资源描述
2020 年超常（数学）思维与创新能力测评
（初二初赛）
姓名： 考试时间：90 分钟 满分：120 分
考试说明
(2) 本试卷包括 25 道不定项选择题（可能有几个选项正确），其中第 1〜10 题各 4 分，第 11—20 题各 5 分，第 21〜25 题各 6 分。
(3) 每道题的分值按正确选项的个数平均分配，但是如有错选，则该题不得分。
A. 左侧有一大方块，内有九个小方格，左上角的画面为原始画面，有问号的小方格为欲知画面的方格.
原始画面必须向右或向下做连续反射，且每隔一线反射一次，直到求出在问号位置的画面为止. 在右边五个答案中，有一个画面即为在问号位置的画面. 请你将这个画面找出，然后选出正确的答案.（ ）
8 / 8
𝑚
B. 循环小数 0. 328 181 818 181⋯可以被等同表示为
𝑛
则𝑚 + 𝑛的值为（ ）.
，𝑚与𝑛为互素正整数，
A.1100 B.1461 C.1561 D.1614 E.1641
C. 左侧有一组排列好的方格，经过空间平面的顺时针或逆时针方向旋转之后，成为五个答案中的一组，请将这一组方格找出. （ ）
D. 如图所示，由点 O 引出的 6 条射线形成的角满足∠𝐴𝑂𝐵 = ∠𝐵𝑂𝐶 = ∠𝐶𝑂𝐷 =
∠𝐷𝑂𝐸 = ∠𝐸𝑂𝐹 = 18°. 直线𝑙分别交这 6 条射线依次于点𝑀，𝐺，𝐻，𝐾，𝐿，𝑁. 则图中锐角的个数可能有（ ）个.
A.22 B.23 C.24 D.25 E.26
3 1
E. 某考生家长擅长投资，他的投资在 1 月份增值
，2 月份贬值 ，3 月份增值
4 4
1 1 1 𝑚
，4 月份贬值 ，5 月份增值 ，6 月份又贬值
，（𝑚和𝑛为互素正整数）. 若他的
3 5 7 𝑛
资产价值在 6 月末和 1 月初相同，则𝑚 + 𝑛的值为（ ）.
A.8 B.9 C.10 D.11 E.12
F. 设直线𝑛𝑥 + (𝑛 + 1)𝑦 = √2（𝑛为自然数）与两坐标轴围成的三角形面积为
𝑆𝑛(𝑛 = 1，2， ⋯ ，2020)，则𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 + ⋯ + 𝑆2020的值为（ ）.
2021
A.
2020
2020
B.
2021
2019
C.
2020
2020
D.
2019
2019
E.
2023
G. 疫情期间一个学生收到一份作业共 20 道题，每做对一题可得 8 分，每错一
题扣 5 分，没有动手做的题则得 0 分，结果这个学生共得 13 分. 则他共做了（ ）道题.
A.6 B.7 C.13 D.15 E.19
H. 有麦田 5 块 A，B，C，D，E，它们的产量（单位：t）、交通状况和每相邻两块麦田的距离如下图所示，要建一座永久性打麦场，这 5 块麦田生产的麦子都在此打麦场. 则建在（ ）块麦田上（不允许建在麦田以外的其他地方）才能使总运输量最小. 图中圆圈内的数字为产量，直线段上的字母𝑎，𝑏，𝑑表示距离，且𝑏 < 𝑎 < 𝑑.
A.A B.B C.C D.D E.E
I. 在平面上给出七点 A，B，C，D，E，F，G，联结这些点形成七个角. 在图（a）中，这七点固定，且令 ∠𝐶 + ∠𝐷 + ∠𝐸 + ∠𝐹 + ∠𝐺 = 𝛼，在图（b），（c）中，A， B，C，G 四点固定，D，E，F 变动，此时，令∠𝐶 + ∠𝐷 + ∠𝐸 + ∠𝐹 + ∠𝐺 = 𝛽，则下述结论中正确的是（ ）.
I.1 𝛼 ≥ 𝛽 B.𝛼 = 𝛽 C.𝛼 < 𝛽
D.𝛼比𝛽有时大有时小 E.无法确定
J. 某校初二有甲、乙、丙三个班. 甲班比乙班多 4 名女同学，乙班比丙班多 1名女同学. 如果把甲班的第一组女生都调到乙班，乙班的第一组女生都调到丙班，丙班的第一组女生都调到甲班，则三个班的女同学人数恰好相等. 已知丙班第一组中共有 2 名女同学，则甲班第一组有（ ）名女同学.
A.4 B.5 C.6 D.7 E.8
1
K. A 的体积是 B、C 两体积之和的
，而 B 是 A、C 体积之和的
1
. 则 C 的体积
𝑚 𝑛
是 A、B 两体积之和的（ ）.
𝑚𝑛
A.
𝑚+𝑛
𝑚+𝑛+2
B.
𝑚𝑛−1
𝑚𝑛−1
C.
𝑚+𝑛+2
𝑚+𝑛+1
D.
𝑚+𝑛+2
𝑚+𝑛
E.
𝑚𝑛
L. 所有不超过 100 的恰好有三个正整数因子的正整数的乘积是（ ）. A.1002 B.2002 C.4002 D.2102 E.4302
M. 河水是流动的，在点 Q 处流入静止的湖中，一游泳者在河中顺流从 P 到 Q，然后穿过湖到 R，共用 3 小时. 若他由 R 到 Q 再到 P，共需 6 小时. 如果湖水也是流动的，速度等于河水速度，那么，从 P 到 Q 再到 R 需 2.5 小时. 在这样的条件下，从 R 到 Q 再到 P 需（ ）小时.
A.6 B.7 C.7.5 D.8 E.10.5
N. 一个六边形的六个内角都是120°，连续四边的长度依次是 1，3，3，2，则该六边形的周长为（ ）.
A.11 B.13 C.15 D.16 E.17
O. 黑白方块排列，要从逆时针“↺”或顺时针“↻”旋转后的形状、数量、方位等找出其正确的排列情形. 以下选项符合上述规律的是（ ）.
P. 2021 年新年快到了，两位数学家所寄的贺年片很独特，是一个加法式，给出的条件是𝐸2 = 𝐻，同时每一个不同的字母代表一个不同的数字，则下面加法问题的𝐶𝐻𝐸𝐸𝑅 =（ ）.
A.94223 B.96332 C.78443 D.84225 E.64225
1 1 1
Q. 满足式 + +
𝑝 𝑞 𝑟
为（ ）.
1
= 的正整数𝑝，𝑞，𝑟(𝑝 ≥ 𝑞 ≥ 𝑟) 的数组(𝑝，𝑞，𝑟)的个数
2
A.6 B.7 C.8 D.9 E.10
R. 如图所示，6 个边长为 2 的正八边形以 2 乘 3 的排列方式内接于一个正方形. 正方形面积可以表示为𝑚 + 𝑛√2，𝑚和𝑛为正整数. 则𝑚 + 𝑛的值为（ ）.
A.80 B.114 C.194 D.204 E.224
S. 在双 11 活动中，某平台中的某商品拟做两次调价，设𝑝 > 𝑞 > 0，有下列六种方案供选择：
S.1 先涨价𝑝%，再降价𝑞%；
S.2 先涨价𝑞%，再降价𝑝%；
𝑝+𝑞
S.3 先涨价
2
𝑝+𝑞
% ，再降价 % ；
2
S.4 先涨价√𝑝𝑞%，再降价√𝑝𝑞% ；
𝑝+𝑞
S.5 先涨价
2
%，再降价√𝑝𝑞% ；
𝑝+𝑞
S.6 先涨价√𝑝𝑞%，再降价 %.
2
若规定两次调价后该商品的价格最高的方案称为好方案，则其中方案（ ）是好方案.
A.A B.C C.D D.E E.F
T. 如图所示，已知 E，F 分别是□ABCD 的边 AB，BC 的中点，P 是 DF，CE 的交点，则𝑆△𝐹𝑃𝐶: 𝑆□𝐴𝐵𝐶𝐷 =（ ）.
A. ：8 B.3 ：8 C.1 ：20 D.3 ：22 E. 5 ：23
U. 左侧有几个立体图形，这些立体图形结合成五个答案中的一组图形，请从这五个答案中找出这些立体图形所结合的一组来. （ ）
V. 用一架天平从十二个给定币值的硬币中排选岀混在其中的一个伪币，为此最少需要称（ ）次. 假定十一个标准币的质量全部相等，而那个伪币比标准币不是轻些就是重些.
B. B.3 C.4 D.5 E.6
W. 在一月份，小李和小杨已被罚款 20 次，每人各收到了 20 张罚单（每一张不超过 5 元，他们收到的至少是 2 元）. 小李收到的 5 元、4 元、3 元、2 元罚款单的张数分别和小杨收到的 4 元、3 元、2 元、5 元的一样多. 假定他们的罚款总数相同，则小李收到了（ ）张 2 元罚单.
C. B.4 C.5 D.6 E.7
X. 我们对大的数能设计一种简写记号，对𝑛个连贯出现的𝑑记作𝑑𝑛，其中𝑛是正整数，𝑑是一个固定的数字(0 ≤ 𝑑 ≤ 9). 例如，14958236表示数
11 119 999 988 333 333
如果
2𝑥3𝑦5𝑧 + 3𝑧5𝑥2𝑦 = 5372835173
则有序三元组(𝑥，𝑦，𝑧)为（ ）.
A.(4，5，3) B.(3，6，3) C.(3，5，4)
D.(5，3，4) E.(5，4，3)
Y. 在纸上把 1，2，…，20 写成一行. 甲、乙二人轮流把符号“+”或“−”放到其中一个数之前（不得重复填写）. 甲力求在放完 20 个符号后使所得和的绝对值尽可能小，则乙能使得到的和的绝对值达到的最大值为（ ）.
• B.19 C.20 D.30 E.35
2020 年超常（数学）思维与创新能力测评
（初二初赛 答案）
姓名： 考试时间：90 分钟 满分：120 分
考试说明
A 本试卷包括 25 道不定项选择题（可能有几个选项正确），其中第 1〜10 题各 4 分，第 11—20 题各 5 分，第 21〜25 题各 6 分。
B 每道题的分值按正确选项的个数平均分配，但是如有错选，则该题不得分。
A 左侧有一大方块，内有九个小方格，左上角的画面为原始画面，有问号的小方格为欲知画面的方格.
原始画面必须向右或向下做连续反射，且每隔一线反射一次，直到求出在问号位置的画面为止. 在右边五个答案中，有一个画面即为在问号位置的画面. 请你将这个画面找出，然后选出正确的答案.（ ）
解 如解图，把分隔线想成镜子，可知 C 项为问号处的图形，故选 C.
1 / 22
𝑚
B 循环小数 0. 328 181 818 181⋯可以被等同表示为
𝑛
则𝑚 + 𝑛的值为（ ）.
，𝑚与𝑛为互素正整数，
2 / 22
A.1100 B.1461 C.1561 D.1614 E.1641
解
99
81
32
0.328181818181 ⋯ = 0.32 + 0.008181818181 ⋯ =
0.818181 ⋯ 8
+ = +
8 9
= +
25 1100
44 × 8 + 9
= =
1100
361
1100
100
100
25 100
得到答案 1100 + 361 = 1461. 故选 B.
解 左侧的这组方格经过顺时针或逆时针方向旋转之后，与 B 项相同，与其他
C 有一组排列好的方格，经过空间平面的顺时针或逆时针方向旋转之后，成为五个答案中的一组，请将这一组方格找出. （ ）
四项均不同，即正确答案为 B.
D 如右图所示，由点 O 引出的 6 条射线形成的角满足∠𝐴𝑂𝐵 = ∠𝐵𝑂𝐶 = ∠𝐶𝑂𝐷 =
∠𝐷𝑂𝐸 = ∠𝐸𝑂𝐹 = 18°. 直线𝑙分别交这 6 条射线依次于点𝑀，𝐺，𝐻，𝐾，𝐿，𝑁. 则图中锐角的个数可能有（ ）个.
A.22 B.23 C.24 D.25 E.26
解 易知∠𝐴𝑂𝐹 = 18° × 5 = 90°，所以，顶点为 O 的锐角有
6×5
2
− 1 = 14(个).
3 / 22
因为垂直于同一条直线的两条直线平行，所以直线𝑙最多只能与 OB，OC，OD，OE 中的某一条垂直，因此，在 M，G，H，K，L，N 各点，各个点处有互为对顶角的 2 个锐角，至少共计 10 个锐角，因此图中至少有14 + 10 = 24个锐角. 最多 26 个，锐角的个数只可能是偶数. 所以选 CE.
3 1
E 某考生家长擅长投资，他的投资在 1 月份增值
，2 月份贬值 ，3 月份增值
4 4
1 1 1 𝑚
，4 月份贬值 ，5 月份增值 ，6 月份又贬值
，（𝑚和𝑛为互素正整数）. 若他的
3 5 7 𝑛
资产价值在 6 月末和 1 月初相同，则𝑚 + 𝑛的值为（ ）.
A.8 B.9 C.10 D.11 E.12
解 他的最后总资产
1 = (1 +
3
) (1 −
4
1
) (1 +
4
1
) (1 −
3
1
) (1 +
5
1 𝑚
) (1 − )
7 𝑛
7 3 4 4
= × × ×
4 4 3 5
8 𝑛 − 𝑚
× ×
7 𝑛
8 𝑛 − 𝑚
= ×
5 𝑛
因此，5𝑛 = 8𝑛 − 8𝑚，8𝑚 = 3𝑛，解得𝑚 = 3，𝑛 = 8，进而得到𝑚 + 𝑛 = 11.
故选 D.
F 设直线𝑛𝑥 + (𝑛 + 1)𝑦 = √2（𝑛为自然数）与两坐标轴围成的三角形面积为
𝑆𝑛(𝑛 = 1，2， ⋯ ，2020)，则𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 + ⋯ + 𝑆2020的值为（ ）.
2021
A.
2020
2020
B.
2021
2019
C.
2020
2020
D.
2019
2019
E.
2023
解 由题意可得 𝑆
1 √2 √2
= × ×
𝑛 2 𝑛
𝑛+1
1 √ √2 1
当𝑛 = 1时，𝑆 = × 2 × =
1 2 2 2
当𝑛 = 2时，
1 √2 × √2 = 1
𝑆2 = 2 × 2
3 2×3
当𝑛 = 3时，
1 √2 × √2 = 1
𝑆3 = 2 × 3
4 3×4
⋯ ⋯
当𝑛 = 2020时
1 √2 √2 1
𝑆2020 = 2 × 2020 × 2021 = 2020 × 2021
所以
1 1 1
𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 + ⋯ + 𝑆2020 = 2 + 2 × 3 + ⋯ + 2020 × 2021
4 / 22
1 1 1
= + −
2 2 3
1 1
+ − + ⋯ +
3 4
1
2020
1
−
2021
故选 B.
= 1 −
1
2021
2020
=
2021
G 疫情期间一个学生收到一份作业共 20 道题，每做对一题可得 8 分，每错一
题扣 5 分，没有动手做的题则得 0 分，结果这个学生共得 13 分. 则他共做了（ ）道题.
A.6 B.7 C.13 D.15 E.19
解 这个学生共做了 13 道题.
设𝑥为解对的题的个数，𝑦为解错的题的个数，则有 8𝑥 − 5𝑦 = 13
将方程变形为 8(𝑥 + 𝑦) = 13(1 + 𝑦)
从这里看出，𝑥 + 𝑦能被 13 整除，依题设𝑥 + 𝑦不大于 20，故𝑥 + 𝑦 = 13(此时𝑥 = 6，
𝑦 = 7).
可以用下面的方法解方程 8𝑥 − 5𝑦 = 13
由视察法易得方程的一组解𝑥0 = 1，𝑦0 = −1，对于任意的整数𝑡，数对
{𝑥 = 1 + 5𝑡
𝑦 = −1 + 8𝑡
适合方程，实际上
8𝑥 − 5𝑦 = 8(1 + 5𝑡) − 5(−1 + 8𝑡) = 8 + 5 + 40𝑡 − 40𝑡 = 13
此时 𝑥 + 𝑦 = 13𝑡，因𝑥 + 𝑦 ≤ 20，𝑡为整数，故
𝑡 = 1，𝑥 + 𝑦 = 13
所以 𝑥 = 6，𝑦 = 7
故选 C.
对形如𝑎𝑥 − 𝑏𝑦 = 𝑐(𝑎，𝑏互素)的任意线性方程，其整数解的一般形式可按如下模式写出：
先找出方程的任意一组整数解𝑥0，𝑦0，则𝑥 = 𝑥0 + 𝑏𝑡，𝑦 = 𝑦0 + 𝑎𝑡(𝑡 ∈ 𝑍)即为方程的全部整数解.
H 有麦田 5 块 A，B，C，D，E，它们的产量（单位：t）、交通状况和每相邻两块麦田的距离如下图所示，要建一座永久性打麦场，这 5 块麦田生产的麦子都在此打麦场. 则建在（ ）块麦田上（不允许建在麦田以外的其他地方）才能使总运输量最小. 图中圆圈内的数字为产量，直线段上的字母𝑎，𝑏，𝑑表示距离，且𝑏 < 𝑎 < 𝑑.
A.A B.B C.C D.D E.E
解 设在𝑥处的最少运输量为𝑆(𝑥)，根据三角形边的长度关系，有𝑎 + 𝑏 > 𝑑，于
是
𝑆(𝐴) = 3𝑎 + 5(𝑎 + 𝑏) + 4(𝑎 + 𝑑) + 6𝑎 = 18𝑎 + 5𝑏 + 4𝑑
𝑆(𝐵) = 10𝑎 + 8𝑏 + 4𝑑
𝑆(𝐶) = 18𝑎 + 13𝑑
𝑆(𝐷) = 14𝑎 + 13𝑏
𝑆(𝐸) = 26𝑎 + 6𝑏
经比较，知 min{𝑆(𝐴)，𝑆(𝐵)，𝑆(𝐶)，𝑆(𝐷)，𝑆(𝐸)} = 𝑆(𝐵)故 B 处为最佳选择. 故选 B.
I 在平面上给出七点 A，B，C，D，E，F，G，联结这些点形成七个角. 在图（a）
13 / 22
中，这七点固定，且令∠𝐶 + ∠𝐷 + ∠𝐸 + ∠𝐹 + ∠𝐺 = 𝛼，在图（b），（c）中，A， B，C，G 四点固定，D，E，F 变动，此时，令∠𝐶 + ∠𝐷 + ∠𝐸 + ∠𝐹 + ∠𝐺 = 𝛽，则下述结论中正确的是（ ）.
1. 𝛼 ≥ 𝛽 B.𝛼 = 𝛽 C.𝛼 < 𝛽
D.𝛼比𝛽有时大，有时小 E.无法确定
解 对于题图(a)，设 CD 与 FG 交于点 M，BC 与 FG 交于点 N，如解图(a). 由
∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐵𝑁𝐺 + ∠G = 360°
∠𝐷 + ∠𝐸 + ∠𝐹 + ∠𝐷𝑀𝐹 = 360°
及
∠𝐵𝑁𝐺 + ∠𝐷𝑀𝐹 = 180° − ∠𝑀𝑁𝐶 + 180° − ∠𝑁𝑀𝐶 = 360° − (180° − ∠𝐶)
= 180° + ∠𝐶.
从而
∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐺 + ∠𝐵𝑁𝐺 + ∠𝐷 + ∠𝐸 + ∠𝐹 + ∠𝐷𝑀𝐹
= ∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐷 + ∠𝐸 + ∠𝐹 + ∠𝐺 + 180° + ∠𝐶 = 720°
从而
𝛼 = 720° − 180° − ∠𝐴 − ∠𝐵 = 540° − ∠𝐴 − ∠𝐵
对于题图(b)，设 CD 与 FG 交于点 M，BC 与 FG 交于点 N，如解图(b)，同题图
(a)中的讨论
𝛽 = 540° − ∠𝐴 − ∠𝐵
对于题图(c)，设 AG 与 DE 交于点 L，分别在五边形 ABCDL 和∆𝐸𝐹𝐺中，有
∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 + ∠𝐷 + ∠𝐴𝐿𝐷 = (5 − 2) × 180° = 540°
∠𝐹 + ∠𝐸 + ∠𝐿𝐸𝐺 + ∠𝐺 + ∠𝐿𝐺𝐸 = 180°
及
∠𝐿𝐸𝐺 + ∠𝐿𝐺𝐸 = 180° − ∠𝐴𝐿𝐷
从而
∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 + ∠𝐷 + ∠𝐴𝐿𝐷 + ∠𝐹 + ∠𝐸 + ∠𝐿𝐸𝐺 + ∠𝐺 + ∠𝐿𝐺𝐸 = 720°
故
𝛽 = 720° − 180° − ∠𝐴 − ∠𝐵 = 540° − ∠𝐴 − ∠𝐵
故选 AB.
J 某校初二有甲、乙、丙三个班. 甲班比乙班多 4 名女同学，乙班比丙班多 1名女同学. 如果把甲班的第一组女生都调到乙班，乙班的第一组女生都调到丙班，丙班的第一组女生都调到甲班，则三个班的女同学人数恰好相等. 已知丙班第一组中共有 2 名女同学，则甲班第一组有（ ）名女同学.
D. B.5 C.6 D.7 E.8
解法 1 设丙班有𝑛名女同学，甲班第一组有𝑥名女同学，乙班第一组有𝑦名女同学.则乙班原有𝑛 + 1名女同学，甲班原有𝑛 + 5名女同学. 依题意，列出方程
(𝑛 + 5) − 𝑥 + 2 = (𝑛 + 1) − 𝑦 + 𝑥 = 𝑛 − 2 + 𝑦
所以即
解得 𝑥 = 5，𝑦 = 4.
7 − 𝑥 = 1 − 𝑦 + 𝑥 = 𝑦 − 2
{7 − 2𝑥 = 1 − 𝑦 1 + 𝑥 = 2𝑦 − 2
所以甲班第一组有 5 名女同学，乙班第一组有 4 名女同学. 故选 B.
解法 2 甲班比乙班多 4 名女同学，乙班比丙班多 1 名女同学，显然，甲班调
出 3 名女同 学补乙班 1 名、补丙班 2 名，则三个班女同学人数相等，不妨称此人数为女同学“调等人数”. 由题意，丙班调第一组 2 名女同学去甲班，这时丙班女同学与“调等人数”相差 4 人，而乙班第一组女同学调入丙班后将补充丙班女同学恰达到“调等人数”. 因此乙班第一组有 4 名女同学. 甲班女同学比“调等人数”多 3
人，丙班第一组 2 名女同学调入后，这时将比“调等人数”多 5 人， 但甲班第一组女同学调入乙班后，甲班女同学将恰达到“调等人数”. 所以甲班第一组应有 5 名女同学，进而求得乙班第一组有 4 名女同学.
1
K A 的体积是 B、C 两体积之和的
，而 B 是 A、C 体积之和的
1
. 则 C 的体积
𝑚 𝑛
是 A、B 两体积之和的（ ）.
𝑚𝑛
A.
𝑚+𝑛
𝑚+𝑛+2
B.
𝑚𝑛−1
𝑚𝑛−1
C.
𝑚+𝑛+2
𝑚+𝑛+1
D.
𝑚+𝑛+2
𝑚+𝑛
E.
𝑚𝑛
1
解 C 的体积与 A，B 两体积之和的比我们用
𝑥
𝐴𝑚 = 𝐵 + 𝐶
{𝐵𝑛 = 𝐴 + 𝐶
𝐶𝑥 = 𝐴 + 𝐵
在第一个等式的两边加入体积 A，我们得到
代表，这时我们可以写成
𝐴(𝑚 + 1) = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶
由此
用相似的变换，我们可以得到
和
把这三个等式两边相加后给出
1
𝑚 + 1
1
𝑛 + 1
1
𝑥 + 1
𝐴
=
𝐴 + 𝐵 + 𝐶
𝐵
=
𝐴 + 𝐵 + 𝐶
𝐶
=
𝐴 + 𝐵 + 𝐶
1
+
𝑚 + 1
1
+
𝑛 + 1
1
𝑥 + 1
𝐴 + 𝐵 + 𝐶
= = 1
𝐴 + 𝐵 + 𝐶
这时我们求𝑥，有
1
1 1 𝑚𝑛 − 1
𝑥 + 1 = 1 − 𝑚 + 1 − 𝑛 + 1 = (𝑚 + 1)(𝑛 + 1)
(𝑚 + 1)(𝑛 + 1)
𝑥 + 1 =
𝑚𝑛 − 1
𝑥 =
(𝑚 + 1)(𝑛 + 1)
𝑚𝑛 − 1
𝑚𝑛−1
− 1 =
𝑚 + 𝑛 + 2
𝑚𝑛 − 1
C 的体积是 A，B 两体积之和的
故选 C.
.
𝑚+𝑛+2
L 所有不超过 100 的恰好有三个正整数因子的正整数的乘积是（ ）. A.1002 B.2002 C.4002 D.2102 E.4302
解 首先证明：恰有三个正整数因子的正整数是素数的平方.设𝑛恰有三个正整数因子.
则除 1 和𝑛本身外还有一个素因子，设这个素因子为𝑝，则
𝑝|𝑛，𝑝 ≠ 𝑛
于是
这样必有因此
𝑛 = 𝑝 × 𝑞，𝑞 ≠ 𝑛，1
𝑝 = 𝑞
𝑛 = 𝑝2
此时𝑝必为素数，否则，𝑛就有多于三个正整数因子.而小于 100 的素数的平方只有22，32，52，72.
于是所求的数的乘积为
22 × 32 × 52 × 72 = 44100 = (210)2
故选 D.
M 河水是流动的，在点 Q 处流入静止的湖中，一游泳者在河中顺流从 P 到 Q，
然后穿过湖到 R，共用 3 小时. 若他由 R 到 Q 再到 P，共需 6 小时. 如果湖水也是流动的，速度等于河水速度，那么，从 P 到 Q 再到 R 需 2.5 小时. 在这样的条件下，从 R 到 Q 再到 P 需（ ）小时.
A.6 B.7 C.7.5 D.8 E.10.5
解 设游泳者的速度为 1，水速为𝑦，𝑃𝑄 = 𝑎，𝑄𝑅 = 𝑏，则
𝑎
1 + 𝑦
𝑎 + 𝑏
+ 𝑏 = 3 ①
5
= ②
1 + 𝑦 2
𝑎
① − ②得
即
1 − 𝑦
𝑏𝑦 1 + 𝑦
+ 𝑏 = 6 ③
1
=
2
③ − ①得
𝑏 =
1 + 𝑦
④
2𝑦
即
由②④⑤得
即
2𝑎𝑦
1 − 𝑦2 = 3
3(1 − 𝑦2)
𝑎 =
2𝑦
5
(1 + 𝑦) = 𝑎 + 𝑏 =
2
1 + 𝑦
2𝑦
⑤
(4 − 3𝑦)
5𝑦 = 4 − 3𝑦
于是
1
𝑦 =
2
𝑎 + 𝑏 1 − 𝑦
15
𝑎 + 𝑏
=
1 + 𝑦
1 + 𝑦
×
1 − 𝑦
1
1 +
= 5 × 2 = 15
2
2 1 − 1 2
即本题答案为
2
小时. 故选 C.
N 一个六边形的六个内角都是120°，连续四边的长度依次是 1，3，3，2，则该六边形的周长为（ ）.
• B.13 C.15 D.16 E.17
解 设六边形 ABCDEF 的六个内角都是 120°，且𝐴𝐵 = 1，𝐵𝐶 = 3，𝐶𝐷 = 3，
𝐷𝐸 = 2(解图(a)).
延长 AB，CD，可见△ 𝐺𝐵𝐶为等边三角形，在∠𝐵𝐺𝐶 = 60°，又∠𝐸𝐷𝐻 = 60°，故
𝐴𝐵//𝐷𝐸，同理𝐴𝐹//𝐶𝐷，𝐵𝐶//𝐸𝐹. 由于 A，B，C，D，E 确定之后，过 E 作 BC 的平行线是唯一的，过 A 作 CD 的平行线也是唯一的，故点 F 也是唯一的.
据此，作边长为 3 的正六边形，将每边 3 等分后，作交角为 60°（或 120°）的平行线(解图(b)). 其中的粗线条六边形便是已知六边形，易见𝐸𝐹 = 2，𝐹𝐴 = 4，故周长为1 + 2 + 3 + 3 + 2 + 4 = 15.
(a) (b)
注意，在未确定图形的唯一性之前，由图算出周长是不完整的. 故选 C.
O 黑白方块排列，要从逆时针“↺”或顺时针“↻”旋转后的形状、数量、方位等找出其正确的排列情形. 以下选项符合上述规律的是（ ）.
解 (1)题图：为↻旋转 90°，180°的连续图，其方位由西北→东北→东南(以上端黑方块①的位置为准). 推论下一个方位为西南.
（1） A 图：方位与题图 1 相同，不符.
B 图：形状与题图不同，不符.
C 图：①位置在西南，且整个形状与题图相同，符合.
D 图：方位与题图 3 相同，不符.
E 图：形状与题图不同，不符.
（2） 只有 C 图为题图↻旋转后正确的方位，形状亦相同.故选 C.
P 2021 年新年快到了，两位数学家所寄的贺年片很独特，是一个加法式，给出的条件是𝐸2 = 𝐻，同时每一个不同的字母代表一个不同的数字，则下面加法问题的𝐶𝐻𝐸𝐸𝑅 =（ ）.
A.94223 B.96332 C.78443 D.84225 E.64225
解 破译这封巧妙的贺年片有许多办法，其中最简单的办法如下. 从左边(第一
列)开始，显然 A 等于 0，C 必定比 N 大 1，因为 1 是从下一位进上来的最大数.H 必定是 4 或 9，因为只有这两个数字才是另外一个数字的平方，但它不可能是 9，因为如果 H 是 9，D 和 S 加上进位的数不可能高达 19.因此 H 是 4，E 是 2.第四列加上所进的数一定等于 12，这意味着第三列 中的 D 与 S 之和等于 13，由此可知，D与 S 或者是 8 与 5(顺序可倒过来，即 5 与 8)，或者是 7 与 6，因为 4 已经用过了.D不可能是 8，否则，最后一列的 J 与 R 就会是相同的数字，它也不可能是 5 或 7，因为这样的话，从第四列看，R 就必须是 4 或 2 了.因此，D 肯定为 6，R 为 3，S 为 7，这样，N 一定是 8，C 是 9，剩下的几个数依次是 B 为 1(第五列)，J 为 5(第六列). 这样，只能是如下形式：
故𝐶𝐻𝐸𝐸𝑅 = 94223.故选 A.
Q 满足式
1 1 1 1
+ + =
𝑝 𝑞 𝑟 2
的正整数𝑝，𝑞，𝑟(𝑝 ≥ 𝑞 ≥ 𝑟) 的数组(𝑝，𝑞，𝑟)的个数为（ ）.
A.6 B.7 C.8 D.9 E.10
解 由𝑝 ≥ 𝑞 ≥ 𝑟 > 0，得0 < 1 ≤ 1 ≤ 1，而
所以𝑟 > 2，所以𝑟 ≥ 3.又
𝑝
1 1
=
𝑟 2
𝑞 𝑟
1 1 1
− ( + ) <
𝑝 𝑞 2
所以𝑟 ≤ 6，所以3 ≤ 𝑟 ≤ 6.
(1)当𝑟 = 3时，有
1 1
= +
2 𝑝
1 1
+ =
𝑝 𝑞
1 1 3
+ ≤
𝑞 𝑟 𝑟
1 1 1
− =
2 3 6
1
所以 ≤
2 1 1
，因为𝑞 > 0，所以7 ≤ 𝑞 ≤ 12. 由 +
1
= ，得(𝑝 − 6) × (𝑞 − 6) =
14 / 22
6 𝑞 𝑝 𝑞 6
36.所以𝑞 − 6是 36 的因数. 因此𝑞 − 6可能是1，2，3，4，6，9，12，18，36，而
7 ≤ 𝑞 ≤ 12，所以𝑞 = 7，8，9，10，12. 相应的𝑝 = 42，24，18，15，12.
这时，适合条件的整数组是(42，7，3)，(24，8，3)，(18，9，3)，(15，10，
3)，(12，12，3)，共 5 个.
（2）当𝑟 = 4时，有
1 1 1 1 1
+ = − =
𝑝 𝑞 2 4 4
1
所以 ≤
4
2
，5 ≤ 𝑞 ≤ 8，(𝑝 − 4)(𝑞 − 4) = 16. 因此，(𝑝，𝑞，𝑟)=(20，5，4)，(12，
𝑞
6，4)，(8，8，4)，共 3 个.
(3)当𝑟 = 5时，有
1 1
+
𝑝 𝑞
1 1 3
= − =
2 5 10
3
所以 ≤
10
2
，5 ≤ 𝑞 ≤ 6.
𝑞
因为𝑞(3𝑝 − 10) = 10𝑝，所以(𝑝，𝑞，𝑟)=(10，5，5)，共 1 个.
(4)当𝑟 = 6时，有
1 1 1 1 1
+ = − =
𝑝 𝑞 2 6 3
1
所以 ≤
3
2
，所以𝑞 = 6，𝑝 = 6. 所以(𝑝，𝑞，𝑟)=（6，6，6），共 1 个.
𝑞
由(1)~(4)，得5 + 3 + 1 + 1 = 10，所以适合条件的整数组共有 10 个.故选 E.
R 如图所示，6 个边长为 2 的正八边形以 2 乘 3 的排列方式内接于一个正方形. 正方形面积可以表示为𝑚 + 𝑛√2，𝑚和𝑛为正整数. 则𝑚 + 𝑛的值为（ ）.
A.80 B.114 C.194 D.204 E.224
解 如解图所示
经过八边形顶点画平行于正方形一边的直线. 将经过八边形相邻顶点的 4 条直线标记为 A，B，C，D. 从直线B 到直线 C 的距离是其中一个八边形的边长，所以是
2
2. 从 C 到 D 的距离是斜边长为 2 的等腰直角三角形中的一条直角边长，长度为 =
√2
19 / 22
√2.
于是，正方形的边长为
4 × 2 + 5 × √2 = 8 + 5√2
因此，正方形的面积为
2 2
2
(8 + 5√2) = 8 + 2 × 8 × 5√2 + (5√2)
= 64 + 80√2 + 50
= 114 + 80√2
所求之和为114 + 80 = 194. 故选 C.
S 在双 11 活动中，某平台中的某商品拟做两次调价，设𝑝 > 𝑞 > 0，有下列六种方案供选择：
S.1 先涨价𝑝%，再降价𝑞%；
S.2 先涨价𝑞%，再降价𝑝%；
S.3 先涨价
𝑝+𝑞
2
𝑝+𝑞
% ，再降价 % ；
2
S.4 先涨价√𝑝𝑞%，再降价√𝑝𝑞% ；
𝑝+𝑞
S.5 先涨价
2
%，再降价√𝑝𝑞% ；
𝑝+𝑞
S.6 先涨价√𝑝𝑞%，再降价 %.
2
若规定两次调价后该商品的价格最高的方案称为好方案，则其中方案（ ）是好方案.
A.A B.C C.D D.E E.F
解 设某商品原价为 1，采用方案𝐴，𝐵，𝐶，𝐷，𝐸，𝐹调价后的商品价格分别为
𝑎，𝑏，𝑐，𝑑，𝑒，𝑓，则
𝑝 − 𝑞 𝑝𝑞
𝑎 = (1 + 𝑝%)(1 − 𝑞%) = 1 +
100 − 1002
𝑞 − 𝑝 𝑝𝑞
𝑏 = (1 + 𝑞%)(1 − 𝑝%) = 1 +
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