全等三角形(教师).doc

全等三角形
一、 知识要点：
1．命题、定理、逆命题、逆定理：
2．尺规作图：尺规作图的意义及五种基本尺规作图。
3．全等三角形：
1．定义：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
2．性质：
两全等三角形的对应边相等、对应线段相等，对应角相等。
3．判定公理：
(1)判定公理1(简称“边角边”或“SAS”) ：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．
(2)判定公理2(简称“角边角”或“ASA”) ：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．
(3)判定公理3(简称“边边边”或“SSS”) ：有三边对应相等的两个三角形全等．
(4)判定4(推论，简称为“角角边”或“AAS”)：：
有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．
(5)判定5(斜边、直角边公理，简称“斜边、直角边”或“HL”)：
有斜边和—条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
二、题型：
(一)命题、逆命题、定理、互逆定理的考查．
1．命题：“相等的角是对顶角”的题设是＿两个角相等　＿＿，结论是＿＿这两个角是对顶角。
2．“等腰三角形的底角相等”的逆命题是＿＿＿两个角相等的三角形是等腰三角形＿＿＿。
3．“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是＿＿＿＿＿＿。
4．命题“互余的两个角一定是锐角”是＿＿真＿＿命题（填“真”或“假”）。
5．下列说法中正确的有( C )
①在三角形中，相等的边所对的角一定相等；②等腰三角形的底角一定是锐角；③等腰三角形一边上的高、中线和角平分线重合；④等腰三角形的腰必须大于底边长的一半。
A.①②③④ B.②③④ C.①②④ D.②④
思路解析：根据等腰三角形的性质知道①是正确的；根据三角形内角和定理知道②是正确的；根据等腰三角形三线合一性质知道③是错误的，没有指明是底边上的高、中线和顶角平分线；根据“三角形任意两边之和大于第三边”性质可以得到：两腰之和大于底边，即腰长大于底边的一半，④是正确的.
6．（2010 浙江省温州）下列命题中，属于假命题的是(D)
A．三角形三个内角的和等于l80° B．两直线平行，同位角相等
C．矩形的对角线相等 D．相等的角是对顶角．
7．（2010湖南娄底）下列说法中错误的是（ B ）
A. 平行四边形的对角线互相平分；B. 矩形的对角线互相垂直；
C. 菱形的对角线互相垂直平分； D. 等腰梯形的对角线相等。
8．（2010 内蒙古包头）已知下列命题：
①若，则；②若，则；③角的平分线上的点到角的两边的距离相等；④平行四边形的对角线互相平分．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ B ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（二）尺规作图：
1．（2010广东佛山）尺规作图是指(C)
A．用直尺规范作图 B．用刻度尺和尺规作图
C．用没有刻度的直尺和圆规作图 D．直尺和圆规是作图工具
2．（2010重庆綦江县）尺规作图：如图，已知△ABC．
求作△A1B1C1，使A1B1＝AB，∠B1＝∠B，B1C1＝BC．
（作图要求：写已知、求作，不写作法，不证明，保留作图痕迹）
已知： 求作：
O
A
3题图
B

【答案】已知：如图，△ABC．
求作：△A1B1C1，使A1B1＝AB，∠B1＝∠B，B1C1＝BC．
3．(2010年重庆)尺规作图：请在原图上作一个∠AOC，使其是已知∠AOB的倍．（要求：写出已知、求作，保留作图痕迹，在所作图中标上必要的字母，不写作法和结论）
已知： 求作：
【答案】已知：∠AOB. 　　求作：∠AOC=∠AOB.
作图如下：
4.（2010年重庆市潼南县）画一个等腰△ABC，使底边长BC=a，底边上的高为h（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出已知，求作，不写作法和证明）.
已知：
求作：
【答案】已知：线段a、h
求作：一个等腰△ABC使底边BC=a，底边BC上的高为h
画图（保留作图痕迹图略）
5．（2010 重庆江津）如图，有分别过A、B两个加油站的公路、相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P满足到A、B两个加油站的距离相等，而且P到两条公路、的距离也相等。请用尺规作图作出点P（不写作法，保留作图痕迹）．
　【答案】　
（三）等腰三角形、直角三角形、角的平分线、线段的垂直平分线：
1．（2010北京市朝阳区模拟）某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（ C ）
A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm
2．劳动课上，小刚要作一个周长为10 cm的等腰三角形，则其腰长x cm的取值范围是( B )
A.0＜x＜2.5 B.2.5＜x＜5 C.5＜x＜10 D.0＜x＜5
思路解析：三角形中任意两边的和大于第三边，腰长为x cm，则底边长为（10－2x） cm，因此x－x＜10－2x＜2x，解不等式组，得2.5＜x＜5.
3．已知△ABC的周长为36 cm，且AB=AC，AD⊥BC于D，△ABD的周长为30 cm，则AD的长为( C )
A.6 cm B.8 cm C.12 cm D.20 cm
4．如图， BO、CO分别平分△ABC的内角∠ABC、∠ACB，OD∥AB，OE∥AC.若BC＝13 cm，
求△ODE的周长.

4题图 6题图 7题图 10题图
思路分析：用“角平分线＋平行线＝等腰三角形”的方法，把相等的线段集中到一起.
解：∵OB平分∠ABC，∴∠ABO=∠CBO.
∵OD∥AB，∴∠ABO=∠BOD.∴∠CBO=∠BOD.∴OD=BD.同理，OE=EC.
∴△ODE的周长=OD+OE+DE=BD+DE+EC=BC=13（cm）.
5．（2010年广州市中考七模）已知等腰三角形的一个内角是30°，那么这个等腰三角形顶角的度数是（ D ）
A.75° B. 120° C.30° D.30°或120°
6．（2010湖北武汉）如图，△ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC的大小是（ A ）
A.100° B.80° C.70° D.50°
7．（2010广东深圳）如图1，△ABC中，AC=AD=BD，∠DAC=80°。则∠B的度数是（ C ）
A．40° B．35° C．25° D．20°
8．设等腰三角形的一个底角是α，则α的取值范围是( C )
A.0°<α≤45° B.0°＜α≤90° C.0°＜α＜90° D.90°＜α＜180°
思路解析：三角形中任意两个角的和小于180°，即0°＜2α＜180°.
9．（2010 湖南湘潭）△ABC中，若∠A=80o， ∠B=50o，AC=5，则AB= 5 .
10．△ABC中，如图14-3-2，AB=AC，∠A＝36°，BD是角平分线，DE∥BC，则图中等腰三角形共有__________个.( D )
A.2 B.3 C.4 D.5
思路解析：顶角为36°的等腰三角形的底角平分线分底角为两个36°角.有平行线时，用平行线的性质可以把相等的角转换到同一个三角形中（“角平分线+平行线=等腰三角形”）.
11．（2010 山东东营）如图，点C是线段AB上的一个动点，△ACD和△BCE是在AB同侧的两个等边三角形，DM，EN分别是△ACD和△BCE的高，点C在线段AB上沿着从点A向点B的方向移动(不与点A，B重合)，连接DE，得到四边形DMNE．这个四边形的面积变化情况为（ C ）
（A）逐渐增大 (B) 逐渐减小 (C) 始终不变 (D) 先增大后变小
13题图
A
B
C
D

12．直角三角形中，两条直角边长分别是 5 和 12，则斜边上的中线长是（　B　）
A、26 B、6.5 C、8.5 D、13
13．（2010 山东荷泽）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，CD＝5㎝，求AB的长．
【答案】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线
∴∠ABD＝∠CBD＝30°∴AD＝DB
又∵Rt△CBD中，CD＝5㎝ ∴BD＝10㎝
∴BC＝㎝，AB＝2BC＝㎝
14．在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，则∠C＝＿＿90°＿＿。
15．（2010 四川泸州）在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，则该三角形为（ B ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
16．△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2，则△ABC的形状是__等腰（直角）___三角形.
思路解析：已知三角的连续比，可以设比的每份为x，根据三角形的内角和定理列出方程，求出三个角的度数.
17．（2010山东临沂）如图，和都是边长为4的等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，则的长为(D)
（第17题图）

（A）（B）（C）（D）
18．（2010广西南宁）如图2所示，在中，,平分，
交于点,且,则点到的距离是(A)
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
20题图
19．（2010湖北黄石） 如图，等腰三角形ABC中，已知AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为 .
20．如图，△ABC中，AB=AC=17,BC=16,DE垂直平分AB，则△BCD的周长是 。
(四) 全等三角形：
(Ⅰ) 性质的应用：
1.（2009年清远）如图，若，且，则= ．
A
B
C
C1
A1
B1

1题图 22题图
2.（2009年海南省中考卷）已知图2中的两个三角形全等，则∠度数是（ D ）
A.72° B.60° C.58° D.50°
(Ⅱ) 判定:
⑴选择条件型
1．（2009年江苏省）如图，给出下列四组条件：
①； ②；
③； ④．
其中，能使的条件共有（ C ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
C
E
B
F
D
A

1题图 2题图
2.(2010南安)如图，已知点在线段上，，请在下列四个等式中，
①AB＝DE，②∠ACB＝∠F，③∠A＝∠D，④AC＝DF．选出两个作为条件，推出．并予以证明．（写出一种即可）
已知：　 　　 　，　 　　 　．求证：．
解：已知：①④（或②③、或②④）
证明：若选①④
∵ ∴．
在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF．∴．
（选择②③、或②④评分标准类似，证明略）
⑵补充条件型
3.（2010天津）如图，已知，，点A、D、B、F在一条直线上，要使△≌△，还需添加一个条件，这个条件可以是 ． （答案不惟一，也可以是或）
⑶结论选择型
4.（2010凉山州）如图所示，，，，结论：①；②；③；④．其中正确的有（ C）
A．1个　　　B．2个 C．3个 D．4个

4题图 5题图
⑷结论探究型
5.（2009年广西钦州）如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC，AC、BD交于点O，则图中全等三角形共有（ B ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
⑸运动变化型
6.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD－BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE，AD，BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
C
B
A
E
D
图1
N
M
A
B
C
D
E
M
N
图2
A
C
B
E
D
N
M
图3

证明：（1） ① ∵∠ACD=∠ACB=90°，∴∠CAD+∠ACD=90° ，
∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE， ∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB．
②∵△ADC≌△CEB，∴CE=AD，CD=BE，∴DE=CE+CD=AD+BE．
（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE ，又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE，
∴CE=AD，CD=BE，∴DE=CE－CD=AD－BE．
（3）当MN旋转到图3的位置时，AD，DE，BE所满足的等量关系是DE=BE－AD（或AD=BE－DE，BE=AD+DE等）．∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE，又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE，
∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD－CE=BE－AD．
评注：本题以直线MN绕点C旋转过程中与△ABC的不同的位置关系为背景设置的三个小题，第（1）（2）小题为证明题，第（3）小题为探索性问题，考查同学们从具体、特殊的情形出发去探究运动变化过程中的规律的能力，试题的设计层层递进，为发现规律、证明结论设计了可借鉴的过程，通过前面问题解决过程中所提供的思想方法，去解决类似相关问题，考查了同学们的后续学习的能力．

⑹应用型:
7．如图，将两根钢条，的中点O连在一起，使，可以绕着点0自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽AB，那么判定的理由是（　A　）
A． 边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边
解题思路：：新的数学课程标准加强了数学知识的实践与综合应用，从各地的中考应用题可以看出，它已不再局限于传统而古老的列方程（组）解应用题这类题目，而是呈现了建模方式多元化的新特点，几何应用题就是其中之一．本题利用全等三角形来解决实际中的工件的测量问题，其理论依据是“边角边”。
8.（2009年广西钦州）如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（ A ）
第9题图
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB

9．已知：BECF在同一直线上， AB ∥DE，AC∥DF，并且BE=CF。 求证：△ ABC≌ △ DEF
10．(2010 达州 )如图，将一矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，点D落在点E处，折痕为MN，图中有全等三角形吗？若有，请找出并证明.
解：有,△ABN≌△AEM.
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC，∠B=∠C=∠DAB=90°.
∵四边形NCDM翻折得到四边形NAEM，
∴AE=CD，∠E=∠D=90°,∠EAN=∠C=90°
∴AB=AE，∠B=∠E，∠DAB=∠EAN，
即：∠BAN+∠NAM=∠EAM+∠NAM，∴∠BAN=∠EAM.
在△ABN与△AEM中，
∴△ABN≌△AEM.
（Ⅲ）全等的判定与性质的综合应用：
⑴证明线段相等
A
B D E C
1． (2009年四川省内江市)如图，已知AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE.
证：由AB=AC得∠B=∠C
由AD=AE得∠ADE=∠AED∴∠ADB=∠AEC
∴△ABD≌△ACE∴BD=CE
2．(2009年安顺)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF。
（1） 求证：BD=CD；
（2） 如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。

【答案】（1）， 是的中点，．

，
（2）四边形是矩形
，是的中点 ，
，四边形是平行四边形
又 四边形是矩形．
3.（2010年北京市中考模拟）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=，于点D,点E 在AC上，CE=BC,过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F .求证：AB=FC
答案：证明：∵于点，
∴。∴。
又∵于点，∴。∴.
在和中，
∴。 ∴。
4． 已知：AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D，试证明：BD=CD
解析：此题若直接证BD、CD所在的三角形全等，条件不够，所以先证另一对三角形全等得到有用的角、边相等的结论用来证明BD、CD所在的三角形全等。证明如下：
证明：在△ABE和△ACE中
AB=AC，
EB=EC， ∴ △ABE≌△ACE (SSS) ∴∠BAE＝∠CAE
AE=AE
在△ABD和△ACD中
AB=AC
∠BAE= ∠CAE ∴ △ABD≌ △ACD (SAS ) ∴ BD = CD
AD=AD
反思：通过证明几次三角形全等才得到边、角相等的思路也是中考中等难度题型的常考思路。此种题型需要学生先针对条件分析、演绎推理，逐步找出解题的思路，再书写规范过程。
第5题
5.（2010年 河南模拟）已知：如图，已知：D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于，若MA=MC，求证：CD=AN.
证明：如图，因为 AB∥CN
所以 在和中
第5题
≌
是平行四边形

⑵证明角相等
1.(2010德州)如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．
A
D
B
E
F
C
O

(1)求证：AB＝DC；
(2)试判断△OEF的形状，并说明理由．
证明：（１）∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE．
又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，
∴△ABF≌△DCE（AAS）， ∴AB＝DC．
（2）△OEF为等腰三角形 ；理由如下：
∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB=∠DEC．∴OE=OF．∴△OEF为等腰三角形．
2．（2009年泸州）如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．

(1)求证：≌△CAD； (2)求∠BFD的度数．
【答案】

3．（2010四川内江）如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于F，BD分别交CE，AE于点G、H.试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由.
F
G
H

【答案】解：猜测 AE＝BD，AE⊥BD.
理由如下：∵∠ACD＝∠BCE＝90°，∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，即∠ACE＝∠DCB.
∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∴AC＝CD，CE＝CB.
∴△ACE≌△DCB（S.A.S.）∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB,.
∵∠AFC＝∠DFH，∴∠DHF＝∠ACD＝90°，∴AE⊥BD.
4.(2010深圳)如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90º，D在AB上．
（1）求证：△AOB≌△COD；
（2）若AD＝1，BD＝2，求CD的长．
（1）证明：如图，，
又，
（2）由有：，，
，故
5．（2010曲靖）如图，是□ABCD对角线上的两点，且.

求证：（1）；（2）.
证明：（1）四边形是平行四边形，.

，.
O
A
C
D
B
第1题图
.
(2)由得
.， 四边形是平行四边形. .
⑶合理添加辅助线，构造全等三角形解决相关问题
1．如图：AC与BD相交于O，AC＝BD，AB＝CD，求证：∠C＝∠B
2.如图，已知AB⊥BC，DC⊥BC，E在BC上，AE＝AD，AB＝BC。求证：CE＝CD。
评注：寻求全等的条件，在证明两条线段（或两个角）相等时，若它们所在的两个三角形不全等，就必须添加辅助线，构造全等三角形，常见辅助线有：①连结某两个已知点；②过已知点作某已知直线的平行线；③延长某已知线段到某个点，或与已知直线相交；④作一角等于已知角。

3．（2008常德）如图3，已知， ，求证：；
　　分析：证明在不同三角形中的两条线段和两个角相等的常用方法就是证明两个三角形全等，要证明线段GE和GD相等，在辨认三角形全等对应元素时，发现图中没有三角形全等，需要通过合理添加辅助线构造三角形全等．
　　（1）证明：过D作DF∥CE，交BC于F， ∠E=∠GDF，
　　∵AB=AC，DF∥CE，　　∴∠DFB=∠ACB=∠ABC，　　∴DF=DB=EC．
　　又∠DGF=∠EGC，∴△GDF≌△GEC．　∴GE=GD．
　　点评：在证明三角形全等时，可以通过翻折法、旋转法、平移法找到对应元素，或者合理添加辅助线构造全等三角形的对应元素．
4.（2010绍兴）如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH＝90°, EF＝4.求GH的长.
解：如图2,过点A作AM//GH交BC于M，
过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点O/，
第23题图2
O′
N
M
则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，
∴ EF=BN,GH=AM，
∵ ∠FOH＝90°, AM//GH，EF//BN, ∴ ∠NO/A=90°,
故由(1)得, △ABM≌△BCN， ∴ AM=BN，
∴ GH=EF=4．
⑷证明a=b+c型问题：
①利用等量线段代换：证一线段等于另两线段的和（或差），只需证这条全线段的两部分，分别等于较短的两条线段，问题就解决了。
1．已知：如图，在△ABC中，∠B和∠C的角平分线BD、CD相交于一点D，过D点作EF∥BC交AB与点E，交AC与点F。求证：EF=BE+CF
B
C
F
A
E
D

D
C
B
A
E
F
G

1题图 2题图 3题图
2. 如图所示已知△ ABC中，，AC=BC，E是AB上的一点，BD⊥CE，AF⊥CE，垂足分别为D、F，∠B=2∠C，求证：DF+AF=CF.
3．(2009年南充)如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，于E，，交AG于F．求证：．
【答案】证明：是正方形，．
，．．
又，．
，．
在与中，，．
．，．
②截长法或补短法：所谓截短法就是将长线段，截成几条线段，然后分别证明这几条线段等于要证明中的较短的线段，最后代入达到目的。所谓接长法是将较短的两条线段适当的连接起来，然后再证这条线段等于第三条线段，从而达到目的。
1．如图所示,已知△ABC中，，AC=BC，AD是∠BAC的角平分线.求证：AB=AC+CD.

1题图 2题图 ③1题图
2．如图，已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，求证：AB＝AC＋CD。
分析：采用截长补短法，延长AC至 E，使AE＝AB，连结DE；也可在AB上截取AE＝AC，再证明EB＝CD（证明略）。
③面积法：利用三角形的面积进行证明。
1．如图所示已知△ABC中，AB=AC，P是底边上的任意一点，PE⊥AC，PD⊥AB，BF是腰AC上的高，E、D、F为垂足。求证：①PE+PD=BF②当P点在BC的延长线上时，
PE、PD、PF之间满足什么关系式？
- 14 -