解一元二次方程(配方法).doc

解一元二次方程(配方法)
教学内容
间接即通过变形运用开平方法降次解方程．
教学目标
理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．
通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．
重难点关键
1．重点：讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．
2．难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．
教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们解下列方程
（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9
老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得
x=±或mx+n=±（p≥0）．
如：4x2+16x+16=（2x+4）2
二、探索新知
列出下面二个问题的方程并回答：
（1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？
（2）能否直接用上面三个方程的解法呢？
问题1：印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起”．
大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是12，那么猴子总数是多少？你能解决这个问题吗？
问题2：如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m2，道路的宽为多少？

老师点评：问题1：设总共有x只猴子，根据题意，得：
x=（x）2+12
整理得：x2-64x+768=0
问题2：设道路的宽为x，则可列方程：（20-x）（32-2x）=500
整理，得：x2-36x+70=0
（1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有．
（2）不能．
既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：
x2-64x+768=0 移项→ x=2-64x=-768
两边加（）2使左边配成x2+2bx+b2的形式 → x2-64x+322=-768+1024
左边写成平方形式 → （x-32）2=256 降次→x-32=±16 即 x-32=16或x-32=-16
解一次方程→x1=48，x2=16
可以验证：x1=48，x2=16都是方程的根，所以共有16只或48只猴子．
学生活动：
例1．按以上的方程完成x2-36x+70=0的解题．
老师点评：x2-36x=-70，x2-36x+182=-70+324，（x-18）2=254，x-18=±，x-18=或x-18=-，x1≈34，x2≈2．
可以验证x1≈34，x2≈2都是原方程的根，但x≈34不合题意，所以道路的宽应为2．
例2．解下列关于x的方程
（1）x2+2x-35=0 （2）2x2-4x-1=0
分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上．
解：（1）x2-2x=35 x2-2x+12=35+1 （x-1）2=36 x-1=±6
x-1=6，x-1=-6
x1=7，x2=-5
可以，验证x1=7，x2=-5都是x2+2x-35=0的两根．
（2）x2-2x-=0 x2-2x=
x2-2x+12=+1 （x-1）2=
x-1=±即x-1=，x-1=-
x1=1+，x2=1-
可以验证：x1=1+，x2=1-都是方程的根．
三、巩固练习
讨论改为课堂练习，并说明理由．
练习1 2．（1）、（2）．
四、应用拓展
例3．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．

分析：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．根据已知列出等式．
解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
根据题意，得：（8-x）（6-x）=××8×6
整理，得：x2-14x+24=0
（x-7）2=25即x1=12，x2=2
x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去．
所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
五、归纳小结
本节课应掌握：
左边不含有x的完全平方形式，左边是非负数的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．
六、布置作业
复习巩固2．