重庆市重点高三联盟五月数学联考最后一模(含答案-).doc

重庆市重点高中联盟五月联考最后一模
数学（理科）2010-5-21
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分
第I卷（选择题 共50分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．如果为纯虚数，则实数等于（ ）
A 0 B -1 C 1 D -1或1
2．设集合M=，N=，则集合是
A. B. [0, C. D.
3. 若，则的值是（ ）
A 84 B -84 C 280 D -280
4．奇函数f(x)在上单调递增，若f(-1)=0,则不等式f(x)<0的解集是( )
A. B.
C. D.
5．从0，2，4中取一个数字，从1，3，5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是（ ）
A 36 B 48 C 52 D 54
6．在中， 是 的 （ ）
A．充分而不必要条件 　　　　　　　 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 　　　　　 　　 D．既不充分也不必要条件
7．设，则（ ）
A 有最大值8 B 有最小值8 C 有最大值8 D 有最小值8
8．已知整数对按如下规律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），
（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），……，则第60个数对是（ ）
A （10，1） B （2，10） C （5，7） D （7，5）
9. 设表示，两者中的较小的一个，若函数
，则满足的的集合为
A． B.
C. D.
10. 一个空间四边形的四条边及对角线的长均为，二面角的
余弦值为，则下列论断正确的是
A. 空间四边形的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为
B. 空间四边形的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为
C. 空间四边形的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为
D. 不存在这样的球使得空间四边形的四个顶点在此球面上

第II卷（非选择题 共100分）
二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11.样本容量为1000的频率分布直方图如图所示。根据样本的频率分布直方图计算，x的值为________,样本数据落在[6,14)内的频数为________。
12.圆被直线截得的劣弧所对的
圆心角的大小为　 　.

13. 函数图象上点P处的切线与直线 围成的梯形面积等于，则的最大值等于 ，此时点P的坐标是 。
14．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数生成两个数，一个是 ，另一个是．设第次生成的数的个数为，则数列的前项和　 ；若，前次生成的所有数中不同的数的个数为，则　 　
15.若函数的定义域和值域均为，则的取值范围是___.

三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分13分）
在中，角，，所对的边分别为，，，且，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的面积.

17.（本小题满分13分）
在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮. 现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是，.两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮. 假设每人每次投篮命中与否均互不影响.
（Ⅰ）求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；
（Ⅱ）若投篮命中一次得1分，否则得0分. 用ξ表示甲的总得分，求ξ的分布列和数学期望．

18.（本小题满分13分）
D
B
C
E
B1
C1
A
A1
如图，在三棱柱中，每个侧面均为正方形，
为底边的中点，为侧棱的中点.
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.

19.（本小题满分12分）
已知函数，．
（Ⅰ）求函数的导函数；
（Ⅱ）当时，若函数是上的增函数，求的最小值；
（Ⅲ）当，时，函数在上存在单调递增区间，求的取值范围．

20.（本小题满分12分）
已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，且经过点，过点的直线与椭圆在第一象限相切于点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求直线的方程以及点的坐标；
（Ⅲ）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，满足？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．

21（本小题满分12分）
若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列，则称这个数列为调和数列．已知数列是调和数列，对于各项都是正数的数列，满足．
（Ⅰ）证明数列是等比数列；
（Ⅱ）把数列中所有项按如图所示的规律排成一个三角形
数表，当时，求第行各数的和；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列，证明：．

重庆市重点高中联盟五月联考最后一模
参考答案
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
A
A
B
C
B
C
C
A

二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11 0.09 680
12
13

14
15

三、解答题:
16、 解：（Ⅰ）因为，，
所以.
由已知得.
所以
. …………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以 且.
由正弦定理得.
又因为，
所以 ，.
所以. …………………………13分
17、 （Ⅰ）解：记 “3次投篮的人依次是甲、甲、乙” 为事件A.
由题意， 得．
答：3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是． …………………… 5分

（Ⅱ）解：由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，则
，
，
，
．
所以，的分布列为：

0
1
2
3
P

的数学期望. …………… 13分
O
B
C
E
B1
C1
A
A1
D
18、 解法一：证明：（Ⅰ）设的交点为O,连接，连接.
因为为的中点，为的中点,
所以 ∥且.又是中点，
所以 ∥且,
所以 ∥且.
所以，四边形为平行四边形.所以∥.
又平面,平面,则∥平面. ………………5分
(Ⅱ) 因为三棱柱各侧面都是正方形，所以，.
所以平面.
因为平面，所以.
由已知得，所以,
所以平面.
由（Ⅰ）可知∥，所以平面.
所以.
因为侧面是正方形，所以.
又，平面，平面,
所以平面. ………………………………………10分
（Ⅲ）解: 取中点，连接.
F
B
C
E
B1
C1
A
A1
在三棱柱中，因为平面，
所以侧面底面.
因为底面是正三角形，且是中点，
所以，所以侧面.
所以是在平面上的射影.
所以是与平面所成角.
. …………………………………………13分
DO
O
x
y
z
B
C
E
B1
C1
A
A1
解法二：如图所示，建立空间直角坐标系.
设边长为2，可求得，,
，，，，
，，.
（Ⅰ）易得，，
. 所以， 所以∥.
又平面,平面,则∥平面. ………………5分
（Ⅱ）易得，，，
所以.
所以
又因为，，
所以平面. …………………………………………… 10分
（Ⅲ）设侧面的法向量为,
因为, ,，，
所以，.
由 得解得
不妨令，设直线与平面所成角为．
所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为． ………………………13分
19、（Ⅰ）解：． …………………………………3分
（Ⅱ）因为函数是上的增函数，所以在上恒成立.
则有，即．
设（为参数，），
则.
当，且时，取得最小值．
（可用圆面的几何意义解得的最小值） ………………………8分
（Ⅲ）①当时，是开口向上的抛物线，显然在上存在子区间使得，所以的取值范围是．
②当时，显然成立．
③当时，是开口向下的抛物线，要使在上存在子区间使，应满足 或
解得，或，所以的取值范围是．
则的取值范围是． …………………………………………12分
20、解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，由题意得
解得，，故椭圆的方程为． ……………………4分
（Ⅱ）因为过点的直线与椭圆在第一象限相切，所以的斜率存在，故可设直线的方程为．
由得． ①
因为直线与椭圆相切，所以.
整理，得.
解得．
所以直线方程为．
将代入①式，可以解得点横坐标为1，故切点坐标为．……9分
（Ⅲ）若存在直线满足条件，设直线的方程为，代入椭圆的方程得．
因为直线与椭圆相交于不同的两点，设两点的坐标分别为，
所以．
所以．
又，，
因为，即，
所以．
即 ，
所以，解得．
因为为不同的两点，所以.
于是存在直线满足条件，其方程为． …………………………12分
21、解：（Ⅰ）证明：因为，且数列中各项都是正数，
所以 ．
设， ①
因为数列是调和数列，故，．
所以，． ②
由①得，代入②式得，
所以，即.
故，所以数列是等比数列． …………………………5分
（Ⅱ）设的公比为，则，即．由于，故．
于是．
注意到第行共有个数，
所以三角形数表中第1行至第行共含有个数.
因此第行第1个数是数列中的第项.
故第行第1个数是，
所以第行各数的和为． ………… 9分
（Ⅲ）因为，所以.
所以．
又 ，
，
所以
.
所以 …………………………12分