2018年PCB鹏程杯数学邀请赛5年级试卷答案.docx

第五届《鹏程杯》数学邀请赛

小学高年级试卷评分标准
（2018 年 3 月 24 日 10:00～11:40）

一、填空题（满分 60 分，每小题 6 分，将你的答案写在题后的横划线处）

9

1. 字谜 ab + cd + ef


+ gh = 128, 其中不同的英文字母表示不同的非 0 数字. 则

(a + c + e + g) ´ (b + d + f + h)

的值是 . 答案：280.
解：如果有一个十位数字大于 4，至少是 5，则十位数字之和不小于 1+2+3+5=11，因此个位数字之和将不超过 18. 此时 4 个个位数最小和为 4+6+7+8=25 > 18 ，矛盾！因此十位数
字不能大于 4，故 4 个不同的十位数字只能是 1,2,3,4. 进而可知个位数字只能是 5,6,8,9. 如：
19 + 28 + 36 + 45 = 128 .所以
(a + c + e + g) ´ (b + d + f + h) = (1+ 2 + 3 + 4) ´ (5 + 6 + 8 + 9) = 10 ´ 28 = 280.
2. x 台拖拉机，每天工作 x 小时， x 天耕地 x 亩，则 y 台拖拉机，每天工作 y 小时， y 天耕地 亩.

y3
答案： x2 .
解：1 台拖拉机 1 天一个小时可耕地 x


= 1 ，故 y 台拖拉机，每天工作 y 小时，y

1
天耕地
x2


× y3

y3
=
x2 亩.
x × x × x x 2

3. 时钟在6 : 25这个时刻，分针与时针的夹角是 . 答案： 42.5o

解：在6 : 25这个时刻，分针距离6 : 30 的角度是侧，距6 : 30 的角度是
360o
12
= 30o , 时针在6 : 30 的左

5 æ 25 öo
30o ´ = ç ÷ = 12.5o .
12 è 2 ø

所以分针与时针的夹角是 30o +12.5o = 42.5o.
时针在6 : 30 的左侧，距6 : 30 的角度是

5 æ 25 öo
30o ´ = ç ÷ = 12.5o .
12 è 2 ø

所以分针与时针的夹角是 30o +12.5o = 42.5o.

4. 不能写成 3 个不相等的合数之和的最大奇数是 . 答案：17.
解：合数有：4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, …，
因为 4 + 6 + 9 = 19, 所以 19 能写成 3 个不相等的合数之和. 大于 19 的奇数n 可以表示成n = 19 + 2k, k 是非零自然数, 进而
n = 4 + 9 + (6 + 2k ) .

注意6 + 2k 为大于 6 的偶数, 是合数, 所以不小于 19 的奇数都能写成 3 个不相等的合数之和.
另外, 最小的 3 个不相等的合数之和4 + 6 + 8 = 18 > 17, 所以，不能写成 3 个

不相等的合数之和的最大奇数是 17.
5. 如图所示，在边长为 12 厘米的正方形 ABCD 中，分别以 BC,CD 为直径在正方形内画两个半圆，这两个半圆的交点为O . 则图中阴影部分的面积是 平方厘米.
答：72.

解：连接 BO, CO, DO ,易知O 是对角线 BD 的中点. OC 将小叶形分为两个小弓形，分别补在以

OB,OD 为弦的两个小弓形处，组成直角三角形 ABD.
因此阴影部分的面积=直角△ ABD 的面积= 1 ´12 ´12 = 72
2


（平方厘米）.

6. 老师派若干名学生去购买单价为 3 元或 5 元的贺年卡，规定每人至少买一张贺年卡，且每人购买两种贺年卡的总金额不超过 15 元. 如果要求至少有三名学生购买的两种贺年卡的数量完全相同，那么最少要派 名学生去购买贺年卡.
答案：25.
解：设每人购买了 x 张 5 元的贺年卡， y 张 3 元的的贺年卡，则
0 < 5x + 3y £ 15 = 3 ´ 5,

所以， 0 £ x £ 3; 0 £
y £ 5.
x, y 不同时为 0.

i) 当 x = 0时，y = 1,2,3,4，5，共5种方式；

ii) 当 x = 1时，y = 0,1，2,3,共4种方式；

iii) 当 x = 2时，y = 0，1,共2种方式；

iv) 当 x = 3时，y = 0，共1种方式.
所以总共只有 12 种不同的购买方式，一定至少有一种方式发生三次，购买贺
年卡的学生至少要有12 ´ 2 + 1= 25 人.
7. 王明参加了 10 场数学擂台赛，他输的场数、打平的场数都大于他赢的场数，则王明最多赢了 场比赛.
答案：2.
解：设在 10 场擂台赛中王明赢了a 场，输了b 场，打平c 场.
则 a + b + c = 10 ，
由题设可知， a < b ， a < c ，
于是 a + a + a < 10 ，
即 a < 10 = 31 .
3 3
由于 a 是整数，
所以 a £ 3.

若a = 3, 则b + c = 7. 但依条件，应有b > 3且c > 3, 因为b, c 都是整数，即

b ³ 4且c ³ 4, 则b + c ³ 8, 与b + c = 7 矛盾，

于是， a 最大值为 2. 事实上， a = 2, b = c = 4 是可以达到的. 所以王明最多赢了 2 场比赛.
8. 如图所示，有 18 块大小相同的小正三角形拼成的四边形。其中某些相邻的小正三角形可拼成较大的正三角形若干个。那么，图中包含“⊙”的大、小正三角形一共有 个.
答案：6 个.
9. 有浓度为 30%的食盐溶液若干，加了一定数量的水后稀释成浓度为 24%
的溶液.如果再加入同样多的水，浓度将变为 .
答： 20% .
解：设原有溶液为 x ，第一次加水为 y ，根据溶质重量不变，列方程

得
(x + y) ´ 24%

= x ´ 30% ，

由此得到 y = x .
4
另设再加入同样多的水后，浓度变为 z% .依题意，列方程得

解之，得 z = 20 .
(x + x ´ 2) ´ z%
4

= x ´ 30% ，

故浓度变为20% .
10. 在长为 1,2,3,4，…，199,200 的这 200 条线段中，选取k (³ 3) 条，使得这

k 条线段中任意 3 条为边都可以构成三角形，则k 的最大值是 . .
答案：101.
解：选取长为 100,101，……，199,200 的这 101 条线段，其中任意 3 条都可构成三角形的三条边，而选取 99,100,101，……199,200 这 102 条线段时，其中， 99,100,200 就不能构成一个三角形的三条边，所以k 的最大值是 101.
二、解答题（满分 60 分,其中第 11-13 题各 10 分，第 14、15 题各 15 分）
11. （满分 10 分）
已知{23.25 ´ [1 9 (D - 1) - D] + 1 D} ¸ 1 1 = 1 ，求出算式中的D .
31 4 3

解 根据数的运算法则 有
{23.25 ´ [1 9 (D - 1) - D] + 1 D} ¸ 1 1 = 1 ，
31 4 3
Þ 93 ´[ 40 (D - 1) - D] + 1 D = 4 ，
4 31 4 3
Þ 93 ´ 40 (D - 1) - 93 D + 1 D = 4 ，
4 31 4 4 3
Þ 30(D - 1) - 93 D + 1 D = 4 ， 5 分
4 4 3
Þ 30D - 93 D + 1 D = 4 +30 ，
4 4 3
Þ 7D = 94 ，
3
Þ D = 94 10 分
21
12. （满分 10 分）
用橡皮泥做一个棱长为 4cm 的正方体.
（1） 如图（1），在顶面中心位置处从上到下打一个边长为 1cm 的正方形通孔，求打孔后的橡皮泥块的表面
积； （1） （2）
（2） 如果在第（1）题所述橡皮泥打孔后，又在正面中心位置处从前到后再打一个边长为 1cm 的正方
形通孔，求两次打孔后的橡皮泥块的表面积；
（3） 如果在第（1）题所述橡皮泥打孔后，又在正面中心位置处从前到后再打一个长为 x cm，寛为 1cm 的长方形通孔，能不能使所得到的橡皮泥块的表面
1
积为 130 cm2 ？如果能，请求出 x ；如果不能，请说明理由. 解（1） S = 42 ´ 4 + (42 -12 ) ´ 2 + (4 ´1) ´ 4 = 110 （ cm2 ）.
1
或S = 42 ´ 4 - 2 ´1 + 4 ´ 4 = 110 （ cm2 ） 2 分

（2）S
2 = S1
- 4´1+ 4´1.5´ 2 = 110 - 4 + 12 = 118 ( cm2 ) 5

分
（3）能 6 分
须考虑的方案有两种（如图）.
（1） 表面积
S = S1 - 4x + (2 + 2x)´1.5´ 2 = 116 + 2x = 130 ，
得到 x = 7 > 4 ，不合题意，应舍去 8 分
（2） 表面积
S = 96 - 2x + (2 + 2x) ´ 4 - 4 + 4´1.5´ 2 = 112 + 6x = 130 ，

得到 x = 3 < 4 ，符合题意 10 分
13.（满分 10 分）
甲、乙、丙、丁四个人骑着摩托车到外面探险，每辆摩托车带的油最多能行360 千米，途中无加油站.为了使其中有人走得更远些，他们想出一个巧妙的方法，且都能安全地返回出发点.那么，他们想出了什么办法使其中有人能行得更远些？最远能行多少千米？
解 要使其中的一人行得最远，不妨设丁行的最远.那么，甲、乙、丙三人应尽可能行短些.这样，可为后面的人提供更多的油
（1） 设甲、乙、丙、丁四人同时从 A 地出发，行了 x 千米在 B 地停下，甲给乙、丙、丁各加能行 x 千米的油，再留足这四辆车返回 A 地时所需的油.
依题意，列方程得： x + 3x + 4 x = 360 .
解之，得：x = 45 . 即 AB = 45 千米 2 分
（2） 设乙、丙、丁三人同时从 B 地出发，行了 y 千米在C 地停下，乙给丙、丁各加能行 y 千米的油，再留足这三辆车返回 B 地时所需的油.
依题意，列方程得： y + 2 y + 3y = 360 .
解之，得： y = 60 .即 BC = 60 千米 4 分
（3） 设丙、丁两人同时从C 地出发，行了 z 千米，在 D 地停下，丙给丁加能行 z 千米的油，再留足这两辆车返回C 地时所需的油.
依题意，列方程得： z + z + 2 z = 360 .
解之，得： z = 90 . 即CD = 90 千米 8 分
（4） 丁从 D 地出发，行至最远处 E 地，则 DE = 360 ¸ 2 = 180 千米.
综上所述，丁最远可行45 + 60 + 90 +180 = 375 千米 10 分
14.（满分 15 分）
对于正整数n ，如果各位上的数字和是一个多位数（含两位数），那么我们再算这个多位数的各位上的数字和，直至得到一个一位数为止，我们将这个一位数记作S (n) .例如 2018，因为2+0+1+8 = 11，1+1 = 2 ，所以S(2018) = 2 .
大家注意， 35×29=1015 ， 根据以上算法， S(35)=8 ， S (29) = 2 ，
S(S(35)×S(29))=S(8×2)=S(16)=7，有趣的是 S(1015)也等于 7. 这是偶然的巧
合还是必然的规律？
（1） 根据以上材料，你能提出一个猜想吗？从等式左边数的个数和数的位数入手考虑，尽量使你的猜想适用范围更广.
（2） 请说明你提出猜想的理由.
（3） 请举出以上结论的一个应用.
解 （1）猜想：若mn = k ，则 S (S(m) ´ S (n)) = S (k ) ，即
S (S(m) ´ S (n)) = S (mn) ,
其中m, n 为自然数 3 分

更一般猜想：
S (a1 ´ a2 ´×××´ an ) = S (S (a1 ) ´ S (a2 ) ´×××´ S (an ))
.……………5 分

（2） 证明 任意一个自然数和它的各个位置上的数字和被 9 除所得的余数相
同，以四位数为例，因为

abcd = 1000a + 100b + 10c + d = 9(111a + 11b + c) + (a + b + c + d ) ，
所以， abcd º a + b + c + d (mod 9) 即 S (n) º n(mod 9) ,从而有，

S (m) ´ S (n) º mn º k º S (k )
易知S (m) 就是m 被 9 除的余数,
(mod 9) .

所以， S (S(m) ´ S (n)) = S (k ) 10 分
（3） 只要能举出以上结论的一个应用即得 5 分 15 分
可用于验证两个（或几个）较大的整数相乘，其计算结果是否正确.例如：
23568×436789=10394243152 ， 因为 S(23568)=6,S(436789)=1,S(6×1)=6, 而
S(10394243152)=7 所以我们断定计算有误.
(注：用文字语言把道理说清楚也给满分)

15.（满分 15 分）
鹏程幼儿园小张阿姨在“六一”儿童节时给小朋友们发糖果，她将一包糖果放在桌子上便回办公室拿东西，回来后发现有些性急的小朋友已各自抓了一把糖果.为了公平起见，她决定通过游戏方式达到平均分配糖果的目的.老师将小朋友们围成一圈，先让所有人数一数自己手中的糖果，凡是奇数块的，老师再发一块. 然后，每个小朋友将自己糖果的一半分给右边的小朋友，同时，他也收到左边小朋友给的糖果，这样就叫做完成了一次“调整”.
请你说明：如果张老师手上有足够多的糖果，那么只需要经过有限次“调整”，大家手中的糖果就一样多了！
证明 不妨设最初每人都持有偶数块糖果（如果是奇数块，反正老师会再发一块），最多的有2m 块，最少的有2n 块， m > n 2 分
① 经过一次调整，最多的不超过2m 块，最少的不少于2n 块.因为持糖果块

数最多（ 2m 块）的人要分一半给右边的那位小朋友m 块，接受到左边小朋友所给的糖果最多为m 块；持糖果最少（ 2n 块）的人要分一半给右边的那位小朋友n 块，接收到左边小朋友所给的糖果至少 n 块；其他人糖果数介于中间 ……7 分
② 每经过一次调整，持糖果最少的人，其人数至少减少一人.这是因为，对于持2n 块糖果的小朋友来说，除非他的左边也是持2n 块，否则，他的糖果数就会增加，但是，不可能每个持 2n 块糖的小朋友，其左边都是持 2n 块糖的人，否则大家已经一样多了.这样，经过若干次调整后，持2n 块糖果的人就没有了（要特别注意：持糖果最多的人数未必减少，因为持2m 块糖果的人，即使左边小朋友给他（ m -1）块，最后老师再发给他一块，他还能回到 m 块） ………12 分
③ 因为上有“封顶”，而最少的糖果数不断增加，（每次至少增加一块），这样到最后，大家的糖果数就一样多了 15 分