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Matlab在优化设计中的应用
摘 要
常见的优化问题包括线性规划、无约束优化、约束优化、最下二乘优化、多目标规划等。本文研究了matlab在这些常见优化问题中的应用及求解。
在进行研究本课题之前，我们先通过网络、电子书刊等各种有效渠道获取我们所需信息，在充分了解与熟练掌握了各种优化问题的具体特点及性质后，我们给出了关于如何用matlab进行多类优化问题的求解基本方法，在此前提下，为了体现该软件在这些优化领域的实际应用效果，我们结合若干个优化问题的实例进行分析、建模、以及运用matlab编程求解，在求解过程中，通过得到的精确数据和反应结果的图例，我们了解到matlab工具箱的功能强大，是处理优化问题的非常方便的编程工具。

关键词：matlab 优化问题
二、基本概念
2.1.1 线性规划
线性规划是优化的一个重要分支。它在理论和算法上都比较成熟，在实际中有广泛的应用。例如数学表达形式：

在MTLAB提供的优化工具箱中，解决规划的命令是,它的调用格式如下，

求解下列形式的线性规划：

求解下面形式的线性规划：

若没有不等式约束，则只需命令
。

求解下面形式的线性规划：

若没有不等式约束，则只需令；若只有下界约束，则可以不用输入。
2.1.2 无约束优化算法
对于无约束优化问题，已经有许多有效的算法。这些算法基本都是迭代法，它们都遵循下面的步骤：
① 选取初始点x0 ，一般来说初始点越靠近最优解越好；
② 如果当前迭代点xk不是原问题的最优解，那么就需要找一个搜索方向pk，使得目标函数f（x）从xk出发，沿方向pk有所下降；
③ 用适当的方法选择步长ak（≥0），得到下一个迭代点xk+1=xk+akpk；
④ 检验新的迭代点xk+1是否为原问题的最优解，或者是否与最优解的近似误差满足预先给定的容忍度。
2.1.3单变量约束优化问题
单变量约束优化问题的标准形式为

即为求目标函数在区间（a，b）上的极小点。
2.1.4 最小二乘法优化
最小二乘优化时一类非常特殊的优化问题，它在实际中，尤其是在处理一些曲线拟合问题、线性方程组无解时的近似解等问题，用的非常多。
最小二乘优化问题的目标函数一般为若干个函数的平方和，即：

2.1.5多目标规划问题

在大多数的优化、中，都将多目标规划的一般形式表述为：

其中，、、既可以为线性函数，也可以为非线性函数。

三、基本方法
对于解决那些常见优化问题，基本思路将在解题的过程中得到体现。我们给出具体一些建模实例来体现基本算法：

3.1就下列命令求下面分段函数的极小值点。

解：首先编写目标函数的M文件如下：

然后为了分析直观，利用MTLAB画出目标函数的图像，步骤如下：
>> x=-5:0.01:5;
>> n=length(x)

n =

1001

>> for i=1:1001
y(i)=example8_7(x(i));
end

3.2 对于下面的线性规划问题：
min –x1-3x2
s.t.
先利用图解法求其最优解，然后利用优化工具箱中的linprog命令求解。
解 〈图解法〉
先利用MATLAB 画出该线性规划的可行集及目标函数等值线：
>>clear
>>syms x1 x2
>>f=-x1-3*x2;
>>c1=x1+x2-6;
>>c2=-x1+2*x2-8;
>>ezcontourf(f)
>>axis([0 6 0 6])
>>hold on
>>ezplot(c1)
>>ezplot(c2)
>>legend('f等值线','x1+x2-6=0','-x1+2*x2-8=0')
>>title('利用图解法求线性规划问题'）
>>gtext('x')
运行结果如下图：

从上图中可以看出可行集的顶点x（4/3,14/3）即为线性规划的最优解，它也是两个线性约束的交点。

3.3求解下面的最小二乘优化问题：

其中

程序输入及结果
>> clear
A=[1 2 1;-2 1 3];
b=[1 1]';
C=[0 -1 2;1 0 -1;-3 2 0];
d=[1 0 1]';
lb=[-5 -5 -2]';
ub=[5 5 2]';
Aeq=[];beq=[];
[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda]=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
Warning:Large-scale method can handle bound constraints only;
switching to medium-scale method.
Warning: Large-scale method can handle bound constraints only;
using medium-scale method instead.
> In lsqlin at 249
Optimization terminated.

x = %最优解

-0.4578
-0.3133
0.1325

resnorm = %残差向量2-范数的平方，即reanorm=norm（residual）^2

0.5904

residual = %残差向量

-0.4217
-0.5904
-0.2530

exitflag =

1 %函数收敛到最优解

output =

iterations: 4 %迭代4次
algorithm: 'medium-scale: active-set' %调用的积极集算法
firstorderopt: []
cgiterations: []
message: 'Optimization terminated.'

lambda = %Lagrange 乘子

lower: [3x1 double]
upper: [3x1 double]
eqlin: [0x1 double]
ineqlin: [2x1 double]
ineqlin:[2xl double]

3.4求下面优化问题的最优解，并求出相应的梯度、Hessian矩阵以及Lagrang乘子。

解 现将该优化问题转化为下面的标准形式：

编写目标函数的M文件如下：
function y=example8_9(x)
y=(x(1)-2)^2+(x(2)-1)^2;
function [c1,c2]=nonlin(x)
c1=x(1)^2-x(2);
c2=[];
clear
A=[1 1];
b=2;
Aeq=[];beq=[];lb=[];ub=[];
x0=[0 0]';
[x,fval,exitflag,output,lambda,g,H]=fmincon(@example8_9,x0,Aeq,beq,lb,ub,@nonlin)
Warning£ºLarge-scale£¨trust region£©method does not currently solve this type of problem£¬
switching to medium-scale£¨line search£©¡£
四、实际应用
4.1 V带轮优化设计
提出问题：设计带式输送机传动装置上的普通V带传动，已知电动机额定功率P=4Kw，转速n1=1440r/min，传动比i=3，采用A型V带，每天工作不超过10小时，设计带根数尽量少，带轮直径和中心距尽量小的方案。
4.1.1 数学模型建立
（1）设计变量：V带传动的独立设计变量是小带轮直径和带的基准长度
即X=[，=[ ，
（2）目标函数包括三个分目标：
a．小带轮直径 min（X）==
b．中心距 min（X）=a=+
其中，=/4-（i+1）/8，=（i-1/8
c．带的根数 min（X）=z=P/(+)
（3）约束条件
小带轮直径不小于推荐的A型带轮最小直径 即
0
带速不超过最大带速

即

小带轮包角大于

即

中心距大于， 即

小带轮基准直径在80—100mm之间，中心距在320—400mm之间，带的根数为1—4。

4.1.2编制MATLAB优化设计
% V带传动多目标优化设计
P=4;i=3;n1=1440;KA=1.1; %已知条件
x0=[100;1250]; %初始点（小带轮直径，V带基准长度）
lb=[80;630]; %最小带轮直径和A型V带基准长度
ub=[100;4000]; %最大带轮直径和A型V带基准长度
goal=[75,280,2]; %分目标
w=[10^-2,40^-2,1.5^-2]; %分目标加权系数
[xopt,fopt]=fgoalattain(@VDCD_3mb_MB,x0,goal,w,[],[],[],[],lb,ub,@VDCD_3mb_YS)
function f=VDCD_3mb_MB(x)
P=4;i=3;KA=1.1;
f(1)=x(1); %f1小带轮基准直径
a1=x(2)/4-pi*x(1)*(i+1)/8;
a2=x(1)^2*(i-1)^2/8;
a=a1+sqrt(a1^2-a2);
f(2)=a; %f2中心距
P0=0.02424*x(1)-1.112879; %单根带额定功率
DP0=0.17; %功率增量
alpha=180-180*x(1)*(i-1)/pi/a; %小带轮包角
Kalp=alpha/(0.549636*alpha+80.396114); %包角系数
KL=0.20639*x(2)^0.211806; %长度系数
f(3)=KA*P/(P0+DP0)/Kalp/KL; %V带根数
function[g,ceq]=VDCD_3mb_YS(x)
i=3;n1=1440;
g(1)=100-x(1);
g(2)=pi*x(1)*n1/6e4-25;
a1=x(2)/4-pi*x(1)*(i+1)/8;
a2=x(1)^2*(i-1)^2/8;
a=a1+sqrt(a1^2-a2);
g(3)=120-180*(1-x(1)*(i-1)/a/pi);
g(4)=0.7*x(1)*(i+1)-a;
ceq=[];

4.1.3运行结果：
Optimization terminated successfully:
Search direction less than 2*options.TolX and
maximum constraint violation is less than options.TolCon
Active Constraints:

5
9

xopt =

1.0e+003 *

0.1000
1.2269

fopt =

100.0000 281.5293 3.5958
表面最优方案为设计带根数为5或9，带轮直径和中心分别为（1.0e+003，100.0000）、（0.1000,281.5293）、（1.2269,3.5958）的方
4.2 MATLAB优化设计在机件模型中的应用
提出问题：有一圆形等截面的销轴．一端固定在机架上．另一端作用着集中载荷P；50kN和扭矩M=400Nm，其简化模型如图l所示．由于结构的需要，轴的长度l不得小于10cm，已知锖轴的材料的弯曲应力=120MPa；扭剪应力=80MPa；允许挠度f=o．01cm；密度p=7800kg／m3：弹性模量E=2．1×105MPa．现要求设计这根销轴，在满足使用要求下使其质量为最轻．
4.2.1建立数学模型：
通过分析，我们得知性能约束条件为：
1、弯曲强度要求悬臂粱的最大弯曲应力不得超过允许值，即代人数据并整理；
2、扭转强度要求悬梁的最大弯曲应力不得超过允许值，即，代人数据并整理；
3、刚度要求最大挠度不得超过允许值，代人数据并整理得边界约束条件：
这样就可建立数学模型：
二、调用MATLAB函数进行优化
采用MATLAB可以简化编程．NATLAB程序语言简单，也可采用交互式界面．
本例要MATLAB命令窗口输入如下命令即可：
funf=’f=0．0061 3x(1)‘x(2)’；％目标函数
funf=’g=[41．67’x(2)／x(1)“3一l；I．62+x(2)‘3／x(1)‘4—1；25／x(1)‘3—1；’]；％约束函数
fun=[funf furig]；
x0=[8，10]；％给出d、I的初始值
options=[]；％参数向量取缺省值
vlb=[0，10]；％设计变量d，1的下限值
vub=[]；％设计变量无上限值
[X，option]-constr(fun，x0，options，vcb，vub)；％调用有约束优化函数
这时，就会输出优化结果如下：
x=7．4692 10．0000
options=0 0．000l 0．0001 0，0000 0 0 0 3．4199 0 20．0000 7．0000 7．0000 0
200，0000 0 0．0000 0．1000 1．000
表明最优方案为d=7．4692cm，1=lOcm，Q=options(8)=3．14199kg．
五、参考文献
六、任务清单
6.1本组任务分配清单
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七、课题研究总结
母桑妮：
胡双：
肖锐：
朱小英：
马娟：
张海旭：
彭艺：