计算机仿真技术与CAD基于MATLAB的控制系统辅助设计.pptx

1 控制系统的设计，就是在系统中引入适当的环节，用以对原有系统的某些性能进行校正，使之达到理想的效果，故又称为系统的校正，下面介绍几种常用的系统校正方法的计算机辅助设计实现。28.1 频率法的串联校正方法l 应用频率法对系统进行校正，其目的是改变系统的频率特性形状，使校正后的系统频率特性具有合适的低频、中频和高频特性以及足够的稳定裕量，从而满足所要求的性能指标。l控制系统中常用的串联校正装置是带有单零点与单极点的滤波器，若其零点比极点更靠近原点，则称之为超前校正，否则称之为滞后校正。38.1.1 基于频率响应法的串联超前校正l1.超前校正装置的特性l设超前校正装置的传递函数为l其频率特性为4(1)极坐标图l 超前校正装置的极坐标图如图8-2所示。l当0变化时，Gc(j)的相位角 0，Gc(j)的轨迹为一半圆，由图可得超前校正的最大超前相位角m为l (8-3)l令l l可得对应于最大相位角m时的频率m为5(2)(2)对数坐标图对数坐标图l超前校正装置的对数坐标图如图8-3所示。l当 l l l l由此可见，超前校正装置是一个高通滤波器(高频通过，低频被衰减),它主要能使系统的瞬态响应得到显著改善，而稳态精度的提高则较小。越大，微分作用越强，从而超调量和过渡过程时间等也越小。62.串联超前校正方法l 超前校正装置的主要作用是通过其相位超前效应来改变频率响应曲线的形状，产生足够大的相位超前角,以补偿原来系统中元件造成的过大的相位滞后。因此校正时应使校正装置的最大超前相位角出现在校正后系统的开环剪切频率(幅频特性的交接频率)c处。7利用频率法设计超前校正装置的步骤利用频率法设计超前校正装置的步骤:l(1)根据性能指标对稳态误差系数的要求,确定开环增益k；l(2)利用确定的开环增益k，画出未校正系统的Bode图，并求出其相位裕量r0和幅值裕量kg；l(3)确定为使相位裕量达到要求值，所需增加的超前相位角，即r-r0+.式中 r为要求的相位裕量，是考虑到系统增加串联超前校正装置后系统的剪切频率要向右移而附加的相位角，一般取=515；l(4)令超前校正装置的最大超前相位角=，则由下式可求出校正装置的参数；8l(5)若将校正装置的最大超前相位角处的频率作为校正后系统的剪切频率，则有l即l或l由此可见，未校正系统的幅频特性幅值等于-20lg时的频率即为c；9l(6)根据=c，利用下式求参数Tl(7)画出校正后系统的Bode图，检验性能指标是否已全部达到要求，若不满足要求，可增大值，从第三步起重新计算。l例例8-1 设有一单位反馈系统，其开环传递函数为l要求系统的稳态速度误差系数kv=20(1/s),相位裕量 r500,幅值裕量kg10dB,试确定串联校正装置10l解解 根据l可求出k=40，即l根据串联超前校正的设计步骤，可编写以下m文件。lExample8_1.m11l执行后可得如下结果及图8-4所示曲线lnum/den=l 0.22541 s+1l -l 0.053537 s+1lnum/den=l 9.0165 s+40l -l 0.053537 s3+1.1071 s2+2 sl 校正前：幅值裕量=Inf dB,相位裕量=17.9642 l 校正后：幅值裕量=Inf dB,相位裕量=50.719612l 图8-4 超前校正装置及校正前后系统的伯德图138.1.2 基于频率响应法的串联滞后校正 l1.滞后校正装置的特性l设滞后校正装置的传递函数为l其频率特性为14（1）极坐标图l 滞后校正装置的极坐标图如图8-6所示。由图可知，当=0变化时，Gc(j)的相位角0，Gc(j)的根轨迹为一半圆。l同理可求得最大滞后相位角和对应的频率分别为15（2）对数坐标图l滞后校正装置的对数坐标图如图8-7所示l由此可见，滞后校正装置是一个低通滤波器（低频通过，高频被衰减），且越大，高频衰减越厉害，抗高频干扰性能越好，但使响应速度变慢，故滞后校正能使稳态得到显著提高，但瞬态响应时间却随之而增加，越大，积分作用越强，稳态误差越小。162.2.串联滞后校正方法串联滞后校正方法l 滞后校正装置的主要作用是在高频段造成幅值衰减，降低系统的剪切频率，以便能使系统获得充分的相位裕量，但应同时保证系统在新的剪切频率附近的相频特性曲线变化不大。l利用频率法设计滞后校正装置的步骤利用频率法设计滞后校正装置的步骤:l（1）根据性能指标对稳态误差系数的要求，确定开环增益k；l（2）利用已确定的开环增益k，画出未校正系统的Bode图，并求出其相位裕量r0和幅值裕量kg；17l（3）如未校正系统的相位和幅值裕量不满足要求，寻找一新的剪切频率c，在c处开环传递函数的相位角应满足下式l Go(jc)=-180+r+l式中 r为要求的相角裕量，是为补偿滞后校正装置的相位滞后而附加的相位角，一般取=512；l(4)为使滞后校正装置对系统的相位滞后影响较小（一般限制在512），m应远离c，一般取滞后校正装置 的 第 一 个 交 接 频 率：1=1/T=(1/51/10)c（即mc），此时有|Gc(jc)|=-20lg。1取得愈小，对系统的相位裕量影响愈小，但太小则校正装置的时间常数T将很大，这也是不允许的；18l(5)确定使校正后系统的幅值曲线在新的剪切频率c处下降到0dB所需的衰减量20lg|Go(jc)|，并根据l20lg|Go(jc)Gc(jc)|20lg|Go(jc)|-20lg=0l即 =|Go(jc)|l求出校正装置的参数；l(6)画出校正后系统的Bode图，检验性能指标是否已全部达到要求，若不满足要求，可增大值，从第三步起重新计算。19l例例8-2 设有一单位负反馈系统的开环传递函数为l要求系统的稳态速度误差系数kv=5(1/s)，相位裕量r400，幅值裕量kg10dB，试确定串联校正装置。l解解 根据l可求出k=5，即20根据串联滞后校正的设计步骤，可编写以下根据串联滞后校正的设计步骤，可编写以下mm文件。文件。lex8_2.m21l执行后可得如下结果及图8-8所示曲线。lnum/den=l 8.3842s+1l -l 59.7135s+1lnum/den=l 41.9208s+5l -l 14.9284s4+74.8918s3+60.9635s2+sl校正前：幅值裕量=-3.8573e-015 dB，相位裕量=7.3342e-006l校正后：幅值裕量=15.8574dB，相位裕量=40.655222l图8-8 滞后校正装置及校正前后系统的伯德图238.1.3 基于频率响应法的串联滞后-超前校正l1.滞后-超前校正装置的特性l设滞后-超前校正装置的传递函数为l上式等号右边的第一项产生超前网络的作用，而第二项产生滞后网络的作用。24(1)极坐标图l 滞后-超前校正装置的极坐标图如图8-9所示。l 由图可知，当角频率在00之间变化时,滞后-超前校正装置起着相位滞后校正的作用；当在0之间变化时,它起着超前校正的作用，对应相位角为零的频率0为25（2）对数坐标图l 滞后-超前校正装置的对数坐标图如图8-10所示。从图可清楚看出，当00时滞后-超前校正装置起着相位滞后校正的作用；当0A=-2-1 1;1 0 1;-1 0 1;b=1;1;1;rc=rank(ctrb(A,b);lp=-1,-2,-3;K=acker(A,b,p)l结果显示lK=l -1 2 438l 对 于 多 变 量 系 统 的 极 点 配 置，MATLAB控制系统工具箱中也给出了函数place()，其调用格式为lK=place(A,B,P)l例例8-5 已知系统的状态方程为l 求使状态反馈系统的闭环极点为-2-3,l(-1j3)/2的状态反馈阵K。39l解解 MATLAB程序为 lex8_5.ml执行后得lK=l 32.5923 65.6844 58.8332 46.6557l 55.4594 111.8348 103.6800 81.0239402.部分极点配置l 在一些特定的应用中，有时没有必要去对所有的极点进行重新配置，而只需对其中若干个极点进行配置，使得其他极点保持原来的值，例如若系统开环模型是不稳定的，则可以将那些不稳定的极点配置成稳定的值，而不去改变那些原本稳定的极点。作这样配置的前提条件是原系统没有重极点，这就能保证由系统特征向量构成的矩阵是非奇异的。41l 假设xi为对应于i的特征向量，即A xi=i xi，这样可以对各个特征值构造特征向量矩阵X=x1,x2,xn，由前面的假设可知X矩阵为非奇异的，故可以得出其逆阵T=X-1，且令T的第i个行向量为Ti，且想把i配置到i的位置，则可以定义变量ri=（i-i）/bi，其中bi为向量Tb的第i个分量，这时配置全部的极点，则可以得出状态反馈阵 l 特别地，若不想对哪个极点进行重新配置，则可以将对应的项从上面的求和式子中删除就可以得出相应的状态反馈阵，它能按指定的方式进行极点配置。42l例例8-6 对于例8-4所示系统，实际上只有一个不稳定的极点1,若仅将此极点配置到-5，试采用部分极点配置方法对其进行。l解解 MATLAB程序为lex8_6.ml执行后得l K=l 1.5000 -1.5000 -6.0000438.2.2 状态观测器l1.全维状态观测器的设计极点配置是基于状态反馈，因此状态x必须可量测，当状态不能量测时，则应设计状态观测器来估计状态。l对于系统l若系统完全能观测，则可构造如图8-12所示的状态观测器。4445l由上图可得观测器的状态方程为l即 l其特征多项式为 f（s）=|sI-(A-LC)|l由于工程上要求能比较快速的逼近x，只要调整反馈阵L，观测器的极点就可以任意配置达到要求的性能，所以，观测器的设计与状态反馈极点配置的设计类似。46l假 定 单 变 量 系 统 所 要 求 的 n个 观 测 器 的 极 点 为1,2,n，则可求出期望的状态观测器的特征方程为l f*(s)=(-1)(-2)(-n)=sn+a1sn-1+anl这时可求得反馈阵L为l式中 ，,f*（A）是将系统期望的观测器特征方程l中s换成系统矩阵A后的矩阵多项式。47l 利用对偶原理，可使设计问题大为简化，求解过程如下：l首先构造系统式(8-14)的对偶系统l (8-15)l然后，根据下式可求得状态观测器的反馈阵L。l LT=acker(AT,CT,P)l或 LT=place(AT,CT,P)l其中 P为给定的极点，L为状态观测器的反馈阵。48l例例8-7 已知开环系统l其中l设计全维状态观测器，使观测器的闭环极点为l-2j23,-5。49l解解 为求出状态观测器的反馈阵L，先为原系统构造一对偶系统。l然后采用极点配置方法对对偶系统进行闭环极点位置的配置，得到反馈阵K，从而可由对偶原理得到原系统的状态观测器的反馈阵L。lMATLAB程序为lex8_750l执行后得lThe Rank of Obstrabilaty Matrixlr0=l 3lL=l 3.0000l 7.0000l -1.0000l由于rankr0=3，所以系统能观测，因此可设计全维状态观测器。512.降维观测器的设计l 前面所讨论的状态观测器的维数和被控系统的维数相同，故称为全维观测器，实际上系统的输出y总是能够观测的。因此，可以利用系统的输出量y来直接产生部分状态变量，从而降低观测器的维数。假设系统是完全能观测器，若状态x为n维，输出y为m维，由于y是可量测的，因此只需对n-m个状态进行观测，也就是说用(n-m)维的状态观测器可以代替全维观测器，这样观测器的结构可以大大简化。528.2.3 带状态观测器的状态反馈系统 状态观测器解决了受控系统的状态重构问题，为那些状态变量不能直接量测得到的系统实现状态反馈创造了条件。带状态观测器的状态反馈系统由三部分组成，即原系统、观测器和控制器，图8-13是一个带有全维观测器的状态反馈系统。5354l设能控能观测的受控系统为l （8-21）l状态反馈控制律为l （8-22）l状态观测器方程为l （8-23）l由以上三式可得闭环系统的状态空间表达式为55l 可以证明，由观测器构成的状态反馈闭环系统，其特征多项式等于状态反馈部分的特征多项式|sI-(A-BK)|和观测器部分的特征多项式|sI-(A-LC)|的乘积，而且两者相互独立。因此，只要系统0(A,B,C)能控能观测，则系统的状态反馈阵K和观测器反馈阵L可分别根据各自的要求，独立进行配置，这种性质被称为分离特性。l同理，用降维观测器构成的反馈系统也具有分离特性56l例例8-9 已知开环系统l设计状态反馈使闭环极点为-1.8j2.4，而且状态不可量测，因此设计状态观测器使其闭环极点为-8,-8。l解解 状态反馈和状态观测器的设计分开进行，状态观测器的设计借助于对偶原理。在设计之前，应先判别系统的能控性和能观测性，MATLAB的程序为l ex8_9.m57l执行后得lThe rank of Controllability Matrixlrc=l 2lThe rank of Observability Matrixlro=l 2lK=l 29.6000 3.6000lL=l 16.0000l 84.6000588.2.4 离散系统的极点配置和状态观测器的设计l 离散系统的极点配置和状态观测器的设计的求解过程与连续系统基本相同，在MATLAB中，可直接采用工具箱中的place()和acker()函数进行设计，这里不在赘述。598.2.5 系统解耦l 在多变量系统中，如果传递函数阵不是对角矩阵，则不同的输入与输出之间存在着耦合，即第i输入不但会对第i输出有影响，而且还会影响到其他的输出，就给控制系统的设计造成了很大的麻烦，故在多变量控制系统的设计中就出现了解耦控制方法。60l假设控制系统的状态空间表达式为l (8-25)l其中 A:nn;B:nr;C:mn;D:mrl引入状态反馈l (8-26)l其中 R为r1参考输入向量，在解耦控制中实际还应要求r=m，亦即系统的输入个数等于输出个数，这时闭环系统的传递函数矩阵可以写成61l若闭环系统的mr矩阵G(s)为对角的非奇异矩阵，则称该系统是动态解耦的系统，若G(0)为对角非奇异矩阵，且系统为稳定的，则称该系统是静态解耦的。l在给定的控制结构下，若系统的D矩阵为0，则闭环传递函数阵G(s)可以简化成l (8-28)62l 由上式可见，若H矩阵为奇异矩阵，则G(s)矩阵必为奇异的，所以为使得系统可以解耦，首先应该要求H为非奇异矩阵。l对于给顶系统,状态方程可以写成为l其中63l首先这里将给出能解耦的条件：可以证明，若按下面方法生成的矩阵B*为非奇异的，若取H=(B*)-1，则由前面给出的控制格式得出的系统能解耦原系统。l （8-29）l式中 C,C,Cm为C矩阵的行向量，参数d,d,dm是在保证B为非奇异的前提下任选区间0,n-1上的整数。若确定了di参数，则可以直接获得解耦矩阵64l例例8-11 对如下系统进行解耦l解解 MATLAB程序为lExample8_11.m65l执行后可得lH=l 1.0000 0l -1.3333 0.3333lK=l -1.0000 0 0l 1.6667 1.3333 3.0000ln1=l 0 1.0000 -0.0000 -0.0000l 0 0.0000 0.0000 0.0000ld1=l 1.0000 -0.0000 -0.0000 0ln2=l 0 0 0 0l 0 0.0000 1.0000 0ld2=l 1.0000 -0.0000 -0.0000 066l亦即系统解偶后的传递函数阵为ll 解耦控制系统的目的是将原模型变换成解耦的模型，而并不必去考虑变换之后的响应品质，因为响应品质这类问题可以在解耦之后按照单变量系统进行设计补偿，单回路的设计当然可以采用单变量系统的各种方法，例如可以采用超前滞后补偿，PI设计以及PID设计等，并能保证这样设计出来的控制器不会去影响其他回路。678.2.6 状态估计器或观测器l假设控制系统的状态空间表达式为l函数estim()将生成下述状态和输出估计器68l在MATLAB中，函数estim()的调用格式如下lest=estim(A,B,C,D,L)l其中 A,B,C,D为系统系数矩阵，L为状态估计增益矩阵。状态估计增益矩阵L可由极点配置函数place()形成，或者由Kalman滤波函数kalman生成。利用以上命令可生成给定增益矩阵L下的状态空间模型A,B,C,D的输出估计器est。69l例例8-13 利用例8-7所得的状态观测器的反馈阵L，求其系统的状态估计器。l解解 MATLAB程序为lA=0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6;b=0;0;1;C=1 0 0;l L=3;7;-1lest=estim(A,b,C,0,L)l执行后得lest=l -3.0000 1.0000 0l -7.0000 0 1.0000l -5.0000 -11.0000 -6.0000708.2.7 系统控制器l假设控制系统的状态空间表达式为l利用函数reg()可生成下述控制器71l在MATLAB中，函数reg()的调用格式为lest=reg(A,B,C,D,K,L)l其中 A,B,C,D为系统系数矩阵，K为状态反馈增益矩阵，L为状态估计增益矩阵。利用以上命令可生成给定状态反馈增益矩阵K及状态估计增益矩阵L下的状态空间模型A,B,C,D的控制器est。假定系统的所有输出可测。72l例例8-14 利用例8-7所得的状态观测器的反馈阵L，求其系统的控制器。假设状态反馈阵K=-1 2 4。l解解 MATLAB程序为lA=0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6;b=0;0;1;C=1 0 0;lK=-1 2 4;lL=3;7;-1lest=reg(A,b,C,0,K,L)l执行后得l est=l -3 1 0l -7 0 1l -4 -13 -10738.3 最优控制系统设计 MATLAB控制系统工具箱中也提供了很多函数用来进行系统的最优控制设计，相关函数如表8-3所示。748.3.1 8.3.1 状态反馈的线性二次型最优控制状态反馈的线性二次型最优控制l设线性定常系统的状态空间表达式为l (8-31)l式中 A:nn;B:nr;C:mnl并设目标函数为二次型性能指标l (8-32)l式中 Q(t)为nn半正定实对称矩阵，R(t)为rr正定实对称矩阵。一般情况下，假定这两个矩阵为定常矩阵，它们分别决定了系统暂态误差与控制能量消耗之间的相对重要性。S为对称半正定终端的加权阵，它为常数。75l 当x(tf)值固定时，则为终端控制问题，特别是当x(tf)0 时，则为调节器问题；当t0,tf均固定时，则为暂态过程最优控制。l 最优控制问题是为给定的线性系统式（8-31）寻找一个最优控制律u*(t)，使系统从初始状态x(t0)转移到终端状态x(tf)，且满足性能指标式（8-32）最小。它可以用变分法、极大值原理和动态规划等三种方法中的任一种求解。这里我们采用极大值原理求解u*(t)。76l MATLAB的控制系统工具箱中也提供了完整的解决线性二次型最优控制的函数，其中命令lqr()和lqry()可以直接求解二次型调节器问题及相关的Riccati方程，它们的调用格式分别为l K,P,r=lqr(A,B,Q,R)(8-43)l和 K,P,r=lqry(A,B,C,D,Q,R)(8-44)l其中 矩阵A,B,C,D,Q,R的意义是相当明显的，返回的K矩阵为状态反馈矩阵，P为Riccati方程解，r为A-BK的特征值。lqry()命令用于求解二次调节器问题的特例，即目标函数中用输出y来代替状态x，则目标函数为77l例例8-15 已知系统的状态空间表达式为l试求使得性能指标l为最小的最优控制u=-Ku的反馈增益矩阵K。l其中78l解解 MATLAB程序为lex8_15.m79l执行后得如下结果和如图8-15所示的阶跃响应曲线。lK=l 10.0000 8.4223 2.1812lP=l 104.2225 51.8117 10.0000l 51.8117 37.9995 8.4223l 10.0000 8.4223 2.1812lr=l -2.6878 l -1.2467+1.4718il -1.2467-1.4718i80l 图8-15 闭环系统输出和状态的阶跃响应曲线l 由此构成的闭环系统的三个极点均位于s 的左半平面，因而系统是稳定的。实际上，由最优控制构成的闭环系统都是稳定的，因为它们是基于Lyapunov稳定性理论进行设计的。818.3.2 输出反馈的线性二次型最优控制l 在很多情况下想采用输出量而不是状态变量或其观测值来作二次型指标最优控制，这样就需要对前面的线性二次型（LQ）算法进行修正。l假设引入输出最优反馈控制lu(t)=-K0y(t)=-K0Cx(t)l 则最优反馈阵K0应该使得A-B K0C为渐进稳定矩阵，且K0可以根据下式求得lK0R-1BTPZCT(CZCT)-1l其中 P,Z矩阵分别满足l P(A-BKoC)+(A-BKoC)TP+CTKToRKoC+Q=0l Z(A-BKoC)T+(A-BKoC)Z+In=082l显然求解Ko需要涉及迭代过程，可根据上面算法由MATLAB编写出下面的函数来求取基于输出的二次型最优控制输出反馈矩阵Ko。loutlqr.m83l 在这里收敛条件为K0-K1y=step(A,B,C,D,1,t);plot(t,y)l可见最优控制施加之后该系统的响应有了明显的改善，还可通过调节Q和R加权矩阵的方法进一步改善系统输出响应。