学生错误研究之文献综述-郜舒竹.pdf.doc

第 18 卷第 1 期
数 学 教 育 学 报
Vol.18, No.1
2009 年 2 月
JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION
Feb., 2009

学生错误研究之文献综述

郜舒竹，薛涟霞

（首都师范大学 初等教育学院，北京 100037）

摘要：对学生错误的研究不仅可以帮助学生找出错误产生的原因、提出改正的意见，还有助于帮助教师完善自身的知识 观和教育观．国内外学者对错误的研究领域在不断扩大和深入，人们对错误的理解以及错误原因的认识也在不断变化，而且 学生错误的合理性逐渐得到一些数学教育者或者一些一线数学教师的认可．同时，越来越多的教师也意识到对于错误的研究 目的不仅仅是诊断与治疗，更应该把错误看作一种有效的教学资源．

关键词：错误；学生错误；教学契约

中图分类号：G444 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2009）01–0075–04

美国学者 Bryan Bunch[1]认为每个人都会犯错误，尤其
郑毓信曾有这样的论述：有些教师往往把学生在学习过
每个人在数学学习方面更会犯错误，这里的每个人不仅指普
程中所产生的各种不同于“标准观念”的想法或做法看成是
通人，也包括大数学家．因此，很多教师认为学生犯错误是
错误的[5]．这里的“标准观念”是指教科书、权威专家或者
日常教学中一件很平常的事情，殊不知越为人们习以为常的
教师自身的观念，从一个侧面反映了教师对于错误概念的理
事情却有独特的研究价值．那么，前人是如何研究错误的？
解更多的是基于数学知识的立场或者是教师自身的立场，而
研究方向又如何呢？
不是站在学生主动建构学习的立场上看待错误．Brousseau[6]
１ 关于“错误”的界定
认为教师在教学过程中担任的重要角色，主要是为学生创造
一个适应新的学习环境的情景．他不认为错误是失误、不确

1.1 哲学上的定或者偶然的结果，而正是对前知识的学习发生兴趣的表

错误在哲学上称之为谬误，与真理相对．谬误是指主观 对客观的歪曲反映，谬误是主观的、片面的[2]．在哲学上真 理属于认识范畴，所以这里与真理相对的错误也属于认识范 畴，只指错误的认识，而不指错误的行动．同样，在哲学词 典里也对错误有定义．错误同正确相对立，指主体与客体规 律不相一致的认识或者实践[3]．显然，这里对错误的定义更 进了一步，不再局限于错误是一种认识，错误不仅指不正确 的认识和观点等，也指不正确的行为．

1.2 一般意义上的

错误的概念不仅在哲学中出现，在各门学科和日常生活 中也经常出现．现代汉语词典对错误的界定包括两个意思， 第一是指不正确，与客观实际不符合，如错误思想．第二是 指不正确的事物、行为等[4]．因此可以看出，一般意义上的 错误不仅指错误的认识，也指错误的行为．国外相关文章中 涉及到学生错误时用的词各有不同，主要有 error，obstacle， difficulty ， fallacy 这 4 个单词 ， 使用频率较高的算是 error．error 指一般意义上的错误、过失，具有广泛性，不

仅指错误的事物，也指道德方面的过失；Obstacle，difficulty 都是指困难、障碍；obstacle 相对于目的而言；difficulty 相
对于主体的能力或者状况而言；fallacy 常指错误的论点或者 推理的错误，比较有针对性．

现．Brousseau 还认为，学生的错误和学生的失败不能提供 一个过分简单的定义，应该将学生的错误和“困难”的概念 结合起来[7]．Duroux[8]认为“困难”是在一系列环境中以某 种方式发生作用的知识，并且在不同的环境中发生作用的方 式是不同的．正是面对这样的知识时，学生没有选择某种正 确方式的发生，也就产生了错误．

1.4 3 种界定的关系

从哲学层面有关错误的定义、一般意义上对错误的定义 以及教师对于错误的看法可以看出：（1）3 者在对错误的界 定，实质上是统一的．即错误不仅是指思想、观念，也指具 体行为．也就是说，错误是没有正确反映客观实际及其事物 发展规律的想法或者行为．（2）3 者对于错误概念的界定是 不一致的．这种不一致性使得在研究数学教育中学生错误过 程中，在识别错误方面缺乏统一的标准．而错误的界定是进 一步研究与错误相关主题的基础，如果没有这一基础，不同 的研究者之间无法正常对话，也无法对错误的原因进行合理 剖析．因此，对错误的界定既不宜过于一般化也不宜过于哲 学化，对错误的理解要从犯错误的主体——学生出发，以学 生的认知、思维特征为出发点进行概念界定．

2 国内学者对“数学错误”的研究倾向

1.3 数学教育中的
国内学者对于学生数学错误研究的重点主要集中于学
但是在数学教育中，由于数学学科本身的特点和教学的
生的具体数学知识错误上，大致可以分成以下 3 类：
特点，对于学生数学错误的定义应该与哲学中和一般意义上
2.1 从解题角度分析错误
对错误的定义有所不同．但是，长期以来一直没有人给出错
此类错误剖析实际上属于解题分析的一种，是针对一道
误的明确定义，只是一些对错误的简单论述．
题或一类题进行分析，主要是指出错误的具体原因．比如，

收稿日期：2008–09–05

作者简介：郜舒竹（1961—），男，北京人，副教授，硕士生导师，主要从事数学课程与教学论研究．

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由于违背了数学学科体系内的知识、原理而导致错误，注重 给出正确的解题方法．这种对错误的剖析偏重数学知识本身 方面，而不注重判断学生的错误是否符合学生的心理发展．

（1）以学生为主要读者．例如文[9]，它从初中生在学 习数学时常发生的一部分解题错误入手，从数学知识的角度 分析每种错误方法产生的原因，并找到正确的解题方法，以 供正在初中学习的学生课外练习参考．全书总共八章：“咬 文嚼字”、“0”的纠纷、“差之毫厘，失之千里”、“多余和失 落”、“眼睛受骗”、“因和果”、“粗心错误”、“漏洞”，此书 章节在命名上富有一定的趣味性，大体上还是按照代数—几 何的顺序安排，主要目的是通过在解题中寻找错误、分析错 误，加深知识的理解，增长解题才能．

（2）以教师为主要读者．例如文[10]，它把小学数学中 的计算错误进行了详细的分类和论述．此书将小学生的计算 错误分成 6 个内容：整数四则计算错误、小数的四则运算错 误、分数的四则运算错误、四则混合运算错误、与几何形体 有关的计算错误和正负数的四则运算错误．并对每一个错误 进行了分析，认为教师在教学中应该注重学生的操练，这样 学生可以在熟练中少犯错误．因此，这本书更注重从教学的 角度帮助教师去分析学生的错误，帮助教师去预防和纠正学 生的错误．孟繁学[11]分别从四则运算、方程、几何知识、比 和比例和应用题等 5 方面分析小学生容易犯的错误，并阐明 犯错误的具体原因以及教师在教学中的注意事项．原因的分 析主要还是偏重从数学知识方面入手，但是在对错误的归因 方面较为简单、不细致．例如，学生在方程这一部分犯错误 的主要原因，此书中认为“书写格式不规范，运算过程不合 理，列方程解题等量关系不均，与算术方法不分”等等．罗 增儒教授在文《解题分析谈错例剖析》[12]中不仅对错误实 例进行正确分析，而且进一步提出了进行错例剖析必须坚持 的 4 个基本态度：① 解题错误的产生总有其内在的合理性， 解题分析首先要对合理成分作充分的理解；② 要通过反例 或启发等途径暴露矛盾，引发当事者自我反省；③ 要正面 指出错误的地方，具体分析错误的性质；④ 作为对错解的 对比、补救或纠正，给出正确解法是绝对必要的．从罗增儒 关于教师对学生进行错例分析的态度中可以反映出他对错 误的理解不只是纠错、改错，而是应该深入了解学生的真实 思维活动，通过对错误的分析真正地达到锻炼思维的目 的．虽然此书也是注重教学，以教师为读者对象，但相对于 前两本书，对学生错误的分析没有停留在原因上，而是进一 步上升到教师对待学生数学错误的态度层次上，在理念上是 一种进步．

2.2 从教育或者心理角度分析错误

对错误的析因研究不仅注重数学学科知识体系方面的 因素，还注重教育和心理方面的因素，这是对学生的错误原 因分析的一大进步．其中有的文章在析因的基础上还给出了 避免错误的矫正措施．例如，李莉的《学生学习数学概念的 错误分析》[13]和黄兴丰、程龙海的《初中生在几何解题中 所出现错误的调查研究》[14]等，都是对概念学习的错误进 行分析的文章，文章不仅对概念学习的错误进行了重点分 析，还提出了相应的矫正措施．黄兴丰、程龙海的《初中生



在几何解题中所出现错误的调查研究》一文通过对初中二年 级学生的调查研究发现，学生出错的原因从心理学方面考虑 主要有两点：过强的动机和不正确的观念；知识基础和认知 图式的缺陷．傅海伦认为，师生的种种数学活动，都以数学 语言为基础，学生在用数学语言表达数学对象时，难免会出 现种种错误，而这些错误会影响到学生的数学学习[15]．他 还从心理方面介绍了数学语言学习中的错误，如心理能力不 足和缺乏正确的心理势态导致的错误．山东师范大学教育硕 士杜春泉对学生概念学习的心理性错误进行了剖析[12]，并 指出了一些相应的矫正对策．山东师范大学教育硕士郝玲的 《初一学生数学学习中的错误剖析》[12]一文具体谈到了初一 学生在数学学习中常见的错误，认为错误的主要原因有以下 4 方面：错误的观念、粗心、负迁移、数学语言理解错误等， 并建议教师应该了解学生的真实思维活动，利用反例教学， 培养学生的原认知能力等．

从以上的研究可以看出，对学生错误的原因分析逐渐涉 及到更多的教育学和心理学方面，比如认知图式、元认知、 心里势态等等．这表明对学生错误原因的分析的科学性和理 论高度在不断提高，而不仅局限于过去的简单归因——粗心 和不认真等．

2.3 承认错误的合理性并利用错误进行教学

从利用学生的错误进行教学的文章中可以看出，有些错 误的不可避免性逐渐得到认可，并且开始有了利用错误的意 识，认识到利用错误不仅可以培养学生良好的思维品质和坚 强的意志品质，更重要的是能够加深学生对知识的理解和端 正教师对待学生错误的态度等优势．例如，李善良[16]对学 生概念学习的错误进行了深刻的理论分析，并指出学生的错 误有些是合理的．他将数学概念学习中的错误分为两类：一 是过程性错误；二是合理性错误．相对而言，过程性错误具 有短暂性、外显性，是可以预防与避免的；而合理性错误则 具有隐蔽性、长期性，是不可避免的．错误的合理性有助于 教师正确地看待学生的错误，从而减少学生的学习焦虑．陈 翔[17] 通过研究学生在数学学习中容易出现的“合理性错 误”，阐述了它的主要表现及产生的缘由，并且认为可以通 过创设“引起认知冲突”的教学情境来消除学生“合理性错 误”．他认为合理性错误通常表现在两方面：一方面表现在 处理问题的方法使用上．例如，由于认知的“惯性”，造成 对概念做了不适宜的推广，对结论做了随意性扩展，方法运 用上进行了不恰当的迁移等；另一方面表现在处理问题的思 维方式上．例如，在思考问题时，由于过去的学习心理倾向 带来思维的单向性和恋旧性，不自觉地在过于限制的领域建 立数学联系，或者出于对某种数学形式的偏好而忽略了其对 立的形式等．喻其容，李德明认为学生的合理性错误是可以 利用的，教学中可以通过“反例”教学激发学生的思考，从 而掌握正确的解题方法[18]．王鹏飞指出错误是学生在学习 中自然存在的现象，在数学教学中企图完全避免错误是没有 必要的[19]．相反，在某些情况下却需要有意识地让学生专 门进行尝试“错误”的活动．这样不仅有利于教师对学生错 误的诊断和治疗，还有利于学生的自我诊断和治疗．王鹏飞 认为学生解题是从一个问题系统走向稳定系统的过程，学生

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的错误认知是没有成功地将问题系统转化为稳定系统，这可 以通过科学有效的错误辨析题的设计帮助学生对错误进行 反思，减轻学生的错误干扰[20]．此外，文[21]表明反例方法 可以否定错误命题，预防和纠正错误认识，且有助于学生形 成缜密的思维．特级教师李烈认为，在课堂上应该重视来自 学生的话，包括一些错误的话、不严谨的话，能够有意识地 利用学生的话为课堂教学服务[22]．“对”与“错”都是教学 的资源，对于学生说错的话进行分析，并不是浪费时间，因 为这些话反映出学生在认识上的问题，有的甚至具有普遍意 义．通过“不是什么”来说明“是什么”一样有很大的价值．

3 国外学者对学生错误的研究倾向

国外学者关于错误的研究主要经历了两个阶段：

3.1 系统诊断错误并分析原因及提出纠正措施阶段

国外学者对学生数学错误的研究是从对学生算术错误 的诊断开始入手的．美国学者 Buswell 和 Judd 于 1925 年引 用了 30 多项研究对学生算术错误进行诊断，其后，德国、 苏联等国家也开展了关于学生算术错误的研究．这一时期也 出现了关于学生错误的专著，其中较早较有名的专著是

V.M.Bradis，V.L.Minkovskii 和 A.K.Kharcheva’s 于 1938 年

合著出版的《数学推理中的错误》一书．在这本书中共选取 和分析了从小学到高中所学数学知识中的 82 个错误，并将 这些错误分成 6 类，分属于 6 个不同的章节，书中对每一个 错误都具体分析了导致错误的原因，并给出了正确解答．后 来，对错误的分析研究不仅仅局限于对计算错误的研究，而 是不断扩大范围，这主要是由于以下 3 方面的原因[23]：对 于数学标准化测试和成绩取向测试的失望和怀疑引起了对 教学诊断的关注，数学课程的改革也许没有减少现有的困难 和错误，但是它却产生了一些与具体内容紧密相关的错误， 数学的个体教学和区别教学需要对困难熟练的诊断；教师的 教学行为诊断模型里应该有不同的数学知识与教育和社会 心理学的整合；缺少考虑数学教学内容的个性差异的分析很 少能够给教师个性化教学方面提供实际性的帮助，也很少能 够在教师困难诊断和困难治疗方面提供实际性的帮助．在对 数学错误研究的范围不断扩大的情况下，对错误的原因分析 也不再局限于偏重数学知识本身，而开始注意到影响学生错 误的教育心理方面的因素，例如情感和心理．意大利学者 GIORGIO T.BAGNI[24]对学生错误原因的分析比较注重心理 方面中的情感因素，他认为学生出错误的原因主要是以下两 方面：首先，学生喜欢简单的、容易的和著名的方法、思想； 其次，学生害怕困难的东西，害怕题目无解．德国学者 Hendrik Radatz[23]依据信息加工理论的基础，将学生犯错误 的原因划分为 5 个方面：语言困难、空间感知困难、已有知 识或经验的不足、思维僵化（主要包括持续言语的影响，联 想的错误、干扰的错误、同化的错误、负迁移的错误）、不


适当的应用或推广．Brousseau[25]认为在大多数教学情境中， 教学契约在发挥作用，教学契约会影响学生的行为，从而产 生错误．教学契约潜在表明教师期待学生该干什么，学生会 在这种契约的引导下选择自己的方法和所需的知识．因此教 学契约涉及到 3 个元素：教师、学生和知识．教学契约职责 是形成教师和学生之间的互动，而这种互动以知识为媒 介．在教学契约的影响下学生往往认为：学校的题有答案而 且只有一个答案，为了得到这一答案，学生会选择运用所有 的数据，组成适当的算式．比如著名的“船长年龄问题：一 艘船上，有 26 只绵羊，19 只山羊，船长的年龄是多少？” 很多国家的学生都回答：“船长的年龄是 45 岁”．尽管有人 会认为这一问题不符合逻辑或者说没有价值，但事实上虽然 条件不充分，很多学生却给出了并不存在解答方法的答案．

3.2 发现错误的合理性并研究错误的教育功能阶段

美国学者 Erlwanger，Ashlock，Ginsburg 等人对数学学 习中的错误做了研究，而且更强调错误的合理性．他们认为， 从现实的错误类型中可清楚的看出，很多错误是有规律的而 不是偶然的，从学习者身上观察到的一系列错误表明，错误 不是教给的，而是学习者构造了自己特有的概念与程式造成 的[26]．因此，错误它是构成学生学习过程的一个自然的、 不可避免的组成部分．将学生错误合理性的理念应用于教学 的规模性研究，在德国已开始尝试，不仅如此，德国在利用 错误例子作为教学资源方面也有研究．例如，Erica Melis

（Universität des Saarlandes）教授很注重错误案例的教育功 能，指出错误案例的正确运用会激发学生的元认知，并且还 可以引起学生自我解释、反思、探究、批判性的思考．Erica Melis 与自己的同事在德国智能研究中心（DFKI）开发了基 于网络的学习环境 Active math，它是一个用户自主选择的 学习环境，他提供学习内容、一系列学习目标，对学生学习 目标、内容选择、学习阶段等的建议，并及时对学生的学习 情况进行反馈，它的目标就是“开发能够引起学生检测、推 理和改正错误的工具、反馈和练习”．

4 结 论

从国内外学者对错误的研究可以看出，关于错误研究的 领域在不断扩大和深入，人们对错误的理解以及错误原因的 认识也在不断的变化，而且学生错误的合理性逐渐得到一些 数学教育者或者一些一线数学教师的认可．同时，越来越多 的教师也意识到对于错误的研究的目的不仅仅是诊断与治 疗，更应该把错误看作一种有效的教学资源，但是大多研究 者和教师更倾向研究错误对学生学习、掌握知识的有效性， 而忽视错误对教师的教和教师自身知识观、数学观的重大影 响．总之，学生的错误是值得我们研究的，尤其是导致学生 错误的原因和价值还需要进一步的深入研究．

［参 考 文 献］

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Research Overview about Students’ Errors

GAO Shu-zhu, XUE Lian-xia

(Primary Education College, Capital Normal University, Beijing 100037, China)

Abstract: The research on pupils’ mathematical errors can not only motivate pupils find the reason of errors but also help teachers develop their own beliefs about knowledge and education. As the research on pupils’ mathematical errors extended, there are more new points of view on errors and its reasons, and the reasonability of pupils’ errors comes to be received by some mathematical educators and instructors. Many instructors come to realize the importance of research on errors is not only remedy and diagnosis but also a resource of instructional practice.

Key words: error; students’ error; agreement of teaching

[责任编校：陈隽]