大学物理31.pptx

单击此处编辑母版标题样式,特征：,质点组（系统）内任两质点间距离在运动中恒不变（刚体）,故可在质点力学（牛顿运动定律）的基础上推出刚体转动的规律。,一、基本概念,刚体：,物体运动时，形状大小不会改变的物体（受力、静止、运动时）,研究内容：,物体（刚体）的转动,基本方法：,以质点力学为基础,将刚体看成由无数个细微部分（质点）构成的质点组（系统）,31,刚体定轴转动的转动定律,显然刚体在平动时，在任意时间内，位移、速度、加速度对于,刚体上各点来说都是相等的，故刚体可简化为,质点。,1,定义：若连接刚体上任意两点的直线在运动中恒不改变方向。,例：火车在直线轨道上行驶,升降机运动均为平动。,b,c,a,b,刚体的平动过程,二、刚体的平动,转动,刚体运动时，刚体中所有的点都绕同一直线作圆周运动，这种运动称为,转动,。,定轴转动,若轴固定不动，就叫做,定轴转动。,2,、刚体定轴转动的描述,刚体定轴转动时，作为整体在转动，,其上每一点的半径在同一时间内转过同样大的角度，,因此用,角量,描述转动较为方便。,q,P,(,t,),O r,转动平面,转轴,x,q,P,P,O r,转动平面,垂直于定轴的平面,刚体的,角坐标,（,角位置,）,刚体的,角位移,角位移,方向（正方向）规定：,迎着转轴，面视转轴，,逆时针,方向为角位移的,正方向,，,刚体,逆时针,转动的,角位移取正值。,顺时针,转动的,角位移取,负值,。,三、刚体绕定轴转动,1,、定义,平均角速度,角速度（瞬时角速度）,平均角加速度,角加速度（瞬时角加速度）,b,0,，刚体做加速转动,b,0,，刚体做减速转动,匀变速转动,公式,q,、,q,0,、,w,、,w,0,、,b,分别为角位置、初角位置、角速度、初角速度、角加速度,常用的直线运动和刚体的定轴转动公式,直线运动,位置,x,位移,D,x,速度,加速度,匀速直,线运动,匀变速,直线运动,刚体的定轴转动,角位置,q,，角位移,Dq,角速度,角加速度,匀速转动,匀变速,转动,3,角速度矢量,（为充分反映刚体转动情况，常用矢量表示角速度）,o,4,、角量和线量的关系,D,t,D,t0,质点的线速度,质点的法向加速度,r,O,D,s,P,v,Dq,r,O,P,a,a,t,a,n,质点的切向加速度,刚体的角速度、角加速度的数值和刚体上距轴,r,处,P,点的速度、切向加速度、法向加速度的关系,当,b,=0,时，,a,t,=,0,a,n,0,各点,w,、,b,相同，但,a,t,、,a,n,、,v,不一定相同，与,r,有关,例题,1,一飞轮转速,n,=1500r/min,，受到制动后均匀地减速，经,t,=50s,后静止。,（,1,）求角加速度,和飞轮从制动开始到静止所转过的转数,N,；,（,2,）求制动开始后,t,=25s,时飞轮的角速度,；,（,3,）设飞轮的半径,r,=1m,，求 在,t=25s,时边缘上一点的速度和加速度。,解,5,、举例,0,O,（,1,）,设初角速度,为,0,方向如图所示，量值为,0,=21500/60=50,rad/s,，对于匀变速转动，可以应用以角量表示的运动方程，在,t,=50S,时刻,=0,，得,从开始制动到静止，飞轮的角位移,及转数,N,分别为,（,2,）,t,=25s,时飞轮的角速度为,的方向与,0,相同；,（,3,）,t,=25s,时飞轮边缘上一点,P,的速度。,的方向垂直于,和 构成的平面，如图所示相应的切向加速度和向心加速度分别为,由,边缘上该点的加速度,其中,的方向与 的方向相反，的方向指向轴心，的大小为,的方向几乎和,相同,。,0,O,P,例题,2,一飞轮在时间,t,内转过角度,at+bt,3,-ct,4,式中,a,、,b,、,c,都是常量。求它的,角速度、,角加速度。,解：,飞轮上某点角位置可用,表示为 ,at+bt,3,-ct,4,将此式对,t,求导数，即得飞轮角速度的表达式为,角加速度是角速度,对,t,的导数，因此得,由此可见飞轮作的是,变加速转动,。,刚体转动，,产生角加速度的大小，不仅与力有关，且与力的作用点有关，于是引入,力矩,概念。,四、刚体定轴转动的转动定律,刚体平动,相当于一质点，质点质量为刚体的质量,O,作用点矢径为 。,力矩单位：牛顿,米（,N,m,）。,，且,在转动平面内,刚体受外力,1.,力矩,(,对转轴,),O,r,P,*,讨论：,（,1,）,外力不在转动平面内时，可将,分解为,、,，,使物体转动，,理解为在作用点转动平面内的分力,（,3,）在定轴转动中，当规定了转动正方向时，就可用正、负表示力矩的方向，（沿轴线一维）。,（,2,）有几个外力同时作用在刚体上时，产生的力矩可等效为一个力矩，这个力矩称为合力矩。,即，,（平行四边形法则）,合力矩等于各个力矩的代数和。,O,F,r,F,1,F,2,p,2.,刚体定轴转动定律,应用牛顿第二定律，可得：,对刚体中任一质量元,-,外力,-,内力,O,O,采用自然坐标系，上式切向分量式为：,P,o,用 乘以上式左右两端：,设刚体由,N,个点构成，对每个质点可写出上述类似方程，将,N,个方程左右相加，得：,故,由于,上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以,M,表示；右端求和括号内的量与转动状态无关，称为刚体,转动惯量,，以,J,表示,。于是,刚体定轴转动定律,J,与,m,相当，,是描写物体转动惯性大小的物理量（对给定轴），称做,转动惯量,J,，,其大小与刚体的质量、质量分布、转轴位置有关。,单位：,千克,米,2,（,kgm2,）,讨论,:,都是对同一固定轴而言，单位采用,SI,单位制,.,M,（合外力矩 ）一定，,(2,）力矩的瞬时作用规律，,M,、,同时存在,同时消失，,M,是使刚体转动状态变化的根源。,（,3,）,解题步骤：,（与质点动力学类同）,a.,确定对象选坐标；,b.,分析受力和力矩；（正负、方向）,c.,运用定律列方程；（牛二律、转动定律、,角量与线量的关系,）,d.,求解方程得结果。（单位统一）注意：质点平动和转动关系。,转动定律：,刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度和它所受的合外力矩成正比，和它的转动惯量成反比。,1,）,.,概念,质量,刚体平动惯性大小的量度。,转动惯量,刚体转动惯性大小的量度。,质元的质量,质元到转轴的距离,r,=,衡量,质量连续分布,3,、转,动惯量,2,）,.,转动惯量的计算：,r,m,z,r,d,m,（线分布）,（面分布）,（体分布）,例题,1,求质量为,m,、长,为,l,的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量：,（,1,）转轴通过棒的中心并和棒垂直；,（,2,）转轴通过棒的一端并和棒垂直,；,（,3,）,转轴通过棒上距中心为,h,的一点并和棒垂直。,O,x,d,x,l,A,B,x,d,x,l,x,x,O,解,（,1,）,如图示，选坐标,ox,在棒上离轴,x,处，取一质元,d,m,=,d,x,；,d,J,=,x,2,d,x,；,（,=,m/l,）,选坐标取质元,;,分析质元写,d,J,;,积分,d,J,算结果。,（,2,）转轴通过棒的一端,A,和棒垂直时，,A,（,3,）转轴过棒上距中心为,h,的点和棒垂直时，,平行轴定理,O,d,x,h,l,x,x,O,上述例题表明，,同一刚体转动惯量与转轴的位置有关。,例题,2,求质量为,m,，密度均匀,半径为,R,的细圆环和圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量。,(2),设圆盘的质量面密度为,，在圆盘上取,一,半径为,r,、宽度为,dr,的环带（如图），环的,面积,dS=2,rdr,，环的质量,d,m,=,2,rdr,。可得,R,O,R,O,解,(1),细圆环上任意处到中心转轴的距离都等于,R,所以,r,d,r,R,O,r,表明，,转动惯量与质量分布有关。,例题,3,一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为,m,1,和,m,2,的物体,1,和,2,，,m,1,m,2,如图所示。设滑轮的质量为,m,，半径为,r,，所受的摩擦阻力矩为,M,r,。绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。,m,1,m,2,a,b,a,T,2,T,1,T,1,T,2,G,2,G,1,a,m,1,m,2,b,r,Mr,列出方程,解,:,滑轮具有一定的转动惯量。在转动中受到阻力矩的作用，两边的张力不再相等。研究对象：滑轮、,m,1,、,m,2,；,隔离物体,分析受力、力矩；,Mr,的指向如图所示。,可解得,式中,当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令,m,=0,、,M,=0,时，有,上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测量重力加速度,g,的简单装置。因为在已知,m,1,、,m,2,、,r,和,J,的情况下，能通过实验测出物体,1,和,2,的加速度,a,，再通过加速度把,g,算出来。在实验中可使两物体的,m,1,和,m,2,相近，从而使它们的加速度,a,和,速度,v,都较小，这样就能角精确地测出,a,来。,