极坐标和参数方程.doc

2012个性化辅导教案
教师姓名
陈峰
学生姓名

教材版本
新课标人教版
学科名称
数学
年 级
高三
上课时间

课题名称
极坐标和参数方程
教学目标
参数方程和普通方程之间的互化，会利用参数解决各种轨迹问题和最值问题
教学重点
设参、消参的方法，极坐标和直角坐标之间的转换。
教 学 过 程
备 注
一、极坐标方程与直角坐标方程的互化
互化条件：极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，长度单位相同.
互化公式： 或
θ的象限由点(x,y)所在的象限确定.
1、⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为，．
(I)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(II)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．

2、以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若椭圆两焦点的极坐标分别是(1,),(1,),长轴长是4,则此椭圆的直角坐标方程是_______________.
3、曲线的极坐标方程=4sin化成直角坐标方程为
(A) x2+(y+2)2=4 (B) x2+(y-2)2=4
(C) (x-2)2+y2=4 (D) (x+2)2+y2=4
4、已知某曲线的参数方程是(为参数)若以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,长度单位不变，建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是
(A) (B) (C) (D)
二、已知曲线的极坐标方程,判断曲线类型
常见的直线和圆的极坐标方程及极坐标系中的旋转不变性:
1、直线的极坐标方程(a>0)
(1)过极点,并且与极轴成α角的直线的极坐标方程:=α;
(2)垂直于极轴和极点间的距离为a的直线的极坐标方程:cos=a;
(3)平行于极轴和极轴间的距离为a的直线的极坐标方程:sin=a;
(4)不过极点,和极轴成角,到极点距离为a的直线的极坐标方程:
sin(α-θ)=a.
2、圆的极坐标方程(a>0)
(1)圆心在极点,半径为a的圆的极坐标方程: =a;
(2)圆心在(a,0),半径为a的圆的极坐标方程: =2acos;
(3)圆心在(a,),半径为a的圆的极坐标方程: =;
(4)圆心在(a,),半径为a的圆的极坐标方程: =2asin;
(5)圆心在(a,),半径为a的圆的极坐标方程: =;
(6)圆心在(a, 0),半径为a的圆的极坐标方程: =2acos(-0).
3、极坐标系中的旋转不变性:
曲线f(,+)=0是将曲线f(,)=0绕极点旋转||角(时,按顺
时针方向旋转,时,按逆时针方向旋转)而得到.
1、极坐标方程4sin2=5所表示的曲线是
(A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线的一支 (D)抛物线
2、极坐标方程=sin+2cos所表示的曲线是
(A)直线 (B)圆 (C)双曲线 (D) 抛物线
3、极坐标方程表示的曲线是
(A) 圆 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)双曲线
4、极坐标方程表示的曲线为（ ）
A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆
三、求曲线的交点坐标
1、已知曲线的极坐标方程分别为，，则曲线与交点的极坐标为 ．
2、在极坐标系下，已知圆和直线。
（1）求圆和直线的直角坐标方程；
（2）当时，求直线于圆公共点的极坐标。

四、根据条件求直线和圆的极坐标方程
1、在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos（）=1，M,N分别为C与x轴，y轴的交点。
（1）写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标；
（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。

2、在极坐标系中，已知圆的圆心坐标为，半径，求圆的极坐标方程。

3、在极坐标方程中,过点M(2,)且平行于极轴的直线的极坐标方程是_______.
4、已知点P的极坐标为(1,),那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为
(A)=1 (B)=cos (C)= (D)=
5、以极坐标系中点(1,1)为圆心,1为半径的圆的方程是
(A)=2cos(-) (B)=2sin(-) (C)=2cos(-1) (D)=2sin(-1)
五、求距离
1、在极坐标系中，直线的方程为ρsinθ=3，则点(2,)到直线的距离为___________.
2、极坐标方程分别是=cos和=sin的两个圆的圆心距是
(A) 2 (B) (C) 1 (D)
3、已知直线的极坐标方程为sin(+)=,则极点到该直线的距离是_______.
六、求三角形面积
1、在极坐标系中，由三条直线，，围成图形的面积是________.
高考题：
1、已知曲线C： （t为参数）， C：（为参数）。
（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线
（t为参数）距离的最小值。

2、坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos（）=1，M,N分别为C与x轴，y轴的交点。
（1）写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标；
（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。

3、已知直线l:3x+4y-12=0与圆C: (为参数 )试判断他们的公共点个数

4、直线: （t为参数），圆: (为参数)，
（Ⅰ)当=时，求与的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点O作的垂线，垂足为A,P为OA的中点，当变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线;

5、已知P为半圆C：（为参数，）上的点，点A的坐标为（1,0），为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为.
（Ⅰ）以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；
（Ⅱ）求直线AM的参数方程.

6、在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为.
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C与直线交于点A、B，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|.

7、在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 (α为参数)
M是C1上的动点，P点满足，P点的轨迹为曲线C2.
(1)求C2的方程；
(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.

8、在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 (φ为参数)，曲线C2的参数方程为(a＞b＞0，φ为参数)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α与C1，C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝时，这两个交点重合．
(1)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；
(2)设当α＝时，l与C1、C2的交点分别为A1，B1，当α＝时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．

9、在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为 (α为参数)．
①已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为(4，)，判断点P与直线l的位置关系；
②设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

10、在平面直角坐标系中，动点P的坐标（x,y）满足方程组：

（1）      若k为参数，为常数（），求P点轨迹的焦点坐标。
（2）      若为参数，k为非零常数，则P点轨迹上任意两点间的距离是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由。

练习：
一．选择题（每题5分共60分）
1．设椭圆的参数方程为，，是椭圆上两点，M，N对应的参数为且，则
A． B． C． D．
2.直线：3x-4y-9=0与圆：，(θ为参数)的位置关系是( )
A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心
3.经过点M(1，5)且倾斜角为的直线，以定点M到动 点P的位移t为参数的参数方程是( )
A. B. C. D.
4.参数方程 (t为参数)所表示的曲线是 ( )
A.一条射线 B.两条射线 C.一条直线 D.两条直线
5．若动点(x,y)在曲线(b>0)上变化，则x2+2y的最大值为
(A) ； (B) ；(C) (D) 2b。
6．实数x、y满足3x2＋2y2=6x，则x2＋y2的最大值为（ ）
A、 　　B、4 C、　D、5
7．曲线的参数方程为(t是参数)，则曲线是
A、线段　　 B、双曲线的一支　　 C、圆　　 D、射线
8． 已知动园：，则圆心的轨迹是
A、直线　　　 B、圆　　　　 C、抛物线的一部分　　　　 D、椭圆
9． 在参数方程（t为参数）所表示的曲线上有B、C两点，它们对应的参数值分别为t1、t2，则线段BC的中点M对应的参数值是

10．设,那么直线与圆的位置关系是
A、相交　　　　 B、相切　　　　 C、相离　　　　 D、视的大小而定
11． 下列参数方程（t为参数）中与普通方程x2-y=0表示同一曲线的是

12．已知过曲线上一点P，原点为O，直线PO的倾斜角为，则P点坐标是
A、（3，4）　　 B、　　 C、(-3，-4)　　　 D、
二．填空题（每题5分共25分）
13．过抛物线y2=4x的焦点作倾斜角为的弦，若弦长不超过8，则的取值范围是________________________________。
14．直线上与点距离等于的点的坐标是
15．圆锥曲线的准线方程是
16．直线过点，倾斜角是，且与直线交于，则的长为
17．曲线（α为参数）与曲线（β为参数）的离心率分别为e1和e2，则e1＋e2的最小值为_______________.

三．解答题（共65分
18．

19．已知方程。
（1）试证：不论如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线；
（2）为何值时，该抛物线在直线x=14上截得的弦最长？并求出此弦长。

20．已知椭圆上两个相邻顶点为A、C，又B、D为椭圆上的两个动点，且B、D分别在直线AC的两旁，求四边形ABCD面积的最大值。

21.已知过点P(1，-2)，倾斜角为的直线l和抛物线x2=y+m
(1)m取何值时，直线l和抛物线交于两点?
(2)m取何值时，直线l被抛物线截下的线段长为.

课后小结
上课情况：
课后需再巩固的内容：
配合需求
家 长

学管师

学科组长审批

教研主任审批

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