二次函数中的三角形面积.docx

二次函数中三角形的面积问题
教学目标：
知识与技能：
掌握利用二次函数的解析式求出相关点的坐标，从而得出相关线段的长度，利用割补方法求图形的面积。
过程与方法：
通过观察、分析、概括、总结等方法了解二次函数面积问题的基本类型，并掌握二次函数中面积问题的相关计算。
情感态度与价值观：
通过学习二次函数中三角形的面积的计算，体会数形结合思想和转化思想在二次函数中的应用。
教学重、难点：
重点：
1.运用；
2.运用；
难点：将不规则的图形分割成规则图形，从而便于求出图形的总面积。
教学过程：
一、开门见山、引入新课
师：今天我们学习的内容是二次函数中的三角形面积问题，这一直是同学们的一个难题，特别是对于动点和最值问题
二、探索新知
活动一：热身训练
例：如图，已知抛物线的顶点为D（1，-4），并经过点E（4,5）
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 求抛物线与x轴的交点A、B，与y轴的交点C的坐标；
（3） 求∆ABD，∆ABC，∆ABE, ∆OCE的面积

【分析】
第（1）题引导同学们将抛物线的解析式设为顶点式，然后将点E的坐标代入解析式求出抛物线的解析式；
第（2）题让学生回答抛物线与x轴和y轴有交点分别需满足什么条件（与x轴有交点就是让解析式的y值为0，与y轴有交点就是让解析式中的x值为0）
第（3）题
问题1：引导学生说出求三角形的面积需要满足哪些条件？
问题2：要求这些三角形的面积，要找哪条边为底，哪条边为高？（以在坐标轴上的边为底，以另一点到x轴或y轴的距离为高）
解：（1）设抛物线的解析式为y=a(x-1)2-4
把点E（4,5）代入解析式得：a=1
所以抛物线的解析式为：y=(x-1)2-4
（2）当抛物线与x轴有交点时(x-1)2-4=0，解得：x1=3,x2=-1
所以抛物线与x轴的交点坐标为B（-1，0）和A（3，0）。
当抛物线与y轴有交点时y=(0-1)2-4，解得：y=-3
所以抛物线与y轴的交点坐标为C（0，-3）
(3)S∆ABD=12×4×4=8 S∆ABC=12×4×3=6 S∆ABE= 12×4 ×5=10 S∆OCE=12×3×4=6
【设计意图：通过这道热身训练让学生明确在平面直角坐标系中有一条边在坐标轴上时如何求三角形的面积，从而提高了学生的学习兴趣。】
活动二：探究思考
师引导：我们知道当三角形的一边在坐标轴上时我们比较容易求这个三角形的面积，但是当其中一边不在坐标轴上而与坐标轴平行，我们如何求这个三角形的面积呢？以那一边为底，那里为高？
【以平行于坐标轴的一边为底，以顶点到平行于坐标轴的这边的距离为高，来求三角形的面积】
师总结：我们把一边在坐标轴上或与坐标轴平行的三角形叫做直三角形。
【设计意图：通过这道探究思考让同学们明白在平面直角坐标系中直三角形（只要有一条三角形的边在坐标轴上或与坐标轴平行的三角形），的面积非常容易求出，为接下来的化斜为直做了铺垫。】
活动三：探究再思考
如图1：直线AC与我们刚才所求的抛物线交于A、C两点，求∆ACD的面积。
师提出问题：
问题1：刚才我们得出结论直三角形（有一条边在坐标轴上或与坐标轴平行）的面积比较好求，但是当这个三角形是一个斜三角形（每一条边都不与坐标轴平行，也不在坐标轴上）想一想我们用什么方法可以求出它的面积呢？
【学生活动：四人小组讨论，派代表发言】
解：方法一：如图2过点D垂直分割与直线AC相交于点N
因为已知A（3,0）、B（-1,0）、C（0，-3）、D（1,-4）
所以yAC=x-3从而得出N（1，-2）
所以S∆ACD=S∆CDN+S∆ADN
（图1）
=12·DN·1+12·DN·2
=12·DN·（1+2）
=12 ×2×3
=3
方法二：如图3过点C水平分割与直线AD相交于点
（图2）
因为已知A（3,0）、D（1,-4）
所以yAD=2x-6从而得出T（32，-3）
所以S∆ACD=S∆CDT+S∆ACT
=12·CT·1+ 12·CT·3
=12·CT·（3+1）
=12×32×4
图3
=3
根据方法一老师的讲解，方法二学生自己完成。
B
C
铅垂高
水平宽
h
a

问题2：通过刚才这道题的解法你找到了什么规律？
学生得出规律：S∆ACD=S∆CDN+S∆ADN =12·DN·（1+2）
得出结论：
【设计意图：通过这道题的讲解让学生体会化斜为直的转化
思想，让学生学会运用铅垂高来解决二次函数中三角形的面
积问题】
三、变式训练
变式训练一：如图，在直线AC下方的抛物线上是否存在
一点P，使点P的横坐标为x，求∆ ACP的面积。
变式训练二：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点P，
使点P的横坐标为m，当m为何值时∆ ACP有最大面积，
最大面积是多少？
【设计意图：通过这两道变式训练让同学们让同学们感受由静到
动的变化过程，从而学会解决由一般到特殊的二次函数中三角形
的面积，并拓展到如何求出它的最大值】
四、课时小结
1、让同学们说出如何运用铅锤高求二次函数中三角形的面积问题。
B
C
铅垂高
水平宽
h
a

2、结论：，

五、布置作业
已知如图抛物线y=x2+bx+c的顶点为P与y
轴交于点A，与直线OP交于点B
（1）若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3,6）试确定抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，若点M是直线AB下方抛物线上的一点，且S∆ABM=3，求点M的坐标。