四类具有特殊性质的函数.doc

§1 . 2四类具有特殊性质的函数
(一)教学目的:
理解函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性的概念，并会判断函数是否具有这些性质.
（二）教学内容：
函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性的概念及判断方法.
基本要求：正确理解和掌握函数有界性、单调性、奇偶性、周期性的概念,掌握其判断方法.
（三）教学重点：
有界函数、单调函数、奇函数、偶函数、周期函数.
（四）教学难点：
有界函数的概念
教学建议：
(1)重点是通过对函数的有界性的分析，培养学生了解研究抽象函数性质的方法．
(2) 本节的难点是要求用分析的方法定义函数的无界性.
（五）教学方法：
以课堂讲授为主,辅以课堂讨论、提问、练习。
（六）计划课时：2课时.
（七）教学过程：
在本节中，我们将介绍以后常用的几类具有某些特性的函数，即有界函数、单调函数、奇函数、偶函数、周期函数。其中，除有界函数外，其它几个函数的概念在中学已经学习过，在此简单复习一下（参考课本12-13页）。
一、 有界函数
1、定义 设函数在数集A有定义。若函数值的集合有上界（有下界、有界），则称函数在A有上界（有下界、有界），否则称函数在A无上界（无下界、有无界）.列表如下:
函数在A有上界

函数在A无上界

函数在A有下界

函数在A无下界

函数在A有界

函数在A无界

注意:函数在数集A有上界（有下界、有界）必有无限多个上界(无限多个下界、无限多个界)。
2、函数在区间有界的几何意义：函数在区间上的图像位于以二直线为上、下边界的带形区域之内，如右下图：

3、举例如下
a
b
0
例1、正弦函数在R有界，如下图所示：

说明：
例2、反正切函数与反余切函数在R有界，如下图所示：
说明：，
.
例3、数列与有界.
说明： ;
.
例4、指数函数在R有下界无上界.如图
对数函数在区间既无上界也无下界.如图
说明：1)、,即指数函数在R有下界
2)、
3)、同理可证,, 对数函数在区间既无上界也无下界.
例5、数列有下界无上界;数列既无上界也无下界.
说明：1)、都是数列的下界; ,即数列有下界无上界.
2)、.
即数列既无上界也无下界.
二、 单调函数
1、定义 设函数在数集A有定义.若,且,有
,
称函数在A严格增加(严格减少).上述不等式若改为
,
则称函数在A单调增加(单调减少).
说明: 1）函数在A严格增加、严格减少与单调增加、单调减少统称为函数在A单调;2）严格增加、严格减少统称为严格单调;3)若A是区间,则称此区间为函数的单调区间.
2、举几个单调函数的例子
例6. 1) 指数函数:当时,在R严格增加;当 时,在R严格减少,如图
2) 对数函数:当时,在区间严格增加; 当 时,在严格减少,如图
3) 反正切函数在R严格增加,如图
4) 反余切函数在R严格减少,如图
5) 反正弦函数的值域限定在闭区间上,称为反正弦函数的主值,则反正弦函数在区间严格增加,如图
6) 反余弦函数的值域限定在闭区间上,称为反余弦函数的主值,则反余弦函数在区间严格减少,如图
例7. 函数与在R都是单调增加(注意:并不是严格增加),如下图所示:
说明: ,且,有
与 .
例8. 数列,,都是严格增加;数列,,都是严格减少.
三、 奇函数与偶函数
1、定义 设函数定义在数集A.若有，且
（），
则称函数是奇函数（偶函数）.
说明：1）奇函数的图像关于原点对称.如果点在奇函数的图像上，即，故有
，
即也在奇函数的图像上,如下图所示.

2）偶函数的图像关于轴对称. 如果点在偶函数的图像上，即，故有
，
即也在偶函数的图像上,如上图所示.

3）讨论奇偶性的前提是定义域关于原点对称.因此,例如函数,没有必要讨论它的奇偶性。
4）从奇偶性角度对函数分类：.
5）由于奇偶函数对称性的特点，研究奇偶函数性质时，只须讨论原点的左边或右边即可。
2、举例如下
例9、正弦函数是奇函数，是偶函数,如图
说明: ,有,且 与.
例10、反正弦函数是奇函数.反正切函数也是奇函数,如图

说明: 1),有,且
2) ,有,且
例11、幂函数是偶函数；是奇函数，（）。如图
说明：,有，且 与
四、 周期函数
1、定义 设函数定义在数集A.若，有 且
，
则称是周期函数， 称为的一个周期.
说明: 若 是的周期,则 也是的周期.因为由得
,即,用数学归纳法可证明,若是的周期,则 也是的周期.
2)若有最小的正周期,则称为的基本周期,简称周期.
2、举例如下
例12、正弦函数与都是在R上以为周期的周期函数，如图
说明：，有，且 与.
例13、正切函数与余切函数都是在定义域上以为周期的周期函数，如图
说明：，有，且
,有,且
例14、函数是在R上是以1为周期的周期函数,如图
说明: ,有,且
,
故有 , 即 ,如下图所示:

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