垂直于弦的直径-教学设计.doc

《垂直于弦的直径》教学设计
莲塘第六中学
熊平
【教学内容】垂直于弦的直径
【教学目标】
1、 知识与技能：①理解圆的轴对称性
②掌握垂径定理及其推论的内容
③学会运用定理解决有关的证明、计算
2、过程与方法：①经历垂径定理的探索和推理证明过程，让学生体会数学活动充满探索与创造。
②培养学生的观察、猜想、概括、推理等逻辑思维能力
3、情感态度与价值观：①在观察、发现、探索等活动中，感受数学来源于生活又服务于生活。
②通过赵州桥的图片及问题，使学生增强民族自豪感和振兴中华的使命感。
【教学重点】垂径定理及其应用。
【教学难点】对垂径定理及其推论进行证明。
【教学方法】直观演示法、引导发现法。
【教具准备】自制的圆形纸片、自制课件、三角板、圆规。
【教学设计】
一、创设情境，设疑激趣：
我们大家都知道世界闻名的赵州桥吧！（多媒体出示图片）它是1300年前隋代建造的圆弧形石拱桥，是我国劳动人民勤劳和智慧的结晶。去年暑假，小明和爸爸妈妈参加游览了赵州桥。在参观的过程中遇到这样一个问题：有位游人问小明，如果知道赵州桥桥的跨度（也就是弧所对的弦的长）和石桥桥拱的高度，能求出主桥拱所在圆的半径吗？小明想了很久，也没得到答案。同学们！你们愿意帮助小明解决这个问题吗？（想）今天就让我们一起来研究和探索圆中《垂直于弦的直径》（板书课题）
设计意图：以生活中的实际问题创设情境，如一石激起千层浪，激发学生学习的热情，也培养了学生战胜困难、解决问题的信心和勇气。同时展示赵州桥的图片及在历史上所占的地位，增强了学生的民族自信心和自豪感。
二、动手实践，发现定理：
1、实践活动、归纳性质
学生用手中准备好的剪刀在纸片上剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此可以得到什么结论？通过学生动手活动，从而得到圆的一条性质：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
设计意图：鼓励学生动手实践操作、亲身经历数学活动，通过学生间的自主学习、合作交流从而获得结论，培养学生的探究意识。
2、观察思考，得到猜想
教师课件出示两幅图片，引导学生观察：
有有什么不一样？

B
.
O
C
A
E
D
O
.
C
A
E
B
D

看一看有什么不同的地方？（弦AB的位置不同）
猜想：线段AE与BE的长度关系如何？
通过学生观察、小组讨论、获得猜想：
第一幅图：直径CD不垂直于弦AB,AE≠BE，弧AB≠弧BE
第二幅图：直径CD垂直于弦AB时，AE=BE,弧AE=弧BE
三、证明猜想，得到定理及推论：
教师多媒体出示思考题：
如图，在⊙O中，CD是直径,AB是弦，CD⊥AB，垂足为E，
（1） 下图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2） 你能发现图中有哪些相等的线段和弧，为什么？

同桌之间互相合作、讨论交流，可以通过图形叠合法和证明三角形全等得到结论。于是引导学生归纳总结垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
为了更好地理解和把握垂径定理的内容，接着引导分析定理的题设和结论。
题设 结论
（1）过圆心 （1）平分弦
（2）平分弦所对的优弧
（2）垂直于弦 （3）平分弦所对的劣弧
由题设和结论的相互关系，进而得到定理的推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
设计意图：充分利用了教具的直观性，用叠合法有力地启发学生，使学生思维逐步展开，突出知识的产生过程，教会学生动手做、动眼看、动脑想、动口说，突破了本课的教学难点，为达到教学目标奠定了基础。
四、巩固练习、测评反馈：
为了及时巩固，帮助学生所学定理的理解和运用，我根据学生的实际情况设计了两个有梯度的练习题，让学生尝试解答。
（1）试一试：
如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。

（2） 练一练：
已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证：AC=BD

这两道题是垂径定理的简单应用。学生探究解答后，教师抓住机会因势利导，上面的两道例题给我们什么启示？在学生发表见解的情况下总结归纳：
（1） 圆中有关弦、半径的问题通常利用垂径定理来解决。
（2） 重要的辅助线是连接半径，过圆心作弦的垂线构造直角三角形，结合垂径定理与直角三角形的有关知识解决问题。
设计意图：两道有梯度的练习题由浅入深，考察了学生对定理的理解和掌握程度。通过学生间的讨论交流，培养学生应用垂径定理解决问题的能力。
五、实际应用、拓展升华：
1、解决课前提出的赵州桥主桥拱半径问题。在探索的过程中，帮助引导学生将实际问题转化为数学模型，然后学生自主练习，应用垂径定理解决问题。
2、出示生活中的数学问题：
在直径为650mm的 圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB=600mm,求油的最大深度。
E
D
┌
ø 650
600

设计意图：通过两个生活中的实际问题，一是让学生感受数学与现实生活的联系，培养学生的应用意识。二是在解决问题时帮助学生建立数学模型，从而提高他们的转化能力，通过问题的解决，让学生体验到了成功的喜悦。
六、课堂小结：
通过这节课的学习，我们不但了解了垂径定理及其推论、而且还了解了圆在生活中的广泛应用。再学习的过正中，知道了赵州桥是世界建桥史上的一个奇迹，凝聚了中国人民的勤劳和智慧是中国人民的骄傲。并且利用所学的知识算出了主桥拱的半径，可见数学就在生活中，让我们共同学好数学用我们的聪明才智创造美好的明天。
七、作业布置：
教材P88页练习1、2题

板 书 设 计

24．1．2垂直于弦的直径
一、垂径定理：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

题设 结论
（1）过圆心 （1）平分弦
（2）平分弦所对的优弧
（2）垂直于弦 （3）平分弦所对的劣弧

二、推论：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。