牛吃草问题简介.doc

牛吃草问题简介：

“一堆草可供10头牛吃4天，那么这堆草可供8头牛吃几天？”
这个问题很简单，因为草的总量没有变，所以可以得到10×4÷8=5（天）。
但是，若问题中的“一堆草”改成“一片正在生长的草地”，问题就没有这么简单了，因为草的总量是在变化的。
像这类工作总量不固定但匀速增长的问题称为牛吃草问题。

举个例子：
牧场上有一片均匀生长的牧草，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周。那么它可供21头牛吃几周？

这类问题最早出现在英国伟大的科学家牛顿所著的《普通算术》一书中，所以被后人称为“牛顿问题”，或“牛吃草”问题。

问题分析：

解答这类问题，困难在于草的总量在变，它每天、每周都在均匀地生长，时间越长，草的总量越多。
草的总量可以分成两个部分：（1）原有的草量；（2）某段时间内新生长的草量。
因此，必须设法找出这两个量来。
下面就以上面的题目为例进行分析。请看下图：

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2011-2-15 15:24

从上面的线段图可以看出23头牛9周的总草量比27头牛6周的总草量多，多出部分相当于3周新生长的草量。为了求出一周新生长的草量，就要进行转化。
我们假设1头牛1周吃掉的草量为1个单位，则：
27头牛6周吃掉的草量为27×6=162个单位；
23头牛9周吃掉的草量为23×9=207个单位。
这样一来，就可以知道每周生长的草量为：（207-162）÷（9-6）=15个单位。
进而，我们可以知道，原有草量为：27×6-15×6=72个单位（参考示意图）。
最后，我们来解决题目中提出的问题，这片草可供21头牛吃几周？
解决这个问题相当于把21头牛分成两部分：一部分看成专吃原有的草，另一部分专吃新生长的草。
但是新生长的草只能维持15头牛每周的吃草量，而且可以保持平衡。
故分出15头牛吃新生长的草，另一部分21-15=6（头）牛去吃原有的草。
所以这片草够吃72÷6=12（周），也就是说这片草可供21头牛吃12周。

“牛吃草”问题解题步骤

通过上面的分析，我们可以把牛吃草问题的解题步骤归纳为一下几步：
（1）设定1头牛1天（或1周，看题目而定）吃草量为1个单位；
（2）草的生长速度=（对应牛的头数×较多的天数-对应牛的头数×较少的天数）÷（较多的天数-较少的天数）；
（3）原有草量=对应牛的头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数；
（4）吃的天数=原有草量÷（牛的头数-草的生长速度）。

练习
（解析见  奥数专题——“牛吃草”问题四）
1、牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，或可供15头牛吃10天，那么可供25头牛吃多少天？

2、一块长满草的牧场，草每天都在匀速生长，这块牧场可供8头牛吃30天，或可供40只羊吃20天，如果1头牛每天吃草量是羊每天吃的4倍，那么21头牛和12只羊一起吃，可以吃多少天？