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“圆与切线”习题的一题多解
广州市第十三中学 张小霞
一、题目背景：
本题出自九年级数学上册人教版教材第125页第16题，需要利用切线长定理，用勾股定理建立方程进行解题。

二、题目难点：
要在综合图形中添加正确的辅助线，构造出切线长定理的模型。

三、题目关键点：
1、利用切线长定理实现线段和角的转换。
2、利用勾股定理建立等量关系，列出等式。

四、学情分析
学生已经学习圆的相关概念和定理，对于单个切线长模型，学生还是能找到相等的量。但对于较为复杂的图形，学生的读图能力还是不强，容易忽视图中的等量。本题还需要建立关于y和x的等量关系，这也是学生的弱项。

五、教学过程：
如图，⊙O的直径AB=12cm，AM、BN是两条切线， DC切⊙O于E，交AM于D，交BN于C，设AD=x， BC=y,求y与x的函数关系式。

（一） 基本模型：切线长定理

（二） 解题过程
方法一：连接OD，OE，OC，则可以用勾股定理得出OD=，OC=

可以证出△OAD≌△OED, △OBC≌△OEC，所以求出∠DOC=90度，DC=

在Rt△ODC中，利用勾股定理可以求出y和x的等量关系为：。
方法二：过D作DH⊥BC于H，则DH=12，HC=，DC=

在Rt△DHC中，利用勾股定理可以求出y和x的等量关系为：。
方法三：过A作AH∥DC交BC于点H，可证明四边形AHCD为平行四边形，则AB=12，BH=，AH=

在Rt△ABH中，利用勾股定理可以求出y和x的等量关系为：。

（三）总结提升
揭示解题规律：
1 、利用切线长定理实现角和边的转换；
2 、找到等量关系，列出等式
(勾股定理、等腰三角形、根据题中的条件……)

题目涉及的数学思想方法：
1、转化的思想；
2、方程的思想。

（四）变式：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B = 90°， AB =8㎝，AD=24㎝，BC=26㎝，AB为⊙O的直径。动点P从 A点开始沿AD边向点D以1 cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s 的速度运动，P、Q 两点同时 出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 t s ,求：t分别为何值时，直线PQ与⊙O相切？

微课反思:
学生在前面已经学习圆的相关概念和定理，对于单个切线长模型，学生还是
能找到相等的量。但对于较为复杂的图形，学生的读图能力还是不强，容易忽视图中的等量关系。本题还需要建立关于y和x的等量关系，这也是学生的弱项。本课中我把圆与切线综合图形进行不同的分割，找出不同的图形，都转化成利用勾股定理进行运算，最后可以用等式来找出y和x的等量关系，方法多样，简单易懂，收到的效果还是比较良好的。
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