2021-2022年广东省海珠区七年级上学期数学期末真题卷（含答案）.docx

2021-2022 学年广东省广州市海珠区七年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题有 10 个小题，每小题 3 分，满分 30 分，下面每小题给出的四个选项中， 只有一个是正确的）
1．（3 分）如果温度上升3° C 记作+3° C ，那么下降8° C 记作( )

第 9页（共 22页）

A. -5° C
B. 1° C
C. -8° C
D. +8° C

2．（3 分）在-1 、8、0、 -2 这四个数中，最小的数是( )

A． -1 B．8 C．0 D． -2

3．（3 分）某市地铁 18 号线定位为南北快线，实现了该市中心城区与某新区的快速轨道交通联系，18 号线日均客流量约为 81400 人，将数 81400 用科学记数法表示，可记为( )

A． 0.814 ´105
B． 8.14 ´104
C． 814 ´102
D． 8.14 ´103

4．（3 分）下列运算正确的是( )

A． 2x3 - x3 = 1
B． 3xy - xy = 2xy
C． -(x - y) = -x - y
D． 2a + 3b = 5ab

5．（3 分）下列方程中是一元一次方程的是( )

A． 2x = 3y

C． x2 + 1 (x - 1) = 1 2
B． 7x + 5 = 6(x -1)
D． 1 - 2 = x
x

6．（3 分）如图的图形，是由( ) 旋转形成的．

A． B．
C． D．

7．（3 分）解方程1 - x + 3 = x ，去分母，得( )
6 2

A．1 - x - 3 = 3x
B． 6 - x - 3 = 3x
C． 6 - x + 3 = 3x
D．1 - x + 3 = 3x

8．（3 分）某工厂用硬纸生产圆柱形茶叶筒．已知该工厂有 44 名工人，每名工人每小时可以制作筒身 50 个或制作筒底 120 个．要求一个筒身配两个筒底，设应该分配 x 名工人制作筒身，其它工人制作筒底，使每小时制作出的筒身与筒底刚好配套，则可列方程为( )

A． 2 ´120(44 - x) = 50 x
C．120(44 - x) = 2 ´ 50 x
B． 2 ´ 50(44 - x) = 120 x
D．120(44 - x) = 50 x

9．（3 分）若关于 x 、y 的多项式3x2 y - 4xy + 2x + kxy + 1 不含 xy 的一次项，则 k 的值为( )

A. 1
4
B. - 1
4
C．4 D． -4

10．（3 分）如图，数轴上 4 个点表示的数分别为 a 、b 、c 、d ．若| a - d |= 10 ，| a - b |= 6 ，
| b - d |= 2 | b - c | ，则| c - d |= ( )

A．1 B．1.5 C．15 D．2

二、填空题（本题有 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．（3 分） - 1 的相反数是 ．

4
12．（3 分）已知 x = 3 是关于 x 的方程 ax + 2x - 9 = 0 的解，则 a 的值为 ．
13．（3 分） 46°35¢ 的余角等于 ．
14．（3 分）已知线段 AB = 12 ，点C 在线段 AB 上，且 AB = 3AC ，点 D 为线段 BC 的中点，则 AD 的长为 ．
15．（3 分）某小区要打造一个长方形花圃，已知花圃的长为(a + 2b) 米，宽比长短b 米，则花圃的周长为 米（请用含 a 、b 的代数式表示）．
16．（3 分）观察下面三行数：
1， -4 ，9， -16 ，25， -36 ， ；
-1 ， -6 ，7， -18 ，23， -38 ， ；
-2 ，8， -18 ，32， -50 ，72， ；
那么取每行数的第 10 个数，则这三个数的和为 ．

三、解答题（本题有 9 个小题，共 72 分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）

17．（6 分）计算：
（1）12 - (-18) - 5 -15 ；

（2） (-1)10 ´ 2 + (-2)3 ¸ 4 ．

18．（6 分）解方程：

（1） 2x + 3 = -3x - 7 ；
（2） 2x + 1 - 5x - 1 = 1．
3 6

19．（6 分）先化简，再求值： (4x2 + 5xy) + 2( y2 + 2xy) - (5x2 + 2 y2 ) ，其中 x = 1 ， y = -2 ．

20．（8 分）如图所示，已知线段 AB ，点O 为 AB 中点，点 P 是线段 AB 外一点．
（1） 按要求用圆规和直尺作图，并保留作图痕迹；

①作射线 AP ，作直线 PB ；
②延长线段 AB 至点C ，使得 BC = 1 AB ．
2
（2） 在（1）的条件下，若线段 AB = 2cm ，求线段OC 的长度．

20．（6 分）某市为保障供水及道路安全，自来水有限公司排查地下管线密集区，决定改造一段已使用多年面临老化的自来水管，这项翻新工程如果由甲工程队单独改造需要 12 天，
由乙工程队单独改造需要 24 天．现要求甲、乙两个工程队一起合作完成这项翻新工程，但

由于工作调动的原因，该项工程完工时，乙工程队中途共离开了 3 天．问这项工程一共用了多少天？

与标准质量的差值
（克)
-5
-2
0
1
3
6
袋数（袋)
2
4
5
5
1
3

22．（6 分）某食品厂从生产的食品中抽出样品 20 袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过的部分用正数表示，不足的部分用负数表示，记录如表：

（1） 若每袋标准质量为 350 克，则这批抽样检测的样品的总质量是多少克？

（2） 若该食品的包装袋上标有产品合格要求为“净重350 ± 2 克”，则这批样品的合格率为多少？

价目表
每月用水量(m3 )
单价（元/m3 )
不超出 26m3 的部分
3
超出 26m3 不超出34m3 的部分
4
超出34m3 的部分
7

23．（10 分）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如表（注: 水费按一个月结算一次）：请根据价目表的内容解答下列问题：

（1） 填空：若该户居民 1 月份用水 20 立方米，则应收水费 元；若该户 2 月份用水 30

立方米，则应收水费 元；
（2） 若该户居民 3 月份用水 a 立方米（其中 a > 34) ，则应收水费多少元？（结果用含 a 的代数式表示）
（3） 若该户居民 4 月份的平均水价为 3.8 元/m3 ，求该户 4 月份用水量是多少立方米？

íï
ì3a - 2b(a…b)

24 ．（ 12 分 ） 对 于 有 理 数 a 、 b 定 义 一 种 新 运 算
a Äb = ï
a -
î
2 b(a < b) ， 如
3

5 Ä 3 = 3 ´ 5 - 2 ´ 3 = 9 ，1Ä 3 = 1 - 2 ´ 3 = -1 ；请按照这个定义完成下列计算：
3

（1）计算
① 5 Ä(-3) = 21 ；② (-5) Ä(-3) =

；③若 x Ä 3 = -3 ，求 x 的值；
2

（2）若 A = -2x3 + 2 x2 - x + 1 ，B = -2x3 + x2 - x + 3 ，且 A Ä B = -4 ，求3x3 + 3 x + 2 的值；
3 2 2
（3）若 x 和 k 均为正整数，且满足( k x + k ) Ä(1 x + 1) = 4 x + 12 ，求 k 的值．
3 3 3

25．（12 分）如图， ÐAOB = 90° ， ÐCOD = 60° ．
（1） 若OC 平分ÐAOD ，求ÐBOC 的度数；

（2） 若ÐBOC =
1 ÐAOD ，求ÐAOD 的度数；
14

（3） 若同一平面内三条射线OT 、OM 、 ON 有公共端点 O ，且满足ÐMOT = 1 ÐNOT 或
2
者ÐNOT = 1 ÐMOT ，我们称OT 是OM 和ON 的“和谐线”．若射线OP 从射线OB 的位置
2
开始，绕点O 按逆时针方向以每秒12° 的速度旋转，同时射线OQ 从射线OA 的位置开始， 绕点O 按顺时针方向以每秒9° 的速度旋转，射线OP 旋转的时间为t（单位：秒），且0 < t < 15 ， 求当射线OP 为两条射线OA 和OQ 的“和谐线”时t 的值．

2021-2022 学年广东省广州市海珠区七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本题有 10 个小题，每小题 3 分，满分 30 分，下面每小题给出的四个选项中， 只有一个是正确的）
1．（3 分）如果温度上升3° C 记作+3° C ，那么下降8° C 记作( )

A. -5° C
B. 1° C
C. -8° C
D. +8° C

【分析】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在 一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：因为温度上升3° C 记作+3° C ，那么下降8° C 记作-8° C ， 故选： C ．
2．（3 分）在-1 、8、0、 -2 这四个数中，最小的数是( )

A． -1 B．8 C．0 D． -2

【分析】依据有理数大小比较的法则进行比较即可求解，需注意两个负数比较，绝对值大的 反而小．
【解答】解：因为-2 < -1 < 0 < 8 ， 所以最小的数是-2 ，
故选： D ．

3．（3 分）某市地铁 18 号线定位为南北快线，实现了该市中心城区与某新区的快速轨道交通联系，18 号线日均客流量约为 81400 人，将数 81400 用科学记数法表示，可记为( )

A． 0.814 ´105
B． 8.14 ´104
C． 814 ´102
D． 8.14 ´103

【分析】科学记数法的表示形式为 a ´10n 的形式，其中1„ | a |< 10 ， n 为整数．确定 n 的值

时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值…10 时， n 是正整数；当原数的绝对值< 1 时， n 是负整数．
【解答】解： 81400 = 8.14 ´104 ． 故选： B ．
4．（3 分）下列运算正确的是( )

A． 2x3 - x3 = 1
B． 3xy - xy = 2xy
C． -(x - y) = -x - y
D． 2a + 3b = 5ab

【分析】根据整式的加减运算法则即可求出答案．

【解答】解： A 、原式= x3 ，故 A 不符合题意．
B 、原式= 2xy ，故 B 符合题意．
C 、原式= -x + y ，故C 不符合题意．
D 、 2a 与3b 不是同类项，故 D 不符合题意． 故选： B ．
5．（3 分）下列方程中是一元一次方程的是( )

A． 2x = 3y

C． x2 + 1 (x - 1) = 1 2
B． 7x + 5 = 6(x -1)
D． 1 - 2 = x
x

【分析】只含有一个未知数（元) ，并且未知数的指数是 1 次的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是 ax + b = 0(a ， b 是常数且 a ¹ 0) ．
【解答】解： A 、含有两个未知数，是二元一次方程；

B 、符合定义，是一元一次方程；

C 、未知数最高次数是二次，是二次方程；
D 、未知数在分母上，不是整式方程． 故选： B ．
6．（3 分）如图的图形，是由( ) 旋转形成的．

A． B．
C． D．

【分析】根据每一个几何体的特征判断即可．

【解答】解： A ．可以旋转形成圆台；

B ．可以旋转形成球； C ．可以旋转形成圆柱； D ．可以旋转形成圆锥； 故选： A ．
7．（3 分）解方程1 - x + 3 = x ，去分母，得( )
6 2

第 22页（共 22页）

A．1 - x - 3 = 3x
B． 6 - x - 3 = 3x
C． 6 - x + 3 = 3x
D．1 - x + 3 = 3x

【分析】去分母的方法是方程左右两边同时乘以分母的最小公倍数，注意分数线的括号的作 用，并注意不能漏乘．
【解答】解：方程两边同时乘以 6 得6 - x - 3 = 3x ． 故选： B ．
8．（3 分）某工厂用硬纸生产圆柱形茶叶筒．已知该工厂有 44 名工人，每名工人每小时可以制作筒身 50 个或制作筒底 120 个．要求一个筒身配两个筒底，设应该分配 x 名工人制作筒身，其它工人制作筒底，使每小时制作出的筒身与筒底刚好配套，则可列方程为( )

A． 2 ´120(44 - x) = 50 x
C．120(44 - x) = 2 ´ 50 x
B． 2 ´ 50(44 - x) = 120 x
D．120(44 - x) = 50 x

【分析】根据题意可知：筒身的数量´2 = 筒底的数量，然后列出方程即可．
【解答】解：设应该分配 x 名工人制作筒身，则有(44 - x) 名工人制作筒底， 由题意可得： 2 ´ 50 x = 120(44 - x) ，
故选： C ．

9．（3 分）若关于 x 、y 的多项式3x2 y - 4xy + 2x + kxy + 1 不含 xy 的一次项，则 k 的值为( )

A. 1
4
B. - 1
4
C．4 D． -4

【分析】先合并同类项，令 xy 的系数为 0 即可得出 k 的值．

【解答】解： 3x2 y - 4xy + 2x + kxy + 1

= 3x2 y - 4xy + kxy + 2x + 1

= 3x2 y + (-4 + k)xy + 2x + 1，

Q多项式3x2 y - 4xy + 2x + kxy + 1 不含 xy 的一次项，

\-4 + k = 0 ，解得 k = 4 ． 故选： C ．
10．（3 分）如图，数轴上 4 个点表示的数分别为 a 、b 、c 、d ．若| a - d |= 10 ，| a - b |= 6 ，
| b - d |= 2 | b - c | ，则| c - d |= ( )

A．1 B．1.5 C．15 D．2
【分析】根据| a - d |= 10 ， | a - b |= 6 得出b 和 d 之间的距离，从而求出b 和c 之间的距离， 然后假设 a 表示的数为 0，分别求出b ， c ， d 表示的数，即可得出答案．
【解答】解：Q| a - d |= 10 ，
\a 和 d 之间的距离为 10，
假设 a 表示的数为 0，则 d 表示的数为 10，
Q| a - b |= 6 ，
\a 和b 之间的距离为 6，
\ b 表示的数为 6，
\| b - d |= 4 ，
\| b - c |= 2 ，
\c 表示的数为 8，
\| c - d |=| 8 - 10 |= 2 ， 故选： D ．
二、填空题（本题有 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．（3 分） - 1 的相反数是 1 ．
4 4
【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．
【解答】解： - 1 的相反数是 1 ．
4 4
故答案为： 1 ．
4
12．（3 分）已知 x = 3 是关于 x 的方程 ax + 2x - 9 = 0 的解，则 a 的值为 1 ．
【分析】根据方程的解为 x = 3 ，将 x = 3 代入方程即可求出 a 的值．
【解答】解：将 x = 3 代入方程得： 3a + 2 ´ 3 - 9 = 0 ， 解得： a = 1．

故答案为：1．
13．（3 分） 46°35¢ 的余角等于 43°25¢ ．
【分析】和为 90 度的两个角互为余角，依此计算即可求解．
【解答】解： 46°35¢ 的余角等于= 90° - 46°35¢ = 43°25¢ ． 故答案为： 43°25¢ ．
14．（3 分）已知线段 AB = 12 ，点C 在线段 AB 上，且 AB = 3AC ，点 D 为线段 BC 的中点，则 AD 的长为 8 ．
【分析】根据题意求出 AC ，根据线段中点的性质解答即可．
【解答】解：如图：

Q AB = 12 ， AB = 3AC ，
\ AC = 4 ，
Q BC = AB - AC = 12 - 4 = 8 ，
Q点 D 是线段 BC 的中点，
\CD = 1 BC = 1 ´ 8 = 4 ，
2 2
\ AD = AC + CD = 4 + 4 = 8 ． 故答案为：8．
15．（3 分）某小区要打造一个长方形花圃，已知花圃的长为(a + 2b) 米，宽比长短b 米，则花圃的周长为 (4a + 6b) 米（请用含 a 、b 的代数式表示）．
【分析】根据题意列出算式，然后根据整式的加减运算法则即可求出答案．

【解答】解：由题意可知：宽为 a + 2b - b = a + b ，
\周长为： 2(a + b + a + 2b)
= 2(2a + 3b)

= 4a + 6b ，
故答案为： (4a + 6b) ．
16．（3 分）观察下面三行数：

1， -4 ，9， -16 ，25， -36 ， ；
-1 ， -6 ，7， -18 ，23， -38 ， ；
-2 ，8， -18 ，32， -50 ，72， ；

那么取每行数的第 10 个数，则这三个数的和为 -2 ．
【分析】根据题目中的数字，得出这三行中每一行的第 10 个数字，再计算和即可．

【解答】解：由题目中的数字可得，

第 1 行的数字是平方数，奇数个是正，偶数个是负，故第 10 个数字是-100 ， 第 2 行数字比第 1 行的数字小 2，故第 10 个数字是-102 ，
第 3 行的数字是第 1 行数字的-2 倍，故第 10 个数字是 200． 所以这三个数的和为-100 - 102 + 200 = -2 ，
故答案为： -2 ．
三、解答题（本题有 9 个小题，共 72 分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）

17．（6 分）计算：
（1）12 - (-18) - 5 -15 ；

（2） (-1)10 ´ 2 + (-2)3 ¸ 4 ．

【分析】（1）将减法转化为加法，再计算加法即可；

（2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算减法即可．

【解答】解：（1）原式 = 12 + 18 - 5 - 15
= 30 - 20
= 10 ；
（2）原式= 1´ 2 + (-8) ¸ 4
= 2 - 2
= 0 ．
18．（6 分）解方程：

（1） 2x + 3 = -3x - 7 ；
（2） 2x + 1 - 5x - 1 = 1．
3 6
【分析】（1）方程移项，合并同类项，把 x 系数化为 1，即可求出解；

（2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把 x 系数化为 1，即可求出解．

【解答】解：（1）移项得： 2x + 3x = -7 - 3 ，合并得： 5x = -10 ，
解得： x = -2 ；
（2）去分母得： 2(2x + 1) - (5x -1) = 6 ，

去括号得： 4x + 2 - 5x + 1 = 6 ， 移项得： 4x - 5x = 6 - 2 - 1 ， 合并得： -x = 3 ，
解得： x = -3 ．

19．（6 分）先化简，再求值： (4x2 + 5xy) + 2( y2 + 2xy) - (5x2 + 2 y2 ) ，其中 x = 1 ， y = -2 ．

【分析】原式去括号合并得到最简结果，把 x 与 y 的值代入计算即可求出值．

【解答】解： (4x2 + 5xy) + 2( y2 + 2xy) - (5x2 + 2 y2 )

= 4x2 + 5xy + 2 y2 + 4xy - 5x2 - 2 y2

= -x2 + 9xy ，

当 x = 1 ， y = -2 时，原式= -1 + 9 ´1´ (-2) = -19 ．
20．（8 分）如图所示，已知线段 AB ，点O 为 AB 中点，点 P 是线段 AB 外一点．
（1） 按要求用圆规和直尺作图，并保留作图痕迹；

①作射线 AP ，作直线 PB ；
②延长线段 AB 至点C ，使得 BC = 1 AB ．
2
（2） 在（1）的条件下，若线段 AB = 2cm ，求线段OC 的长度．

【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）先点O 为 AB 中点得到OB = 1 AB ，所以OC = AB = 2cm ．
2
【解答】解：（1）①如图，射线 AP ，直线 PB 为所作；

②如图， BC 为所作；

（2）Q点O 为 AB 中点，
\OB = 1 AB ，
2
Q BC = 1 AB ，
2
\OC = OB + BC = 1 AB + 1 AB = AB = 2cm ．
2 2
21．（6 分）某市为保障供水及道路安全，自来水有限公司排查地下管线密集区，决定改造一段已使用多年面临老化的自来水管，这项翻新工程如果由甲工程队单独改造需要 12 天，
由乙工程队单独改造需要 24 天．现要求甲、乙两个工程队一起合作完成这项翻新工程，但

由于工作调动的原因，该项工程完工时，乙工程队中途共离开了 3 天．问这项工程一共用了多少天？
【分析】设这项工程一共用了 x 天，则甲工程队改造了 x 天，乙工程队改造了(x - 3) 天，根
据甲工程队完成的改造任务量+ 乙工程队完成的改造任务量= 整个改造任务量，即可得出关于 x 的一元一次方程，解之即可求出这项工程所用时间．
【解答】解：设这项工程一共用了 x 天，则甲工程队改造了 x 天，乙工程队改造了(x - 3) 天，

依题意得：
x + x - 3 = 1 ，

12 24
解得： x = 9 ．
答：这项工程一共用了 9 天．

与标准质量的差值
（克)
-5
-2
0
1
3
6
袋数（袋)
2
4
5
5
1
3

22．（6 分）某食品厂从生产的食品中抽出样品 20 袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过的部分用正数表示，不足的部分用负数表示，记录如表：

（1） 若每袋标准质量为 350 克，则这批抽样检测的样品的总质量是多少克？

（2） 若该食品的包装袋上标有产品合格要求为“净重350 ± 2 克”，则这批样品的合格率为多少？
【分析】（1）总质量 = 标准质量´ 抽取的袋数+ 超过（或不足的）质量，把相关数值代入计算即可；
（2）找到所给数值中，绝对值小于或等于 2 的食品的袋数占总袋数的多少即可．

【解答】解：（1）超出的质量为：
-5 ´ 2 + (-2) ´ 4 + 0 ´ 5 + 1´ 5 + 3´1 + 6 ´ 3
= -10 + -8 + 0 + 5 + 3 + 18
= 8 （克) ， 总质量为：
350 ´ 20 + 8 = 7008 （克) ，
答：这批抽样检测样品总质量是 7008 克．

（2）因为绝对值小于或等于 2 的食品的袋数为：
4 + 5 + 5 = 14 （袋) ，
所以合格率为： 14 ´100% = 70% ，
20
答：这批样品的合格率为70% ．
价目表
每月用水量(m3 )
单价（元/m3 )
不超出 26m3 的部分
3
超出 26m3 不超出34m3 的部分
4
超出34m3 的部分
7

23．（10 分）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如表（注: 水费按一个月结算一次）：请根据价目表的内容解答下列问题：

（1） 填空：若该户居民 1 月份用水 20 立方米，则应收水费 60 元；若该户 2 月份用水

30 立方米，则应收水费 元；
（2） 若该户居民 3 月份用水 a 立方米（其中 a > 34) ，则应收水费多少元？（结果用含 a 的

代数式表示）

（3） 若该户居民 4 月份的平均水价为 3.8 元/m3 ，求该户 4 月份用水量是多少立方米？
【分析】（1）利用总价 = 单价´ 数量，结合价目表的内容，即可求出结论；
（2） 利用应收水费= 3´ 26 + 4 ´ (34 - 26) + 7 ´ 超过 34 立方米的数量，即可用含 a 的代数式表示出应收水费；
（3） 设该户 4 月份用水量是 x 立方米，分 26 < x„34 及 x > 34 两种情况考虑，根据该户居民
4 月份的平均水价为 3.8 元/m3 ，即可得出关于 x 的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1） 3 ´ 20 = 60 （元) ，
3 ´ 26 + 4 ´ (30 - 26)
= 3 ´ 26 + 4 ´ 4
= 78 + 16
= 94 （元) ．
故答案为：60；94．
（2）依题意得：应收水费为3 ´ 26 + 4 ´ (34 - 26) + 7( a - 34) = (7 a -128) 元．
（3）设该户 4 月份用水量是 x 立方米． 当 26 < x„34 时， 3 ´ 26 + 4( x - 26) = 3.8x ， 解得： x = 52 （不合题意，舍去）；
当 x > 34 时， 7x - 128 = 3.8x ， 解得： x = 40 ．

答：该户 4 月份用水量是 40 立方米．

íï
ì3a - 2b(a…b)

24 ．（ 12 分 ） 对 于 有 理 数 a 、 b 定 义 一 种 新 运 算
a Äb = ï
a -
î
2 b(a < b) ， 如
3

5 Ä 3 = 3 ´ 5 - 2 ´ 3 = 9 ，1Ä 3 = 1 - 2 ´ 3 = -1 ；请按照这个定义完成下列计算：
3

（1）计算
① 5 Ä(-3) = 21 ；② (-5) Ä(-3) =

-3 ；③若 x Ä 3 = -3 ，求 x 的值；

2

（2）若 A = -2x3 + 2 x2 - x + 1 ， B = -2x3 + x2 - x + 3 ，且 A Ä B = -4 ，求3x3 + 3 x + 2 的值；
3 2 2
（3）若 x 和 k 均为正整数，且满足( k x + k ) Ä(1 x + 1) = 4 x + 12 ，求 k 的值．
3 3 3
【分析】（1）①原式利用题中的新定义计算即可得到结果；

②原式利用题中的新定义计算即可得到结果；

③已知等式利用题中的新定义计算，即可求出 x 的值；
（2） 利用作差法判断出 A 与 B 的大小，把 A 与 B 代入已知等式，利用题中的新定义化简， 计算求出，原式变形后代入计算即可求出值；
（3） 已知等式利用题中的新定义化简，根据 x 与 k 均为正整数，确定出 k 的值即可．
【解答】解：（1）①根据题中的新定义得：原式= 3´ 5 - 2 ´ (-3)
= 15 + 6
= 21 ；
故答案为：21；

②根据题中的新定义得：
原式= -5 - 2 ´ (-3)
3
= -5 + 2
= -3 ；
故答案为： -3 ；
③已知等式利用题中的新定义得：
当 x… 3 时，化简得： 3x - 3 = -3 ，
2
解得： x = 0 ，不符合题意，舍去；
当 x < 3 时，化简得： x - 1 = -3 ，
2
解得： x = -2 ， 则 x 的值为-2 ；
（2）Q A = -2x3 + 2 x2 - x + 1 ， B = -2x3 + x2 - x + 3 ，
3 2
\ A - B = (-2x3 + 2 x2 - x + 1) - (-2x3 + x2 - x + 3)
3 2
= -2x3 + 2 x2 - x + 1 + 2x3 - x2 + x - 3 3 2
= - 1 x2 - 1 < 0 ，即 A < B ，
3 2
利用题中的新定义化简得：
A Ä B = A - 2 B = -4 ，
3

即(-2x3 + 2 x2 - x + 1) - 2 (-2x3 + x2 - x + 3) = -4 ，
3 3 2
去括号得： -2x3 + 2 x2 - x + 1 + 4 x3 - 2 x2 + 2 x - 1 = -4 ，
3 3 3 3
合并得： - 2 x3 - 1 x = -4 ，即- 1 (2x3 + x) = -4 ，
3 3 3
整理得： 2x3 + x = 12 ，
则原式= 3 (2x3 + x) + 2 = 3 ´12 + 2 = 18 + 2 = 20 ；
2 2
（3）Q x 与 k 均为正整数，
\ k x + k… 1 x + 1，
3 3
已知等式利用题中的新定义化简得：
k
3( x + k ) - 2(1 x + 1) = 4 x + 12 ，
3 3 3
去括号得： kx + 3k - 2 x - 2 = 4 x + 12 ，
3 3
移项合并得： (x + 3)k = 2x + 14 ，
整理得： k = 2x + 14 ，
x + 3
当 x = 1 时， k = 2 + 14 = 16 = 4 ，
1 + 3 4
当 x = 5 时， k = 10 + 14 = 3 ，
5 + 3
\ x = 1 ， k = 4 或 x = 5 ， k = 3 ．
25．（12 分）如图， ÐAOB = 90° ， ÐCOD = 60° ．
（1） 若OC 平分ÐAOD ，求ÐBOC 的度数；

（2） 若ÐBOC =
1 ÐAOD ，求ÐAOD 的度数；
14

（3） 若同一平面内三条射线OT 、OM 、 ON 有公共端点 O ，且满足ÐMOT = 1 ÐNOT 或
2
者ÐNOT = 1 ÐMOT ，我们称OT 是OM 和ON 的“和谐线”．若射线OP 从射线OB 的位置
2
开始，绕点O 按逆时针方向以每秒12° 的速度旋转，同时射线OQ 从射线OA 的位置开始， 绕点O 按顺时针方向以每秒9° 的速度旋转，射线OP 旋转的时间为t（单位：秒），且0 < t < 15 ， 求当射线OP 为两条射线OA 和OQ 的“和谐线”时t 的值．

【分析】（1）利用角平分线的定义解答即可；

（2） 设ÐAOD = x ，利用角的和差列出关于 x 的方程，解方程即可求得结论；
（3） 利用分类讨论的思想方法，根据题意画出图形，用含t 的代数式表示出ÐAOP 和ÐQOP

的度数，依据“和谐线”的定义列出方程，解方程即可求得结论．

【解答】解：（1） OC 平分ÐAOD ，
\ÐCOD = ÐAOC = 1 ÐAOD ．
2

QÐCOD = 60° ，
\ÐAOD = 2ÐCOD = 120° ；

（2） 设ÐAOD = x ，则ÐBOC =


1 x ．
14

QÐAOD = ÐAOB + ÐBOD ， ÐBOD = ÐCOD - ÐBOC ，
\ÐAOD = ÐAOB + ÐCOD - ÐBOC ，
QÐAOB = 90° ， ÐCOD = 60° ，
\ÐAOD = 150° - ÐBOC ．
\ x = 150 - 1 x ．
14
解得： x = 140° ．
\ÐAOD 的度数为140° ．
（3） 当射线OP 与射线OQ 未相遇之前，如图，

由题意得： ÐAOQ = 9t ， ÐBOP = 12t ．
\ÐAOP = 90° - ÐBOP = 90° - 12t ，

ÐQOP = 90° - ÐAOQ - ÐBOP = 90° - 21t ．
Q射线OP 为两条射线OA 和OQ 的“和谐线”，
\ÐQOP = 1 ÐAOP ．
2
\90° - 21t = 1 (90° - 12t) ．
2
解得： t = 3 ．
当射线OP 与射线OQ 相遇后且均在ÐAOB 内部时，如图，
由题意得： ÐAOQ = 9t ， ÐBOP = 12t ．
\ÐAOP = 90° - ÐBOP = 90° - 12t ，
ÐQOP = ÐBOP - ÐBOQ = ÐBOP - (90° - ÐAOQ ) = 21t - 90° ．
Q射线OP 为两条射线OA 和OQ 的“和谐线”，
\ÐQOP = 1 ÐAOP 或ÐAOP = 1 ÐQOP ．
2 2
\ 21t - 90° = 1 (90° - 12t) 或90° - 12t = 1 (21t - 90) ．
2 2
解得： t = 5 或t = 6 ．
当射线OP 在ÐAOB 的外部，射线OQ 在ÐAOB 的内部时，如图，
由于ÐAOP ¹ 1 ÐQOP ，
2
\此时射线OP 不可能为两条射线OA 和OQ 的“和谐线”．当射线OP 与射线OQ 均在ÐAOB 的外部时，如图，

由题意得： ÐAOQ = 9t ， ÐBOP = 12t ．
\ÐAOP = 12t - 90° ，
ÐQOP = 360° - ÐAOP - ÐAOQ = 450° - 21t ．
Q射线OP 为两条射线OA 和OQ 的“和谐线”，
\ÐAOP = 1 ÐQOP ．
2
\12t - 90° = 1 (450° - 21t) ．
2
解得： t = 14 ．
综上所述，在0 < t < 15 时，当射线OP 为两条射线OA 和OQ 的“和谐线”时t 的值为 3 或 5
或 6 或 14．