资源描述
问题思考
论文的要求:
论文基本内容和格式大致分三大部分：
一、标题、摘要部分
1．题目：应写出较确切的题目；(不能只写A题、B题等，后面附的9道题目任选其一)
2．姓名、班级、学号、联系方式；
3．摘要(含关键词)200-300字，包括模型的主要特点、建模方法和主要结果；
二、正文
正文要求把求解的思路与过程描述清除,注意排版格式的整齐美观。大致可包括以下部分:
1．问题分析
2．模型假设即补充一些假设条件，使问题简化，但需合理(是此次比赛论文好坏的关键)
3．符号说明
4．模型建立与求解(必要时包括计算方法设计或计算机实现)
5．结果分析与检验(简述)
6．讨论模型的优缺点，改进方向，推广新思想(简述)
7．参考文献
三、附录部分(如果有下列内容的话)
1．计算程序，框图；
2．各种求解演算过程，计算中间结果。
问题1思考：4万亿投资与劳动力就业（宏观问题）
2008以来，世界性的金融危机席卷全球，给我国的经济发展带来很大的困难。沿海地区许多中小企业纷纷裁员，造成大量的人员失业。据有关资料估计，从2008年底，相继有2000万人被裁员，其中有1000万人是民工。部分民工返乡虽然能够从一定程度上缓解就业压力，但2009年的600多万毕业大学生给我国就业市场带来巨大压力。但可喜的是，我国有庞大的外汇储备，民间资本实力雄厚，居民储蓄充足。中国还是发展中国家，许多方面的建设还处于落后水平，建设投资的潜力巨大。为保持我国经济快速发展，特别是解决就业问题带来希望，实行政府投资理所当然。在2009年两代会上，我国正式通过了4万亿的投资计划，目的就是保GDP增长，保就业，促和谐。但是有几个问题一直困扰着我们，请你运用数学建模知识加以解决。问题如下：
1、GDP增长8%，到底能够安排多少人就业？如果要实现充分就业，2009年的GDP到底要增长多少？
2、要实现GDP增长8%，4万亿的投资够不够？如果不够，还需要投资多少？
3、不同的产业(或行业)吸纳的劳动力就业能力不同，因此投资的流向会有所不同。请你决策，要实现劳动力就业最大化，4万亿的投资应该如何分配到不同的产业(或行业)里？
4、请你给出相关的政策与建议。
问题2思考：人民币的汇率问题（宏观问题）
人民币汇率对经济的影响近年来成为人们议论的热点，有不少经济学家在探讨人民币汇率对我国及世界经济发展的影响。一些学者希望提高人民币对一些主要货币的汇率，另一些学者则希望稳定人民币的汇率。试建立数学模型解决下列问题：
1、以英镑汇率或日元汇率为例研究其变化对该国经济的影响；
2、人民币汇率与主要货币(如英镑、日元、欧元等)的汇率关系；
3、人民币汇率变化对我国及世界经济的影响。
问题3思考:（微观问题）
多阶段复合实物期权（即期权的期权）定价的蒙特卡罗模拟研究
Keeley,Punjabi,Turki（1996）指出：适当的创业风险资本的投资决策模型必须反映其所具有的高风险和多阶段特性，摒弃创业投资的着眼点是目标公司未来的成长潜能，其中高风险的产生是由于难以对未来预期现金流量做预期，并且不易得出适当的折现率。而多阶段指的是每阶段投资支出前创业投资公司都会面临继续投资或放弃的抉择。因此本章研究基于创业投资的高风险和多阶段特性，构建一个多阶段复合实物期权的定价模型。
一、模型的假设与变量说明
假设1 创业投资项目带来的潜在价值V的随机过程服从几何布朗运动：
（1）
其中：——投资项目带来的潜在价值
——瞬间增长率的期望值
——瞬间增长率的波动率
——时间增量
——标准维纳过程增量
式中为满足维纳过程的一个与时间有关的变量，的变化表示瞬间变化量，可以表示为，其中为一个标准正态分布的变量，服从标准正态分布，即所以
再进一步考虑在较长时间段（0，T）的变化量，将区间长度分为N小段，即T=Ndt，利用上述的性质可得
此外，假设，即的变化过程由原点开始可得
由，（1）式可写成
（2）
即创业企业价值由两部分构成，确定的（预期增长率）及不确定的，它受随机变量的影响。几何布朗运动描述下的企业未来价值是不确定的，并服从对数正态分布。
假设2 创业投资公司价值的运动路径是一个跳跃扩散过程。
在真实世界中，无论是上市公司的股价或者是任何企业的价值，其运动的路径可能并非是一个连续而平滑的变动过程。因为企业的演进并不单单决定于产品成熟实现商业化生产销售后所带来的现金流量，而且受到发展过程中竞争对手带来的威胁、突发突变事件所带来的损害以及关键技术突破带来的巨大收益，甚至除了最初预想产品外的衍生增加产品市场获利机会的影响。因此，当考虑到研发完成后，创业企业由新产品所带来的潜在价值具有偶发性跳跃的可能时，我们进一步加入Cox和Ross（1976）提出的替代随机过程来刻画创业风险资本投资项目所带来的潜在价值V的随机过程。
在一个简单的跳跃过程中，我们得到以下方程：
（3）
其中，——跳跃发生的规模幅度
——单位时间内跳跃发生的概率
——是一个随机变量，在[-1,1]区间服从均匀分布
符号函数： （4）
当我们使用跳跃过程描绘创业企业技术创新的本质后，投资项目所带来的潜在价值V的随机过程，则成为一个建立在几何布朗运动上的跳跃-扩散过程，定义如下：
（5）
因此，我们允许资本投资潜在价值以连续的微小随机运动（扩散过程）为主，同时间杂有频率及程度不同的未预期跳动（泊松过程）。此外，我们假设维纳过程与泊松过程相互独立。
二、创业投资成本的不确定性
根据创业企业在创建阶段的特征和技术创新的本质，创业投资项目所必须耗用的成本不易估计，因为成本投入经常随着研究发展的突破或瓶颈停滞而有着许多不同的情况。创业企业的成本不确定模型如下：
（6）
——实际成本
——预期成本
I——投资率
Z(t)——维纳过程
由于Pindyck（1993）所探讨的是成本不确定下的投资项目的机会价值，其模型设定K为投资项目完成所需要的预期成本，所以dK为一个递减的概念。而在多阶段复合期权定价模型中，对于投资项目的成本，除了修改Pindyck（1993）的控制扩散模型成为一个完成投资项目预期总成本的随机过程外还要考虑到实际创业企业的发展过程与实物期权中对于复合实物期权的执行价格及标的期权执行价格的不同含义，涉及区分研发阶段的资本投入和经营阶段的资本投入，表示如下：
（7）
其中，——创业企业研发阶段的资本投资
I——研发阶段资本投资率
——技术不确定因子
——创业企业经营阶段预期资本投资现值
m——经营阶段资本投资增加率
——经营成本不确定因子
创业企业在研发阶段的资本投资为早期必要的新技术开发的费用、试验费用、人力资本支出和前期资本设备支出等。创业企业扩张阶段前的资本投入，其来源有种子阶段的自由储蓄或家庭、朋友的资助以及创业资本家资本的注入。由于研发项目具有相当的不确定性，以至于研发成本的投入亦伴随着研究发展的突破创新或瓶颈停滞等许多状况而起伏变化。因此，可以运用Pindyck（1993）成本不确定模型中的技术不确定因子来刻画其变化，并将投资项目完成所需要的预期成本K，调整为随着时间推移投入的费用，使其确定项I为单位时间内研发阶段资本投入总额。
此外，当创业企业完成关键技术开发并掌握大规模生产技术时，企业将致力于扩大产量、增加市场占有率以及分享投资项目带来的获利，则进入经营阶段的资本支出，包括大规模生产设备、新建厂房、原材料成本支出和营销推广费用等将陆续产生。由于这一阶段成本支出与经济环境有关，可以运用Pindyck（1993）成本不确定模型中的成本不确定因子来刻画其未来的变化。对于和，假设它们为相互独立的维纳过程增量且所有与dz有关的风险都已经被分散，即dz与经济形势和股票市场无关。
三、创业投资决策优化模型的构建
1风险中性定价
风险中性定价即在市场不存在任何套利可能性的条件下，如果衍生证券的价格依然依赖于可交易的标的证券，那么这个衍生证券的价格是与投资者的风险态度无关的。这个思想在数学上表现为衍生证券定价的微分方程中并不包含受投资者风险态度影响的变量，尤其是期望收益率。
风险中性定价原理是Cox和Ross（1976）在推导期权定价公式时建立的。由于这种定价原理与投资者的风险态度无关，从而推广到任何衍生证券都适用，所以在以后的衍生证券的定价推导中，都接受了这样的前提条件，就是所有投资者都是风险中性的。或者是在一个风险中性的经济环境中决定价格，并且这个价格的决定，又是适用于任何一种风险态度的投资者。
在风险中性定价下，衍生产品价格等于到期日的期望值损益的折现值，在标的资产价格分配经过鞅变换后，不同投资的不同风险偏好被转换为风险中性的环境，因此无风险利率可作为定价折现因子。即在风险中性定价中，投资者对于风险无特定偏好，并不要求风险贴水来补偿投资风险，而仅要求无风险报酬作为其任何资产的平均投资报酬率，故在此环境下，我们可以简化期权的定价过程，利用无风险利率作为贴现因子，
假设为第i种期权到期日标的资产的价格，为的随机密度函数，共有N种可能的价格，则未来到期时期权价值的预期现金流量可以表示为：
（8）
那么根据风险中性的定义，期权价值为未来预期现金流量的折现值：
（9）
其中，r为无风险利率，若改为连续状态，则可以再写成如下积分形式：
（10）
根据Baxter和Rennie（1996）在风险中性定价中，欧式看涨期权的定价公式如下：
（11）
其中，——标的资产到期价格
——期权执行价格
——风险中性的期望值运算因子
——鞅测度
2多阶段复合实物期权创新及应用
创业投资基金公司投资于创业企业的第四期融资，即公开上市前的投资，可以视为一个简单的期权。假设第五阶段创业投资基金公司在创业企业上市时卖出创业企业第四阶段融资时基金公司持有的股份，则实现的这部分价值就是这些股份的市场价值，这个简单期权可以表示为。当企业的价值超过初次公开上市的市值时，则创业投资基金公司执行这个期权，此时这个期权的价值可以表示为，其中第一个下标表示期权到期日，第二个下标表示期权作定价的时点。
创业投资基金公司在企业公开上市的前一个阶段会依据的价值去判断是否应当继续给予创业企业的融资。当，表示创业企业未来上市的期权价值会高于现在的资金投入，因此创业投资基金公司会继续进行融资，而当时，则放弃投资。这个期权形式可以表示为。该标的期权的期末价值以无风险利率折现到扩张阶段起始点可以表示为
（12）
然而创业企业在进入经营阶段之前，创业基金公司必要的投资不止一次，即实际上的投资支出为序列性投资，由此产生在某一投资阶段可违约期权。这样在每个投资阶段将有一个期权，其标的价值为后续阶段投资所产生的价值，从而形成一个复合期权。创业企业在第三阶段期末将会根据该期权的价值与预期的融资额度相比，决定是否应融资。该阶段期权的数学形式为。当时，表示创业企业未来实现潜在价值的期权价值大于预计的资本投入，所以创业投资基金公司执行这个投资项目。但当时，则因为实现潜在利益效果不好而会放弃这个项目，因此这个复合实物期权的价值可以表示为
（13）
根据以上两个阶段，我们已经形成了一对标的复合买入期权，前一个期权是后一个标的期权为标的资产的复合期权。在到期日时如果选择履约，则有权利再买进另一标的资产为标的的期权。
再往前推演，创建阶段创业企业的经营决策将会根据的价值与预期融资额度比较，来决定投资项目是否继续进行，而此阶段的复合期权价值可以表示为
（14）
依次类推，种子阶段亦根据这一原则进行决策。因此我们可以对创业企业的发展建立一个多阶段复合实物期权，其数学表达式如下：
（15）
（16）
（17）
（18）
其中为阶段投资总额，包括经营投资和研发投资两部分。
3创业投资决策模型的求解
衍生产品的定价方法求解可分为两种方式，一种是解析法：假设有一投资组合，调整适当的避险比例，使得投资组合在短时间内达到无风险状态，以构建出适当的无风险投资组合，并找出描述该投资组合价值变化的随机微分方程，另外再加上到期时衍生产品收益的边界条件，这种定价方式为在无套利机会的情况下，解出衍生产品定价公式，Black-Scholes期权定价公式就是以这种方式导出。另一种是数值分析法：数值分析法基本上并不需要推导公式解，而是借助于计算机或重复试验而得到逼近理论价值的方法，这种方法多用于美式期权和复合期权的定价。所以这里我们利用蒙特卡罗模拟法来进行标的资产价值的定价。
蒙特卡罗模拟法首先假设资产的价值复合某一路径程序，在依据所设定的路径程序，大量模拟未来各种可能发生的情况。如对创业投资项目潜在价值的随机行程模式是假设当研发项目完成，创业企业由新产品所带来的潜在价值V服从几何布朗运动，在几何布朗运动模型中，可以由投资项目价值的期望成长率及波动率来模拟出未来任何时点的标的资产价值。即：原始标的资产价值为，且每时间投资项目期望成长率为、波动率为，则未来T期后的标的资产价值预估值可表示如下：
（19）
其中。
Boyle（1977）首先将蒙特卡罗模拟法运用到以定期支付股利的股票为标的资产的欧式期权定价上。运用蒙特卡罗模拟法求解期权定价是基于风险中性假设，即衍生产品价格等于到期日的期望值收益的无风险利率折现值。所以，当我们知道标的资产价值及其概率分布后，即可用计算机模拟出N次可能价值的路径，然后转换成可能的期权价值，再将N次的期权价值取平均数，在大数定律下，即得到到期日的期望值，最后再以无风险利率折现。
下面就多阶段复合实物期权模型，运用蒙特卡罗模拟法的步骤进行说明。
第一步：估计创业风险资本投资带来的潜在价值V、创业投资项目研发阶段资本投入与经营阶段资本投入、扩散过程中各单位期望成长率及标准差，利用几何布朗运动模型可估计出t+1期的标的资产价值：
（20）
（21）
（22）
第二步：抽取随机数，根据几何布朗运动模型，预估t+n的标的资产价值，表示如下：
（23）
（24）
（24）
其中=正态分布；=正态分布；
为和这两个维纳过程增量的相关系数。
经过第二步的循环工作，我们可以模拟出标的资产价值V、、的变动路径及到期日的价值。
第三步：重复第二步N次，我们可以模拟出N条标的资产价值模拟路径，如下所示的矩阵所示。在未来n期（t+1~T）每一时点的标的资产价值模拟值可以产生N个估计值，在每一时点上都可以形成一个价值分配。该矩阵为一个价值矩阵，形式如下：
第四步：根据期权价值的定义，把V与模拟产生的N个值代入到中，转化成N个期权价值，可以求出标的期权的期末价值。当取期望值并用无风险利率折现，即为的价值。
第五步：在时点上，创业投资基金公司决策原则为标的期权价值必须大于执行价格，若小于，则复合期权的买方不会履约，复合期权的价值为0。因此在时点的收益可以表示为：
收益= （25）
第六步：经过前五步的运算之后，把符合条件的代入到（16）式中，并依阶段顺序反向推演，求出多阶段复合实物期权的价值。
四、创业投资的复合期权定价应用研究
某民营高科技公司A成立于2007年10月，专门从事管理软件领域的软件产品开发与销售。2009年用于新产品的技术开发的前期投入为1700万元，这部分资金用于产品研发、市场营销和实施工程项目的资金周转。该公司管理者有较高的专业背景、创新意识强，公司拥有较强的管理团队，管理规范，管理风险较小。公司现有三个产品系列均具有较为广阔的市场空间和极高的增长性，有信心和能力在2010年以后取得不低于30%的收益增长和更高的规模增长。并争取在三到五年内通过创业板上市，还打算与国内外著名的软件企业联盟，如金蝶等。
下面运用实物期权法对管理软件企业A公司进行定价。我们根据这类企业在各个发展阶段不同的经营策略、投资策略及所面临的不同外部环境，得知创业资本进入这类企业一般都是在创建阶段或成长阶段。企业在这两个阶段的不确定性有两个方面：技术不确定性和成本不确定性。技术不确定性源于项目执行时潜在可能的技术困难或突破，直接影响到所需成本，这种不确定性的风险一般可视为与经济状况无关，是可分散的风险。至于成本不确定性是受外部因素的影响，如工资成本、土地、原材料价格上升，或无法预测的政府法令的改变。创业企业的不确定性可由前面介绍的公式（7）描述。
创业企业价值运动服从建立在几何布朗运动上的跳跃扩散过程，具体分析见前面的假设1和假设2.
对于该企业的发展状况，我们以创建阶段的复合期权对这个企业进行定价。根据前面的分析，创建阶段复合实物期权的价值为，计算公式如下：
（26）
（27）
（28）
然后，利用蒙特卡罗模拟方法，对该企业进行定价。以2010年1月1日为企业创建阶段的起点，此时，A公司向创业投资基金公司提出融资计划。模型中的各个参数如下表所示，这些数据有些可以从公司年度会计报表中直接观测，有些则可以由年报和企业的经营规划估计，其中，无风险利率为五年期国债利率。
表 各参数数据表
参数名称
符号
数值
项目潜在价值
30000000
发展阶段资本投资率
0
项目价值波动率
0.25
技术不确定因子
0.2
成本不确定因子
0.2
跳跃发生的概率
0.18%
无风险利率
7.86%
平均跳跃规相关系数模
0.1
相关系数
0.8
经营阶段投资增加率
M
0
在种子期，A公司已经投入了1700万元进行产品的研发，并研发出了三类具有广泛应用前景的管理软件产品。A公司在2010年1月1日处于创业风险资本的导入阶段。它向创业投资基金公司提出的融资计划，计划书中要求的投资额度及对应的投入时间表如下表所示。
表 资金投入时间表
阶段
研发与经营投入符号
数值
成熟期：2年
研发投入资本
0
经营投入资本
10000000
成长期：2年
研发投入资本
2000000
经营投入资本
4000000
导入期：1年
研发投入资本
3000000
经营投入资本
0
种子期：0年
研发投入资本
0
经营投入资本
0
根据上两表的数据，采用蒙特卡罗模拟，模拟次数10000，并把时间间隔设为1个月，投资期限设为5年，可得如下数据：
；；
根据前面的分析，是否应该对这个项目进行投资？
（注：实际上创业基金投资公司对A公司评估后，该公司的赢利为800万元左右）
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