从勾股定理到图形面积关系的拓展.docx

与勾股定理有关的面积计算
安吉县梅溪中学：杨飞飞
教学目标：
1、 由与勾股定理有关的的验证图形引导学生通过图形的变化来认识数学中的几个基本图形。
2、 让学生掌握数学中的几个基本图形，并学会从复杂的图形中抽离出这几个基本图形。
3、 带领学生发现即使是复杂图形之间也是有内部联系的，发现这些联系是解决问题的关键。让学生学会“透过现象看本质”！
重点、难点：
重点：认识几类基本图形，会从复杂图形中抽离出基本图形，从而解决问题。
难点：让学生通过这节课的学习，在以后的解题中做到“知一题，会一类”，这是这堂课的难点。
教学过程：
（一）由验证勾股定理的验证图形入手，白板演示图形的各种变化。（这个图形在证明勾股定理的时候学生就接触过，用这个图形引入，学生有一定的知识储备，浅显易懂，学生容易接受）
1、（1）通过白板操作得到这个图形，构造出以直角三角形的三边向外做三个正方形，从而引导学生得到这三个正方形面积之间的关系。（两个较小的正方形的面积之和等于最大的正方形的面积）

（2）配套练习：
a: 64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A所代表的正方形面积是 。

b: 已知图中的正方形都是正方形，图中的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的边长分别是4，8，2，5，则最大的正方形的面积是多少？

c：在上一题的基础上，继续添加，如图
已知图中的四边形都是正方形，图中的三角形都是直角三角形，若最大的正方形的面积是109，则A，B，C，D，E，F的面积之和是多少？

d：如图所示是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一条边为斜边作等腰直角三角形，然后再以这个等腰直角三角形两直角边为边作正方形②和②′，如此继续下去…，若正方形①的面积为64，则正方形⑥的面积为_____．

2、（1）用白板演示拿掉上面的两个直角三角形，左右补上两个正方形，如图

让学生观察很容易通过以上的学习得到三个正方形面积之间的关系（仍然存在两个较小的正方形的面积的和等于最大的正方形的面积）
（2）配套练习
a： 图，已知A、D两个正方形的面积和为10，B、C两个正方形的面积和为7，则a，b，c三个方形的面积和为（ ）

A．17 B．27 C．24 D．34
b: 算书《周髀算经》中记载周公与商高的谈话，其中就有勾股定理的最早文字记录，即“勾三股四弦五”，亦被称作商高定理. 如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理. 图2是由图1放入矩形内得到的，，AB=3，AC=4，则D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，那么矩形KLMJ的面积为__________.

3、（1）继续白板演示切掉这个图形的上面一半，得到如图的K字型的基本图形（引导学生发现这与第一章的全等三角形的联系，这是初中数学全等和相似三角形中非常重要的基本图形）

（2）配套练习
（2）配套练习
如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线上，且之间的距离为1，之间的距离为2，求△ABC的面积

（二）1、继续以直角三角形的三边分别向外作三个等边三角形（引导学生通过计算发现还是存在两个较小的等边三角形的面积和等于最大的等边三角形的面积）

2、继续再以直角三角形的三边向外作三个半圆（引导学生通过计算发现还是存在两个小的半圆的面积的和等于最大的半圆的面积）

3、配套练习
如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，则图中阴影部分的面积为        ．

这一系列教学的目的是引导学生发现总结：在一个直角三角形中，在斜边上所画的任何图形的面积，等于在两条直角边上所画的形状相同、大小不同的图形的面积的和！

课后练习：
1、如图，Rt△ABC中，AC=5，BC=12，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为_____

2、AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是 ．

3、2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么的值为

4、如图所示，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，……按照此规律继续下去，则S2015的值为（ ）

A． B． C． D．