多项式的因式分解-----用平方差公式因式分解.doc

9.5　多项式的因式分解
兴化市陈堡初级中学 董殿成
一、教学目标
1．使学生进一步理解因式分解的意义；
2．使学生了解平方差公式的几何意义，掌握公式的形式和特征；
3．会运用平方差公式进行简单的分解因式；
4．通过对比整式乘法和分解因式的关系，进一步发展学生的逆向思维能力；
5．感受整式乘法和分解因式矛盾的对立统一观点；
6．培养学生积极主动参与探索的意识以及观察能力．
二、教学重点、难点
1．理解平方差公式的意义，弄清公式的形式和特征；
2．会运用平方差公式对多项式进行分解因式．
三、教具、学具
多媒体演示、PPT课件、三角尺．
四、教学过程
（一）创设情景：
1．数学游戏：
教师：你给出任意两个正整数，我马上就能说出它们的平方差被哪个数整除．大家都喜欢做游戏吧？有兴趣的同学和老师来做这个游戏（教师根据学生说出的数字快速写出结果，激发学生的好奇心，调动学生的学习欲望）．
2．分析探寻：
大家想知道老师刚才说的结果对不对吗？为什么我那么快得出结果吗？我们就从
这幅图开始吧．
a
a
b
b
问题：1．下图阴影部分的面积是多少？（a2－b2）

2．你能将该图只剪一刀拼成长方形吗？请大家以小组的形式探寻剪拼的方
法，并比较剪拼前后的面积，你得出什么结果？　　　　　　　　　　　　　 　　　
a2－b2＝（a＋b）（a－b）
出示课题：9.5多项式的因式分解（平方差公式法）
（二）平方差公式的特征辨析：
1．对比与思考：
我们现在学习的乘法公式与前面学习的整式乘法中的平方差公式是什么关系呢？
乘法公式（a＋b）（a－b）＝a2－b2 （动画演示左右两边交换过程．）
反过来得：a2－b2＝（a＋b）（a－b）
由此可见：它们是互逆的过程．
　　问题：这个公式是用字母a和b表达的，我们能不能用文字语言表达呢？请同学
之间交流总结．（归纳结论：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数差的积．）
2．试一试：
（1）问题：例如x2－52能使用平方差公式分解因式吗？其中的x相当于公式里
的a，5相当于公式里的b，然后套用公式就可以了．
（2）分解因式：
a2－16＝ a2－（ ）2＝（a＋ ）（a－ ）
64－b2＝（ ）2－ b2＝（ ＋b）（ －b）
（学生解答填空，确定a和b．）
（3）下列多项式能否用平方差公式分解因式？说说你的理由．
①a2＋b2 　②b2－a2 ③a2＋（－b2）
④－a2－b2 ⑤a 2 －b 　⑥a2－b2－c
（这里的6题是根据公式的变形，是学生自主辨析公式特点的好机会，一定让学
生自己讨论，只要能辨别哪些能用公式就可以了．先让学生判断，并说出为什么能用又为什么不能用的理由．最后，让学生讨论总结能用平方差公式分解的多项式的特征．）
1．由两项组成；
2．两项的符号相反；
3．每项都能写成某个式子的平方．
（三）例题教学：
（1）例1：把下列多项式分解因式：
①36－25x2； ②16a2－9b2．
分析：观察是否符合平方差公式的形式，应引导学生把36、25x2、16a2、9b2改写
成62、（5x）2、（4a）2和（3b）2形式，能否准确的改写是本题的关键．
解：36－25x2＝62－（5x）2
＝（6＋5x）（6－5x）
16a2－9b2＝（4a）2－（3b）2
＝（4a＋3b）（4a－3b）
（（1）对于多项式中的两部分不明显的平方形式，应先变形为平方形式，再运用公
式分解，以免出现16a2－9b2＝（16a＋9b）（16a－9b）的错误．（2）在此还要提醒防止出现分解后又乘开的现象，这是旧知识的“倒摄作用”所引起的现象．）
设计问题：现在来揭示在这节课开始时我们做的那个数学游戏吧．你们知道老师是怎么计算得那么快了吗？
（学生已经会使用平方差公式进行简单的计算了，能迅速得出正确结果，同时也和这节课的开头遥相呼应．）
（2）尝试与交流：
③分解因式：（a－b）2－（c－b）2；
④分解因式：9（a＋b）2－4（a－b）2．
（在这里，尤其要重视对运用平方差公式前的多项式的观察和心算，而后是进行变
形．这一点在这儿尤为重要．设计本题的目的是让学生加深理解平方差公式中的a、b不仅可以表示数字、一般单项式，也可以表示多项式，进一步渗透整体、类比的思想．）
对于题④上课教师鼓励学生先讨论，再让语言组织能力强的同学到黑板前把解法
讲解给大家听．
（3）小结与思考：
a2－b2＝（a＋b）（a－b）
问题：公式中的a和b分别可以是什么式子呢？（公式中的a和b可以是数字、字母、数字与字母的积、多项式等，但都能化成一个式子平方的形式．）
小结：使用平方差公式分解因式的步骤（学生以小组进行讨论总结，教师跟随讨论引导）．（1．审．2．找．3．转．4．套．5．验．）
（四）数学活动：
2
2
请同学们设计能用平方差公式分解因式的题目，请其他同学做出解答，你再给予
评价．
— ＝（ ＋ ）（ — ）
活动要求：每位同学都写一个能够用平方差公式分解因式的题目，其中两名同学
点其他组的同学到黑板前解答，其余同学小组之间互相交换，按要求进行因式分解．然后出题者要当众表述出题意图并给做题的同学以评价．
（本环节是这节课的灵魂环节，是对本节所学知识掌握程度的检验，所以要求教
师能充分放手给学生，让学生大胆争论．同时鼓励学生把自己认为值得推荐的题目展示给大家．）
（五）学以致用：
如图，求圆环形绿化区的面积S．
解：S＝π×322－π×182
＝π×（322－182）
＝π（32＋18）（32－18）
＝π50×14
＝700π（m2）
答：这个绿化区的面积是700πm2．
（在这里列出算式后可以让学生自己讨论怎么计算，要让学生解释他的解法，可能
解释为逆运用乘法结合律，也可能解释为合并同类项，都要予以肯定，在这儿不要怕浪费时间，通过分析我们能将所学数学知识用于解决实际问题，同时也是将本节知识与提公因式法的综合运用．）
（六）课堂小结：
共同分享这节课的收获！
运用本节课知识时有哪些注意点？
（七）作业题：
　　必做题：课本练一练第2题；习题9.5第3题．
　　选做题：992－1是100的整倍数吗？请写出你的解答过程．（必做与选做相结合，体现作业的合理性和层次性．）
（八）课外连连看：
英国数学家德·摩根在青年时代，曾有人问他：“您今年多大年龄？” 摩根想了想
说：“今年，我的年龄和我弟弟年龄的平方差是141，你能算出我的年龄和我弟弟的年龄吗？”假设德·摩根的年龄为x岁，他弟弟的年龄为y岁，你能算出他们的年龄吗？（既培养学生学习数学的兴趣也增长了学生的数学知识．）
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