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完全平方公式 （教学设计）
一、设计思想;
义务教育课程标准实验教科书，北师大版七年级数学下册第一章：“整式的运算”第8节安排了“完全平方公式”的学习。它是学生学习了整式的乘法和平方差公式等知识后，为了使学生进一步提炼整式乘法的思想，构建公式模型而设计的一堂课。“完全平方公式”在今后的学习（尤其是解方程、因式分解等诸多计算）中起着非常重要的作用，它不但可以简化某些计算，同时还可以帮助学生建立数学模型，树立数学建模的思想。
建构主义学习理论认为，数学知识应以各种有待探索的问题的形式与学生的经验世界发生联系和作用。教师精心设计问题情境，充分调动学生思维积极性，利用自己的原有认知结构中的有关知识、经验，“同化”和“素引”出当前要学习的新知识，促成新知识的建构。为了实现教学目标，使教学有层次的展开，更加体现探究性和运用性的特点，笔者作了如下设计：创设情境，提供问题，分析问题，通过对问题的引用和变化，引导学生积极地探究寻求数学模型，让学生结合生活实际，去解决一些现实的问题，使学生深切地体会到学习的全过程。
数学的概念、定理、公式虽然是一些语言和符号，但它们代表了确定的意义，这些意义是人们（主要是数学家）根据对客观事物属性的感知进行思维的结果，构建观下，学生要获得这些意义，不是仅仅要记住这些表达形式（机械学习），而是也要经过自身的思维构建过程（确立新知识的心理意义），即意义构建。当然因为有前人和教师的辅助，这个过程会相对简捷。本节设计了一个例题（3个小题）、一道练习题（3个小题）和四道课外作业题，让学生在不同的情景下对课堂上的发现（认识）进行理解、反思，最终达到意义构建的目的。
二、教学目标
1.经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力，
2.会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算。
3.了解（a+b）2= a2+2ab+ b2的几何背景。
4.通过“读一读”让学生了解我国悠久的数学发展史，激发学生的学习兴趣和民族自豪感。
三、教学重点：经历完全平方公式的探索过程，理解公式的意义。
四、教学难点：对完全平方公式的准确理解和正确运用。
五、教学准备：
1、查阅相关资料；2、制作课件
六、教学过程
1、提出问题（出示投影1）
某农科院因进行品种比较实验，需要将边长为a米的正方形实验田，每边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种。（如图所示）
b

a
b
（学生活动）
a

（1）、分别写出每块实验的面积；
（2）、用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较，你发现了什么？
学生充分交流后教师总结明晰：
（1）、根据图所示，不难得出四块实验田的面积分别为：a2、 ab、ab，b2。
（2）、可用两种形式表示实验田的面积，一种是看成边长为（a +b）的正方形，其面积为（a+b）2；另一种是看成四块面积的和，其面积为a2 +ab+ab+b2= a2+2ab+ b2，显然，（a+b）2= a2+2ab+ b2。
讨论：（a+b）2等于什么？你能用多项式乘法法则说明理由吗？
学生动笔计算：（a+b）2=(a+b)(a+b)= a2 +ab+ab+b2= a2+2ab+ b2
2、变式问题
（a+b）2等于什么？（学生动笔计算）
算法1、（a-b）2=(a-b)(a-b) =a2-2ab+ b2。
算法2、（a-b）2=[ a+（-b）]2= a2 +2a（-b）+（-b）2= a2-2ab+ b2。
3、探索模型
在上面讨论的算式中的a、b可以是任意数(或代数式)，具有任意性，因此对于任意的a、b都有：
（a+b）2= a2+2ab+ b2 （1）
（a-b）2=a2-2ab+ b2 （2）
你能用自己的语言叙述上面的两个式子吗？（让学生充分的表达）
师：“两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加上（或者减去）这两个数的积的2倍。”
师：以上两个公式叫做乘法的完全平方公式，其中（1）叫做完全平方和公式，（2）叫做完全平方差公式。
讨论：公式（1）和（2）在结构上有什么特征？
在学生的充分讨论和交流后，归纳总结如下：
1、完全平方公式是两数和与两数差的平方公式的统称。
2、公式中的a、b可以代表任意数或代数式。
3、公式的条件是；两数和的平方或两数差的平方。
4、公式的结果是三项式。即这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍。
4、运用实践
（出示投影2）
例1.利用完全平方公式计算
1、（2x-3）2 2、（4x+5y）2 3、（mn-a）2
分析：利用完全平方公式计算，首先要观察算式的结构是否符合公式的结构特征，由于a、b可以代表任意数或代数式。因此
解：（1）、（2x-3）2 =(2x)2-2·(2x)·3+32=4x2-12x+9
（2）、（4x+5y）2=(4x)2+2·(4x)·(5Y)+(5Y)2=16x2+40xy+25y2
（3）、（mn-a）2 =（mn）2-2·(mn)·a+a2=m2n2-2amn+a2
5、巩固练习（学生单独完成，教师巡视，学生完成进行交流，最后老师根据情况作补充和强调）
（1）、（ x-2y）2 （2）、（2xy+ x）2
（3）、（n+1）2-n2
6、读一读：指导学生阅读教材41页“杨辉三角”。
7、课堂小结
通过我们的共同探索，我们认识了“完全平方公式”，正确认识公式的结构特征是正确小结
使用公式的关键所在，同学们在使用完全平方公式进行计算时，首先要确定所给题目是否符合公式的结构特征。
（1）完全平方公式是两数和与两数差的平方公式的统称。
（2）公式中的a、b可以代表任意数或代数式。
（3）公式的条件是；两数和的平方或两数差的平方。
（4）公式的结果是三项式。即这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍。
8、作业设计
（1）、选择题
〈1〉、（-x-y）2等于（ ）
A、-x2-y2 B、x2+y2
C、x2+2xy+y2 D、x2-2xy+y2
〈2〉、下列各式计算正确的是（ ）
A、（a+b）2= a2+ b2 B、（a-b）2= a2- b2
C、(x+3)(x-3)= x2-3 D、(3xy+1)(3xy-1)=9 x2y2-1
（2）、计算
〈1〉、（0.7a-0.3）2 〈2〉、(3k2- 1)2
〈3〉、(2x-3y)(3y-2x) 〈4〉、(- x-y)2
（3）、一个圆的半径为你r厘米，半径增加3厘米后，这个圆的面积增加多少？
（4）思考题：能否运用完全平方公式简化下列计算？如果可以，请写出计算过程。
〈1〉10012 〈2〉9992
9、教后反思
学习了乘法公式中的完全平方，一个是两数和的平方，另一个是两数差的平方，两者仅一个“符号”不同。相乘的结果是两数的平方和，加上（或减去）两数的积的2倍，两者也仅差一个“符号”不同，运用完全平方公式计算时，要注意：
（1）切勿把此公式与平方差公式混淆，而随意写。
（2）切勿把“乘积项”2ab中的2丢掉。
（3）计算时，要先观察题目是否符合公式的条件．若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用公式进行计算；若不能变为符合条件的形式，则应运用乘法法则进行计算。
今后在教学中 ，要注意以下几点：
①让学生自编几道符合平方差公式结构的计算题，目的是辨认题目的结构特征。
②引入完全平方公式，让学生用文字概括公式的内容，培养抽象的数字思维能力。
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