期中试题理科.doc

1.下列说法不正确的是　(　　)
A.某辆汽车一年中发生事故的次数是一个离散型随机变量
B.正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0
C.公式E(X)=np可以用来计算离散型随机变量的均值
D.从一副扑克牌中随机抽取5张,其中梅花的张数服从超几何分布
2.设随机变量的ξ的分布列为P(ξ=k)=(k=1,2,3,4,5,6),则P(1.5<ξ<3.5)=　 (　　)
A. B. C. D.
3.设X～B(10,0.8),则E等于　(　　)
A.16 B.18 C.32 D.64
4.若X的分布列为
X
0
1[
P
0.5
a
则D(X)=　(　　)
A.0.8 B.0.25 C.0.4 D.0.2
5.某射击运动员射击一次,命中目标的概率为0.9,问他连续射击两次都没命中的概率是　(　　)
A.0.64 B.0.56 C.0.01 D.0.09
6.对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测,不放回地依次摸出2件.在第一次摸出正品的条件下,第二次也摸到正品的概率是　(　　)
A. B. C. D.
7.三个元件T1,T2,T3正常工作的概率分别为,,,且是互相独立的.将它们中某两个元件并联后再和第三元件串联接入电路,在如图的电路中,电路不发生故障的概率是　(　　)

A. B. C. D.
8.(2013·黄冈高二检测)为了了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况,抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ,22),且正态分布密度曲线如图所示.若体重大于58.5kg小于等于62.5kg属于正常情况,则这1000名男生中属于正常情况的人数是　(　　)

A.997 B.954 C.819 D.683
9.设火箭发射失败的概率为0.01,若发射10次,其中失败的次数为X,则下列结论正确的是　(　　)
A.E(X)=0.01
B.P(X=k)=0.01k×0.9910-k
C.D(X)=0.1
D.P(X=k)=×0.01k×0.9910-k
10.某船队若出海后天气好,可获得5000元;若出海后天气坏,将损失2000元;若不出海也要损失1000元.根据预测知天气好的概率为0.6,则出海的期望效益是　(　　)[来源:学优]
A.2000元 B.2200元
C.2400元 D.2600元
11.(2013·长沙高二检测)某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分布,其密度函数为f(x)=,则下列命题中不正确的是　(　　)
A.该市这次考试的数学平均成绩为80分
B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D.该市这次考试的数学标准差为10
12.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c(a,b,c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况),则ab的最大值为　(　　)
A. B. C. D.
1.【解析】选C.C项中公式只适用于服从二项分布的随机变量,故C不正确,其余选项均正确.
2.【解析】选A.由概率和为1可求n=21,P(1.5<ξ<3.5)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=.
3.【解析】选B.因为X～B(10,0.8),所以E(2X+2)= 2E(X)+2=2×10×0.8+2=18.
4.【解析】选B.由题意知0.5+a=1,E(X)=0×0.5+1×a=a=0.5,所以D(X)=0.25.
5.【解析】选C.记Ai表示“第i次击中目标”,i=1,2,则P()=P()P()=(1-0.9)×(1-0.9)=0.01.
6.【解题指南】结合条件概率公式P(B|A)=求解.
【解析】选D.记“第一次摸出正品”为事件A,“第二次摸到正品”为事件B,则P(A)==,
P(AB)==.
故P(B|A)==.
7.【解析】选A.电路不发生故障的概率
P=×=×=.
8.【解析】选D.由题意可知μ=60.5,σ=2,
故P(58.5<X≤62.5)=P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826,从而属于正常情况的人数是1000×0.6826≈683.
9.【解析】选D.该试验为独立重复试验,故E(X)=0.1,D(X)=10×0.01×0.99=0.099,P(X=k)=×0.01k×0.9910-k,故选D.
【变式备选】设随机变量X～B(n,p),若E(X)=2.4,D(X)=1.44,则参数n,p的值为　(　　)
A.n=4,p=0.6 B.n=6,p=0.4
C.n=8,p=0.3 D.n=24,p=0.1[来源:学优]
【解析】选B.E(X)=np=2.4,D(X)=np(1-p)=1.44,解得n=6,p=0.4.
10.【解析】选B.出海的期望效益E(ξ)=5000×0.6+(1-0.6)×(-2000)=3000-800=2200(元).
11.【解析】选B.利用正态密度函数的表达式知μ=80,σ=10.故A,D正确,利用正态曲线关于直线x=80对称,知P(ξ>110)=P(ξ<50),即分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同,故C正确,故选B.
12.【解析】选D.由已知,得3a+2b+0·c=2,得3a+2b=2,所以ab=×3a×2b≤=.
13.【解析】由题意知正态曲线的对称轴为x=0.
所以P(X≤0)=P(X>0)=;
P(-2<X≤2)=P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544.
答案:　0.9544
14.【解析】由于每次有放回摸球,故该试验可看作独立重复试验,即7次试验中摸取白球的次数ξ～B.由S7=3可知,7次试验中5次摸白球,2次摸红球,
故P==.
答案:
15.【解析】由0.20+0.10+0.5+0.10+0.1+0.20=1知,两个方框内数字分别为2,5,故E(X)=3.5.
答案:3.5
16.【解析】由条件概率知②正确.④显然正确.而且P(B)=P(B∩(A1∪A2∪A3))
=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)[来源:学优]
=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
=×+×+×=.
故①③⑤不正确.
答案:②④
17.【解析】(1)设学生的得分为随机变量X,X～N(70,102),则μ=70,σ=10.
分数在60～80之间的学生的比例为
P(70-10<X≤70+10)=0.6826,
所以不及格的学生的比例为
×(1-0.6826)=0.1587,
即成绩不及格的学生人数占总人数的15.87%.
(2)成绩在80～90分内的学生的比例为
[P(70-2×10<X≤70+2×10)]-[P(70-10<X≤70+10)]
=(0.9544-0.6826)=0.1359.
即成绩在80～90分内的学生人数占总人数的13.59%.
18.【解析】(1)设A=“第一次取到白球”,B=“第二次取到白球”,C=“第三次取到白球”,则在A发生的条件下,袋中只剩6个黑球和3个白球,即P(|A)===.
(2)因为每次取之前袋中球的情况不变,
所以n次取球的结果互不影响.
所以P()==.
(3)设“摸一次球,摸到白球”为事件D,则P(D)==,P()=.
因为这三次摸球互不影响,显然这个试验为独立重复试验,X服从二项分布,即X～B.
所以P(X=0)==,
P(X=1)=×=,
P(X=2)=×=,
P(X=3)==,
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P

又X服从二项分布,即X～B.
所以E(X)=3×=,D(X)=3××=.
19.【解析】(1)X的可能取值为0,1,2,3.根据公式P(X=k)=,k=0,1, 2,…,m,其中m=min{M,n}算出其相应的概率,
即X的分布列为
X
0
1
2
3
P

(2)去执行任务的同学中有男有女的概率为
P=P(X=1)+P(X=2)=+=.
20.【解析】(1)X的所有可能取值为2450,1450,450,-550,
P(X=2450)==,
P(X=1450)=··=,
P(X=450)=··=,
P(X=-550)=·=,
故X的分布列为:
X
2 450
1 450
450
-550
P

(2)E(X)=2450×+1450×+450×+(-550)×=1850(元).
设小李不出资50元增加1张奖券消费的实际支出为X1(元),则
P(X1=2400)==,
P(X1=1400)=··=,
P(X1=400)==,
所以E(X1)=2400×+1400×+400×=2000(元),所以E(X)<E(X1).
故小李出资50元增加1张奖券是划算的.
21.【解题指南】(1)本小题根据每个区间上的小矩形的面积和为1,可建立关于x的方程,解出x的值.(2)解本小题的关键是先求出成绩不低于80分的学生数和成绩在90分以上(含90分)的学生数.然后分别求出ξ=0,1,2对应的概率,再根据期望公式求解即可.
【解析】(1)由频率分布直方图知
(0.006×3+0.01+0.054+x)×10=1,
所以x=0.018.
(2)因为50×(0.018+0.006)×10=12,
50×0.006×10=3,
所以不低于80分的学生共12人,
90分(含90分)以上的共3人.
ξ的取值为0,1,2.
P(ξ=0)==,P(ξ=1)= =,
P(ξ=2)==.
所以E(ξ)=0×+1×+2×=.
【变式备选】(2013·唐山高二检测)上海世博会深圳馆1号作品《大芬丽莎》是由大芬村507名画师集体创作的999幅油画组合而成的世界名画《蒙娜丽莎》,因其诞生于大芬村,因此被命名为《大芬丽莎》.某部门从参加创作的507名画师中随机抽出100名画师,测得画师年龄情况如下表所示,
分组(单位:岁)
频数
频率
[20,25)
5
0.050
[25,30)
①
0.200
[30,35)
35
②
[35,40)
30
0.300
[40,45)
10
0.100
合计
100
1.00

(1)在频率分布表中的①、②位置分别应填数据为　　　　、　　　　;在图中补全频率分布直方图.
(2)根据频率分布直方图估计这507名画师中年龄在[30,35)岁的人数(结果取整数).
(3)在抽出的100名画师中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加上海世博会深圳馆志愿者活动,其中选取2名画师担任解说员工作,记这2名画师中“年龄低于30岁”的人数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.
【解析】(1)20　0.350
补全频率分布直方图如图所示.

(2)507名画师中年龄在[30,35)的人数为0.35×507≈177.
(3)用分层抽样的方法,从中选取20人,则其中“年龄低于30岁”的有5人,“年龄不低于30岁”的有15人,故ξ的可能取值为0,1,2.
P(ξ=0)===.　
P(ξ=1)===.
P(ξ=2)===.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P

所以E(ξ)=0×+1×+2×=.
22.【解析】(1)甲乙两人所付租车费用相同即为0,2,4元.则付0元的概率为P1=×=,
付2元的概率为P2=×=,
付4元的概率为P3=×=,
则所付租车费用相同的概率为P=P1+P2+P3=.
(2)ξ的可能取值为0,2,4,6,8,
P(ξ=0)=,
P(ξ=2)=×+×=,
P(ξ=4)=×+×+×=,
P(ξ=6)= ×+×=,
P(ξ=8)=×=,
ξ的分布列为
ξ
0[
2
4
6
8
P

E(ξ)=+++=.
1.下面是关于复数z=的四个命题:
p1:|z|=2,　　p2:z2=2i,
p3:z的共轭复数为1+i,　　p4:z的虚部为-1,
其中的真命题为(　　)
A.p2,p3 B.p1,p2 C.p2,p4 D.p3,p4
解析:z==-1-i,故|z|=,p1错误;z2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p2正确;z的共轭复数为-1+i,p3错误;p4正确.
答案:C
2.下面的几种推理过程是演绎推理的是(　　)
A.两条直线平行,同旁内角互补,若∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180°
B.某校高三·一班有55人,二班有54人,三班有52人,由此得出高三各班的人数都超过50人
C.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质
D.在数列{an}中,a1=1,an=(n≥2),由此归纳出数列{an}的通项公式
解析:A是三段论推理,B,D是归纳推理,C是类比推理.
答案:A
3.某汽车启动阶段的路程函数为s(t)=2t3-5t2+2,则t=2时,汽车的加速度是(　　)
A.14 B.4 C.10 D.6
解析:依题意,v(t)=s'(t)=6t2-10t,
∴a(t)=v'(t)=12t-10.
因此t=2时,汽车的加速度为a(2)=14.
答案:A
4.若复数z满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位),则z为(　　)
A.3+5i B.3-5i C.-3+5i D.-3-5i
解析:设z=a+bi,a,b∈R,则z(2-i)=(a+bi)(2-i)=(2a+b)+(2b-a)i,所以解得
所以z=3+5i,故选A.[来源:学优gkstk]
答案:A
5.设f(x)=x3+ax2+5x+6在区间[1,3]上为单调函数,则实数a的取值范围是(　　)
A.[-,+∞)
B.(-∞,-3]
C.(-∞,-3]∪[-,+∞)
D.[-]
解析:∵f'(x)=x2+2ax+5,
∴由f'(x)≥0或f'(x)≤0 得a≥或a≤在[1,3]上恒成立.
设g(x)==-,
则g(x)在[1,3]上的值域为[-3,-].
∴a≤-3或a≥-.
答案:C
6.若函数y=x3+ax+b在区间(-1,1)上为减函数,在区间(1,+∞)上为增函数,则(　　)
A.a=1,b=1 B.a=1,b∈R
C.a=-3,b=3 D.a=-3,b∈R
解析:由题意知在x=1处是导数为0的点.
∵y'=3x2+a,∴3+a=0,a=-3,此时,y'=3x2-3,在(-∞,-1)和(1,+∞)上y'>0,在(-1,1)上y'<0,
∴a=-3,b∈R时,满足条件.
答案:D
7.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n∈N*)时,第一步验证n=1时,左边应取的项是(　　)
A.1 B.1+2
C.1+2+3 D.1+2+3+4
解析:等式左边的规律是从1一直加到n+3.
∴当n=1时,应为1+2+3+4.
答案:D
8.(2x-3x2)dx等于(　　)
A.1 B.0
C. 0或1 D.以上都不对
解析:(2x-3x2)dx=(x2-x3)=0.
答案:B
9.给出以下命题:
(1)若f(x)dx>0,则f(x)>0;
(2)|sin x|dx=4;
(3)f(x)的原函数为F(x),且F(x)是以T为周期的函数,则f(x)dx=f(x)dx.
其中正确命题的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.0
解析:(1)错,如xdx=x2>0,
但f(x)= x在(-1,2)上不满足f(x)>0.
(2)对,|sin x|dx=sin xdx+(-sin x)dx=4.
(3)对,f(x)dx=F(x)=F(a)-F(0),
f(x)dx=F(x)=F(a+T)-F(T)=F(a)-F(0).
答案:B
10.有一个奇数列1,3,5,7,9,…,现进行如下分组:第一组含一个数{1};第二组含两个数{3,5};第三组含三个数{7,9,11};第四组含四个数{13,15,17,19},…,试观察第n组内各数之和与其组的编号数n的关系是(　　)
A.等于n2 B.等于n3
C.等于n4 D.等于n(n+1)
解析:第一组内各数之和为1,第二组内各数之和为3+5=8=23,第三组内各数之和为7+9+11=27=33,由此猜想:第n组内各数之和为n3.
答案:B
11.下面给出了关于复数的四种类比推理,
①复数的加减法运算,可以类比多项式的加减法运算法则.
②由向量a的性质|a|2=a2,可以类比得到复数z的性质:|z|2=z2.
③方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)有两个不同实根的条件是b2-4ac>0,类比可得方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈C)有两个不同复数根的条件是b2-4ac>0.
④由向量加法的几何意义,可以类比得到复数加法的几何意义.
其中类比得到的结论正确的是(　　)
A.①③ B.②④ C.②③ D.①④
解析:②中|z|2∈R,z2不一定是实数.
③中复数集中不能比较大小,不能用b2-4ac来确定根的个数.
答案:D
12.观察数表:
　1　　　2　　　3　　　4　　　…　　　第一行
　2 3 4 5 … 第二行
　3 4 5 6 … 第三行
　4 5 6 7 … 第四行
　…　 　…　 　…　 　…
第一列 第二列 第三列 第四列
根据数表中所反映的规律,第n行与第n-1列的交叉点上的数应该是(　　)

A.2n-1 B.2n+1
C.n2-1 D.2n-2
解析:根据数表可知,第1行第1列上的数为1,第2行第2列上的数为3,第3行第3列上的数为5,第4行第4列上的数为7,那么,由此可以推导出第n行第n列交叉点上的数应该是2n-1,故第n行第n-1列的交叉点上的数应为2n-2.
1．y＝sinx(1－cosx)的导数是(　　)
A．cosx＋cos2x　　　　　 B．cosx－cos2x
C．sinx＋cos2x D．cos2x＋cos2x
答案　B
解析　y′＝(sinx)′·(1－cosx)＋sinx·(1－cosx)′
＝cosx·(1－cosx)＋sinx·sinx
＝cosx－cos2x＋sin2x＝cosx－cos2x.
2．曲线f(x)＝x3＋x－2在点P0的切线平行于直线y＝
4x－1，则P0的坐标为(　　)
A．(1,0) B．(2,8)
C．(1,0)和(－1，－4) D．(2,8)和(－1，－4)
答案　C
解析　∵f′(x)＝3x2＋1在点P0处的导数为
f′(x0)＝3x0＋1，∴3x0＋1＝4，∴x0＝±1.
∴P(1,0)和P(－1，－4)．∴应选C.
3．(2010·江西卷)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝(　　)
A．－1 B．－2
C．2 D．0
答案　B
解析　由f(x)＝ax4＋bx2＋c，得f′(x)＝4ax3＋2bx.又f′(1)＝2，所以4a＋2b＝2，即2a＋b＝1，f′(－1)＝
－4a－2b＝－2(2a＋b)＝－2.故选B.
4．已知f′(x)＝3x2－6x，且f(0)＝4，解不等式f(x)>0.
解析　∵f′(x)＝3x2－6x，
∴可设f(x)＝x3－3x2＋c.
又f(0)＝4，∴c＝4.
不等式f(x)>0即为x3－3x2＋4>0，
即(x＋1)(x－2)2>0，
∴x>－1且x≠2.
∴原不等式解集为{x|x>－1且x≠2}．
5．求下列函数的导数．
(1)y＝x4－3x2－5x＋6；
(2)y＝x·tanx；
(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
(4)y＝.
解析　(1)y′＝4x3－6x－5.
(2)y′＝tanx＋x()′
＝tanx＋x×
＝tanx＋x·sec2x.
(3)y′＝(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2＋x＋3)
＝x2＋5x＋6＋2x2＋7x＋5
＝3x2＋12x＋11.
(4)∵y＝1－，∴y′＝.
13.设离散型随机变量X～N(0,1),则P(X≤0)=　　　　　;P(-2<X≤2)=　　　　.
14.(2013·乐清高二检测)口袋里放有大小相同的2个红球和1个白球,有放回地每次摸取一个球,定义数列{an}:an=如果Sn为数列{an}的前n项和,那么S7=3的概率为　　　　.
15.由于电脑故障,使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以代替),其表如下:
X
1
2
3
4
5
6
P
0.20
0.10
0.5
0.10
0.1
0.20
请你找出丢失的数据后,求得均值为　　　　.
16.甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是　　　　(写出所有正确结论的编号).
①P(B)=;
②P(B|A1)=;
③事件B与事件A1相互独立;
④A1,A2,A3是两两互斥的事件;
⑤P(B)的值不能确定,因为它与A1,A2,A3中究竟哪一个发生有关.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70,102),如果规定低于60分为不及格,求:
(1)成绩不及格的学生人数占总人数的比例.
(2)成绩在80～90分内的学生人数占总人数的比例.
18.(12分)(2013·吉林高二检测)一袋中有6个黑球,4个白球.
(1)依次取出3个球,不放回,已知第一次取出的是白球,求第三次取到黑球的概率.
(2)有放回地依次取出3球,已知第一次取的是白球,求第三次取到黑球的概率.
(3)有放回地依次取出3球,求取到白球个数X的分布列、期望和方差.
19.(12分)某校组织一次冬令营活动,有8名同学参加,其中有5名男同学,3名女同学,为了活动的需要,要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务,记其中有X名男同学.
(1)求X的分布列.
(2)求去执行任务的同学中有男有女的概率.
20.(12分)(2013·沈阳高二检测)电信公司进行促销活动,促销方案为顾客消费1000元,便可获得奖券一张,每张奖券中奖的概率为,中奖后电信公司返还顾客现金1000元,小李购买一部价格2400元的手机,只能得2张奖券,于是小李补偿50元给同事购买一部价格600元的小灵通(可以得到3张奖券),小李抽奖后实际支出为X(元).
(1)求X的分布列.
(2)试说明小李出资50元增加1张奖券是否划算.
21.(12分)(能力挑战题)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70), [70,80),[80,90),[90,100].

(1)求图中x的值.
(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ,求ξ的数学期望.
22.(12分)(能力挑战题)本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲乙两人相互独立来该租车点租车骑游 (各租一车一次),设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为,;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为,;两人租车时间都不会超过四小时.
(1)求出甲、乙两人所付租车费用相同的概率.
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ,求ξ的分布列与数学期望E(ξ).