇμν =γμγν Ｕ，　　　　　　 　 （23）
因而基本几何学方程可写为
　　 ▽λ（γμγν Ｕ）=0。　　　　　 　　（24）
在旋量表示下
　　　 ▽λ = ，　　　　　　　 　 （25）
或　
　　　▽λＵ =Ｕ。　　　　　 （25a）
由于Ｕ一般为多分量旋量，对于任一分量，有
　▽λＵa=，　 　 （25b）
对于流形Ｍ4 ，a、b、λ从1到4取值，故Γabλ 相当于4×4矩阵Γλ 的一个元。我们一般采用（25a）的形式表示对旋量之协变导数。
由方程（24）可得
[▽λ（γμ）]γν Ｕ+γμ▽λ(γν Ｕ）=0。 （26）
利用旋量Ｕ及γ矩阵的性质，可知前后两项互为共轭，故线性无关，因有
　 ▽λ（γμ）γν Ｕ=0，
　 γμ▽λ(γν Ｕ）=0。
考虑γν Ｕ、γμ 的任意性，可得
　　 ▽λ（γμ）=0，　　　　　 　　　　　　　 （27）
　　 ▽λ(γν Ｕ）=0，　　　　　　　　　 　　　（28）
　　由于方程（27）、（28）相互不独立，故以下仅利用（28）式讨论，具体可写为
　　 （ ）（γν Ｕ）=0，　　　　　 （28a）
即
　 　γνγν）Ｕ+Γλγν Ｕ=0，　 （28b）
或
　 （γνγν+Γλγν ）Ｕ=0。　　 　（28c）
对λ、ν作一次缩并，即得
　 （γνγν+Γνγν ）Ｕ=0，　　 （29）
令
　　　 ｖ=-γν 　　　　　　　　　 　 （30a）
　　　 ｍ=-Γνγν 　　　　　　　　　 　 　 （30b）
则（29）可写作
　 （γν -ｖ-ｍ）ψ=0。　　　　　 　　 　 （29a）
其中ｖ称为时空势，ｍ称为时空惯量。
　　旋量表示下曲率张量和挠率张量分别为
　 Ｆμν=-+ΓνΓμ -ΓμΓν， (31）
Ｔabλ=-（Γabλ-Γaλb）。　 　　　　 （32）
可见由联络所表示的曲率张量和挠率张量在两种表示下形式相同。事实上，在不同表示下，张量具有形式上的不变性，或张量对两种不同的表示为协变的。张量方程对不同的表示也是协变的。
2.4 特殊几何空间—Saint空间实例
　　前几节讨论了Saint空间的一般性质及其在不同表示下的描述形式，下面我们将讨论几种特殊的几何空间。在以后的讨论中我们将看到，这几种特殊空间在物理学中相当重要。
2.4.1 张量表示下几种特殊几何空间的描述
[例1]无挠Riemann空间
这种几何空间的基本张量是对称的，即
ｇ[μν]=（ｇμν-ｇνμ）=0，　　　　　 （33a）
ｇ(μν)=（ｇμν+ｇνμ）=ｇ(νμ) 。　 （33b）
通常称为度规张量。另外空间挠率为零
　 Γλμν=Γλ(μν)= （Γλμν+Γλνμ）， （34）
Γλ[μν]=（Γλμν-Γλνμ）=-Γλ[μν]=0。　　 　　　 　　 （34a）
我们可利用这些性质把几何学方程写作另一种形式。即由
， 　 　　 （35）
作一次指标循环λ→μ→ν→λ，可得
　 ，　　 （35a）
再循环一次得
　 ，　 　 　 （35b）
前两式相式相加，减去第三式，可得
Γν，λμ=（ｇνλ，μ+ｇμν，λ-ｇλμ，ν ），　　 （36）
式中
　 Γν，λμ ≡ｇναΓαλμ≡-[λμ,ν]。
利用ｇρν乘[36]即可得
Γρλμ=ｇρν(ｇμν，λ +ｇνλ，μ-ｇλμ，ν)。 （37）
由此方程可得Riemann几何空间的一切性质，也可由时空性质借助于此方程的确定基本张量
ｇμν，一般用如下形式的方程确定ｇμν 。
　 Ｆ（Ｒμν ，ｇμν）=0，　　　　　　　　　　　　　 　 （38）
例如Einstein方程
　 Ｒμν -ｇμνＲ=-κＴμν 。　 　 　　　　 　 　（39）
也可认为Ｔμν 表述Riemann几何的一种性质，它的几何意义是 -（Ｒμν -ｇμνＲ）。
[例2]无挠Maxwell空间
这种空间定义为满足如下性质的Saint几何空间
ｇμν=ｇ[μν], （40）
　　 Γλμν=Γλ(μν) 。 　　 （41）
由定义我们立即可得Maxwell空间的一个重要性质
　　 ｄｓ2=ｇ[μν] ｄμ ｄν =0, 　　 （42）
即这种空间线元为零。这一和性质不是无挠Maxwell空间具体的性质,而是满足条件（40）的Saint空间所具有的性质。
　　无挠Maxwell空间的基本几何学方程可写作
　　　 ｇ[μν];λ=0, 　　　　　　　　　　 　（43）
或
。 　 （43a）
作指标循环μ→ν→λ→μ,得
　 ，　　 （43b）
再循环一次
。 　 （43c）
三式相加，即得
　 ｇμν，λ+ｇνλ，μ+ｇλμ，ν=0，　　　　　　　　 （44）
或作
　 ｇ[μν，λ] =0。　　　　　　　　　　　　 　 （44a）
另外由方程ｇ[μν]，λ=0作一次缩并
ｇλρ，ρ+Γλαρｇαρ+Γραλｇλα=0，　　 　 （45）
两边乘ｇαρ，可得
　 ｇαρｇλρ，ρ+Γλαρ+Γλαρ =0，　　　　　　 （46）
或
　 Γλαρ =-ｇαρｇλρ，ρ 。　　　　　　　　　　 （46a）
利用时空流的定义改写上式，可得
　 ｇλρ，ρ =-ｇαρΓλαρ =-ｊλ 。　　　　　　　 （47）
考虑ｇαρ.Γλαρ的对称性,易证
ｊλ=ｇαρΓλαρ=-ｇαρΓλαρ =-ｊλ=0。 （48）
故无挠Maxwell空间的基本几何学方程可写为
ｇ[μν，λ] =0, ｇλρ，ρ=0。 　 　（49）
[例3]以挠率为联络的Riemann空间和Maxwell空间
对于Γλ(μν) =0的Riemann空间,我们可采用无挠Maxwell空间基本几何学方程的推导一致的方法,得到基本几何学方程的变形形式
ｇ[μν，λ] =0, 　　　　　　　　　　　　　 　（50）
　 ｇλν，ν=-ｊλ 。　　　　　　　　　　　　　　　　　 （51）
同样
　　 ｊμ=ｇαρΓμαρ=-ｇαρΓμαρ =-ｊλ=0 　 （52）
对于Γλ(μν) =0的Maxwell空间,我们可得如下关系
Γλμν=ｇλρ(ｇνρ，μ+ｇμρ，ν-ｇνμ，ρ）。 （53）
同样可构造类似于Einstein方程的关系
Ｒμν -ｇμνＲ=-Ｔμν 。　　　　　　　　　　 （54）
2.4.2 旋量表示下的特殊几何空间
[例4]我们考虑这样一种空间,它的基本张量可分解为
ｇμν=ｇ[μν]+ημν ，　　　　　　　　　　　　 （55）
式中ｇ[μν] 为二阶反对称张量，而ημν为Mincovski空间的度规张量。则
γμγν+γνγμ=2Ⅰημν，　　　　　　　　　　 （56）
　 γμγν-γνγμ=2Ⅰｇ[μν] 。　　　　　　　　　 （57）
这时γ矩阵为常矩阵，故
　 γν=0，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （58）
基本几何学方程可写为
　 （γν+Γμγν ）ψ=0。　　　　　　　　　　　　　　 （59）
对ν、μ缩并，即得
　 （ゐ-ｍ）ψ=0。　　　　　　　　　　 　　　　　　　 　（60）
式中
　　 ゐ=γν ，　ｍ=-Γνγν 。

3　物　理　部　分
本文认为统一场的基本概念和基本关系所描述的是时空的基本性质，如果我们所建立的几何学（Saint几何学）可完整地描述时空的几何性质，则这一时空几何将不仅可代替统一场的物理学概念和方程来描述统一场物理现象，而且它的一切几何性质可作物理诠释；或者说，我们可以在时空几何学的概念和关系与统一场的概念和方程之间建立起一一对应关系，并使最基本的几何学概念和关系对应于统一场理论中的最基本的概念和方程。这些对应关系将使我们可用时空几何概念和关系与统一场理论的概念和方程相互代替来描述时空几何性质及物理现象，用几何学概念和关系来统一场的物理概念和方程。
3.1 场论中基本概念与Saint几何概念的对应关系
　　当我们把Saint几何学中基本概念引入场论来描述场的性质时，我们立即可看出：Saint几何学中最基本的量为基本张量，我们把它与场论中的基本场量对应起来，把基本张量的物理意义解释为基本场量，则各种具体表示下或受各种数学条件限制的基本张量可被解释为各种具体场相应的场量。
　　物理学中描述各种场的场量都具有一定的数学性质，或受一定的数学条件限制，它们所满足的性质或所受的限制条件也是它相应的Saint几何量应满足的性质，或应受的限制条件，我们可以此来确定它们之间的对应关系。
　　由于Fermion场为旋量场，基本场量为一旋量，所以我们可把这种场同旋量表示下的Saint空间对应起来，认为旋量场理论所描述的是旋量表示下的Saint空间，或者旋量表示下的Saint空间在物理中可理解为旋量场。相互作用场一般为张量场或矢量场，其基本场量为张量或矢量。用矢量或张量来描述相互作用场仅仅是因为实际应用的方便，它们并没有什么本质上的差别，所以我们使这样的场对应于Saint空间的张量表示。下面我们分别就张量场（相互作用场）和旋量场（Fermion场）讨论与各种具体场相对应的特殊Saint空间所应具有的性质，并给出一些重要的物理量与几何学量的对应关系。
3.1.2 各种相互作用场与满足一定数学性质的Saint空间的对应关系
　　由广义相对论可知，引力场的基本场量为一二阶对称张量。事实上为无挠Riemann空间的度规张量，所以引力场自然地对应于无挠Riemann空间。
　　由于电磁场的基本场量为一二阶反对称张量，故电磁场应当对应于满足某种性质的Maxwell空间，由数学部分的讨论可知，无挠Maxwell空间的基本几何学方程与Maxwell方程无论从方程的形式上，还是各种量的数学性质都完全一致，故我们认为电磁张量及Maxwell方程所描述的是无挠Maxwell空间的几何性质，无挠Maxwell空间的物理意义可被理解为电磁场。
　　强相互作用传播子静质量为零，故线元
　　　　ｄｓ2=0，　　　　　　　　　　　　　　 （61）
因而其所对应的Saint空间的基本张量必为二阶反对称张量。另外由已知的物理现象，强相互作用与电磁作用在表现性质上有很大差异，所以我们认为它对应于以挠率为联络的Maxwell空间。
　　弱相互作用传播子静质量不为零，故线元
　　　　ｄｓ2≠0，　　　　　　　　　　　　 　　 （62）
相互的Saint空间基本张量可能为对称的。但由于这种场的表现性质与其它场差异很大，而且我们尚有一种特殊的几何空间—以挠率为联络的Riemann空间未作物理诠释，故我们令这种空间与弱相互作用场相对应。
3.1.2 各种Fermion子场相应的Saint几何空间
　　与相互作用场不同的是，Fermion子的表观性质并没有很大的区别，它们的显著差异取决于它们所参与的相互作用。可参与所有相互作用的旋量粒子对应于一般的旋量表示下的Saint空间，自由旋量场对应于时空势为零的Saint空间，如自由电子场对应于由于一个无挠Maxwell空间和一个Mincovski空间复合而成的Saint空间。
3.1.3 相互作用场的源、势及场粒子的质量
相互作用场的源有两种，一种是能量张量，另一种是流矢量。由广义相对论可知，时空曲率与能量张量关系如下
Ｒμν -ｇμνＲ=-κＴμν 。　　　　　　 　 （63）
若采用如下单位制
　　 c=h=κ=1， （64）
则方程（63）可写作
Ｒμν -ｇμνＲ=-Ｔμν 。　　　　　　　 （65）
另外由于数学部分给出的由二阶对称张量Ｒμν 及ｇμν 构成的组合关系。
　　 Ｇμν=-Ｒμν +ｇμν　　　　　　　　　 （66）
是由Saint空间曲率的二阶缩并构成的唯一满足
　　 Ｇμν;ν=0
的二阶张量，是唯一可能与能量张量相对应的几何学量，故我们把这一二阶对称张量与物理中的能量张量相地应。
　　比较 Maxwell方程及由无挠Maxwell空间和Mincovski空间构成的复合空间的基本几何学方程，我们发现通常的电流密度矢量对应于这一空间的时空流，事实上，时空流矢量还满足流守恒定律。
　　 ｊμ，μ=0。　　　　　　　　　　　　　　　　　 （67）
故我们可把它与物理中的流矢量对应起来。
　　比较各种相互作用同时存在时的Dirac方程与旋量表示下的Saint空间基本几何学方程，我们即可发现，时空惯量对应于场粒子的质量（一般为动质量），而时空势对应于相互作用场的势函数。
　　这样我们把Saint几何学中的基本量作了物理学诠释，建立起Saint空间和物理中场的一一对应关系。需要说明的是，物理中事实上并不存在独立的特殊场，即不存在自由场。自由场一般被认为是在物理问题中可忽略其它场影响的一种近似。
3.2 统一场理论及统一场方程
　　与其他各种统一场理论一样，本文认为统一场将作为一个协变的整体出现，因而统一场基本场量和统一场方程对坐标变换应当是协变的。本文建立统一场理论的方法也类似于以前的方法，即首先建立一种统一场的几何结构，然后在此基础上建立统一场理论。不同于以前各种统一场理论，且本文认为最重要的一点是：本文认为物理学中统一场理论实质上是一种时空几何理论，它所描述的是时空几何性质，故一切有关统一场的理论都可建立于可完整描述时空几何结构的几何学基础之上，或者说，只要可完整描述时空几何结构的几何学作适当的物理学诠释，即可得到一套完整的统一场理论。另外与以前各种统一场理论所不同的是，本文认为Fermion场和Boson场（相互作用场和实物粒子场）就其本质而言并无差别，因而这里所说的统一场论并不单指相互作用场的统一理论，而是包括Fermi子场在内的更广泛意义上的场的统一理论。下面我们具体讨论本文意义上的统一场的场方程及各种具体演化形式。
　　由上节的讨论可知，Saint空间的基本张量ｇ可解释为统一场的基本张量，因而描述基本张量ｇ的Saint方程可解释为统一场方程。为了区别于其它统一场理论，我们称这一统一场方程为Saint统一场方程。一般写作
　　 Ｇ=0，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （68）
式中Ｇ为统一场的基本场量，为一二阶张量。这一方程给出了统一场的量最基本的关系，在各种条件限制下，通过适当的变形及演化即可得到与常见场（如引力场、电磁场、电子场等）的场方程一致的特殊场方程，它也可以用于描述各种场同时存在时的复杂场空间，以及各种场的相互作用及转化，但这种方程的一般形式无法直接应用，为了实际应用的方便，我们将由它得到几种具体方程，虽然这些具体方程不一定能完全确定场量ｇμν ，但在实际应用中却十分重要。
　　如前所述，Saint几何学空间在张量表示下所描述的是相互作用场的运动性质，故一般相互作用场的场方程可写作
　　 ｇμν;λ =0，　　　　　　　　　　　　　　　　 　（69）
或
　　 ｇμν;λ =0。　　　　　　　　　　　　　　　　　 （69a）
利用（69a）的显然形式
　　 ， (69b）
对ν、λ缩并，可得
　　 ， （70）
两边乘ｇαν ，得
　　 ｇανｇμν，ν+2Γμαν=0，　 　　　　　　　 （71）
或
　 Γμαν=ｇανｇμν，ν 。　 　 （71a）
此方程表明可通过Saint统一场方程利用基本场量来确定联络，从而确定其它物理量，另外利用时空流的定义，把方程（71a）改写为
　　 ｇμν，ν=ｊμ 。　　　　　　　　　　　　　　　　 （72）
时空流对应于场论中的流矢量，是物理学中的可测量，故可用此方程作为求解基本场量的方程之一。另外也可利用能量张量与时空曲率的关系
　　 Ｒμν -ｇμνＲ=-Ｔμν　　　　　　　　　　　 （73）
作为用于确定基本场量的另一方程。
　　利用旋量表示下的Saint几何空间，我们可得Fermion场的一般方程（各种相互作用同时存在）为
　　 （γνγν+Γνγν ）ψ=0。 　　　　 (74)
式中相互作用势 γν可由相互作用场的性质确定出（具体由解相互作用场方程给出）, Γνγν 为旋量粒子的运动质量，为物理上可测量。因而可由此方程求解旋量粒子的基本场量。
3.3 各种具体场方程推演
　　本节给出各种具体场方程的推演，通过比较由统一场方程推演而得的场方程和己知的场方程，我们可看到本文所给出的假设的适当性。
3.3.1 电磁场
　　Maxwell电磁场是我们最熟悉的一种相互作用场。由3.1节的讨论，我们可知自由电磁场对应于无挠Maxwell空间，故具有如下两条重要性质。
　　 ｇμν=ｇ[μν], (75)
　　 Γλμν=Γλ(μν) 。 　　 （76）
由此立即可得
　　 ｄｓ2=ｇ[μν] ｄμ ｄν =0,　　　　　　　　　 （77）
即自由电磁场线元为零，说明电磁场是以光速传播的，且光子静质量为零，故本式可看成统一场论中对光速不变原理的表述和证明，利用无挠Maxwell空间性质可得自由电磁场方程为
ｇ[μν，λ] =0, ｇλν，ν=0。　　　　　　 （78）
与我们所熟知的自由电磁场的Maxwell方程完全一致。
　　物理中电磁场存在的时空总是由一个Maxwell空间（无挠）和一个Mincovski空间复合而成，即
　　 ｇμν=ｇ[μν]+ημν ，　　　　　　　　　　　 （79）
　　 Γλμν=Γλ(μν) 。　　　　 　　　　　 （80）
这时方程为
　　 ｇ[μν，λ] =0,　　　　　　　　　　　　　　　　　 （81）
　　 ｇλν，ν=-ｊμ 。　　　　　　　　　　　　　　　 （81a）
而线元
　　 ｄｓ2=ημν ｄμ ｄν 。　　　　　　　　　　　 （82）
这与Einstein狭义相对论中的Maxwell场方程及时空几何性质完全一致。

3.3.2 引力场
由于引力场对应的Saint几何学空间为无挠Riemann空间，故基本场量及空间联络满足
ｇμν=ｇ(μν)，