一元二次方程的应用——图形面积问题.doc

教学内容：
一元二次方程解的应用——图形面积问题
教学目标：
1.复习几种特殊图形的面积公式，理解实际问题中与图形面积有关的数量关系；
2.掌握建立一元二次方程的数学模型的方法，并能熟练运用它解决实际问题．
重难点关键：
1.重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．
2.难点与关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．
教学过程：
一、复习引入
1．直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？
2．如何计算平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的面积？
3．某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程s（m）和时间t（s）之间的关系为：s=10t+3t2.
（1）求汽车行驶10s的路程．
（2）求汽车行驶200m需要多长时间?
4．某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？

二、探索新知
探究1 “围墙”问题
例题 用40米长的竹篱笆围成一个矩形场地.
（1）若围成的矩形面积为75米2，求矩形各边的长；
（2）能否围成面积为120米2的矩形.

练习 有一面积为150m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用竹篱笆围成；如果竹篱笆的长为35m，鸡场的长与宽各为多少?

探究2 “截角”问题
例题 有一张长30cm、宽20cm的长方形纸片，在四个角剪去四个完全相同的小正方形，使得剩下的面积的是504，求剪去的小正方形的边长？

练习 已知矩形纸片的长是宽的2倍，在四个角剪去边长为4cm的四个完全相同的小正方形，将剩余纸片折成一个无盖的长方体，其体积为640cm3，求矩形原来的边长？

探究3 “镶边”问题
例题 如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？
思考：
（1）本体中有哪些数量关系？
（2）正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如何理解？
（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？
点评：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比为9：7，由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm．

练习 一矩形餐桌的长、宽分别为0.8米、0.6米，现在准备用面积为0.8米2的桌布盖在桌面上，使餐桌四周垂下相同宽度的桌布，求桌布的长与宽.

三、课堂训练——“修路”问题
1.某校为了美化校园，准备在一块长32米，宽20米的长方形场地上修筑若干条道路，使余下部分的540米2作为草坪，并请全校同学参与设计，现在有两位学生各设计了一种方案，如图（1）、（2），根据两种设计方案各列出方程，求图中道路的宽分别是多少？
（2）

（1）

2.如图，在宽为20m、长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为500m2，道路的宽为多少？

四、拓展提升——“动点”问题
例题 如图，△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为△ACB面积的一半．

练习 已知△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=16m，点P、Q同时由A、C两点出发分别沿AC、CB方向向点C、B匀速移动，它们的速度分别是1m/s、2m/s．
（1）几秒后PQ的长为 m；
（2）几秒后△PCQ与四边形APQB的面积相等；
（3）求四边形APQB的面积的最小值.

五、课堂小结
1.利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题．
2.掌握“动点”在几何图形中引起的图形变换关系，运用面积公式或勾股定理建立一元二次方程的数学模型，并解决一些实际问题．

六、布置作业