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第三章 变量分布特征的描述
第一节 集中趋势的描述
变量分布特征可以从以下三个方面加以描述：
集中趋势：反映变量分布中各变量值向中心值靠拢的程度；
离中趋势：反映变量分布中各变量值远离中心值的程度；
分布形状：反映变量分布的偏斜程度和尖陡程度。
一、集中趋势与平均指标
集中趋势亦称为趋中性，是指变量分布以某一数值为中心的倾向。用平均指标来反映。
平均指标的种类
数值平均数包括
算术平均数：简单算术平均 加权算术平均
调和平均数：简单调和平均 加权调和平均
几何平均数：简单几和平均 加权几和平均
位置平均数包括：众数 中位数 分位数
平均指标的作用（自学）
 二、数值平均数
（一）算术平均数
1、基本计算公式：总体标志总量/总体单位总数
2、简单算术平均数：
1）计算公式：

（2）适用范围：末分组资料。
3、加权算术平均数：
（1）计算公式：

（2）说明：
在组距数列中x用组中值 ；影响因素：标志值、权数。
（3）适用范围：分组资料中已知分母加总资料。
（4）注意问题——权数及权数的作用。
4、算术平均数的数学性质
5、算术平均数的优缺点: 优点： a.)可推算总体标志总量;
b.)便于代数运算;
c.)抽样中具有良好稳定性。
缺点：a.)受极端值的影响大;
b.)组距数列中有较大假设性。
（二）调和平均数
1．问题的提出
例：市场上苹果的价格有三种：3元/斤；2.4元/斤;1.2元/斤，现有两种可供选择的方案：甲各买30元或乙各买15斤，问选择何方案为优？
2．调和平均数的概念
（1） 概念：标志值倒数的算术平均数的倒数。
（2） 特点：a.)常作为算术平均数的变形
b.)标志值中有数据为零时无法计算。
（3）简单调和平均数

适用范围：末分组资料。
（4）加权调和平均数

实质：加权算术平均数的变形。
适用范围：分组资料已知基本公式分子加总资料。
（三）由相对数或平均数计算平均数
基本步骤：1.)写出基本公式;
2.)确定计算公式;
3.)具体计算。
（四）几和平均数
1、简单几和平均数

适用范围：资料末分组，变量值互相影响。
2、加权几和平均数

适用范围：分组资料，变量值互相影响。
（五）算术平均数、调和平均数、几和平均数的数学关系
同一资料计算结果：x≥G≥H
   三、位置平均数
（一）中位数
1、中位数的概念：总体单位按某一标志值排队后中间位置的标志值。
2、中位数的计算
（1）末分组资料中位数的计算
基本步骤：1.)将总体单位按某一标志进行排队 ；
2.)确定中数的位置：(n+1)/2
3.)中间位置上的那个标志值即为中位数。
（2）分组资料中位数的计算
基本步骤：1.)计算累计频数(向上累计频数或向下累计频数);
2.)确定中位数的位置：∑f/2
3.) 单项数列：该组的标志值即为中位数 ;
组距数列，根据上下限公式计算中位数。

（3）中位数的特点（自学）
（二）分位数
1、概念
将变量的数值按大小顺序排列并等分为若干部分后，处于等分点位置的数值。常用的分位数有四分位数、十分位数和百分位数。
，和分别表示第一个、第二个和第三个四分位数，则他们的位置分别为：，和，根据位置即可确定各个四分位数。
（三）众数
1、众数的概念：变量中出现次数最多的变量值。
2、末分组资料众数的计算：直接根据众数概念(单项数列同)。

3、分组资料众数的计算：
a.)确定众数组;
b.)根据上下限公式计算众数的具体数值。

4．众数的特点（自学）
（四）中位数、众数、算术平均数的关系

第二节  离中趋势的描述
一、离中趋势和离散指标
所谓离中趋势，就是变量分布中各变量值背离中心值的倾向。用离散指标来反映。
常用的离散指标主要有：全距（亦称极差）、四分位差、异众比率、平均差、标准差、离散系数等。
二、离散指标的测度
（一）全距
1、概念：总体各单位标志值中最大标志值与最小标志值之差。
=-
2、特点： 受极端值影响最大。
（二）四分位差
四分位差是四分位数中第一个四分位数与第三个四分位数之差，也称为内距或四分间距，通常用表示，即：

通常与中位数相结合，用以表明变量分布中间50%数值的离散程度，
（三）异众比率
异众比率是分布数列中非众数组的频数与总频数之比，通常用来表示，即：

其中为众数组的频数。
通常与众数相结合，用以表明众数代表性的高低。
（四）平均差
1、概念：总体各单位标志值与其算术平均数的离差绝对值的算术平均数。
2、平均差的计算：

优点：利用了全部数据信息，能比较客观反映变量分布的离散程度。
不足：取了绝对值，因而数学处理不是很方便，数学性质也不是最优，应用上受到了一些限制。
（五）方差和标准差
1、概念
方差是变量的各变量值与其均值的离差平方的算术平均数，标准差则是方差的平方根。方差和标准差是测度变量分布离散程度最重要的指标。
2、方差的计算公式为：
（根据未分组数据）
（根据变量数列）
标准差的计算公式为：
（根据未分组数据）
（根据变量数列）
优点：方差和标准差利用了全部数据信息，因而能准确反映变量分布的离散程度。尤其是标准差与平均差相比，不仅具有平均差的优点，而且弥补了平均差的不足，再加上标准差的计量单位与变量相同，意义比方差明确，所以标准差在实践中得到了广泛的应用。
说明：一是根据组距式数列计算的方差和标准差只是一个近似值；二是在根据样本数据（甚至是有限总体数据）计算方差和标准差时，分母应该是（），但当很大时，可以忽略与之间的区别。
3、方差和标准差的性质
（1）常数的方差为0。
（2）若，为常数，则的方差与的方差之间的关系为：

（3）标准差是计算标准化值的依据。假设变量的标准化统计量用表示，标准化值用表示，则

服从均值为0、标准差为1的标准正态分布。也叫标准得分或标准统计值。
（六）离散系数
为了不同变量分布之间离散程度的可比性，就必须消除不同均值水平和不同计量单位的影响，就应该计算相对离散指标。
相对离散指标也叫离散系数变异系数或标准差系数，是变量的标准差与均值之比，通常用来表示，即：

离散系数越大，说明变量分布的离散程度越强，平均数的代表性越差。
三、是非标志的平均数和标准差
1、是非标志的概念：品质标志中能用1或0进行描述的标志。
2、成数：总体中标志值为1或标志值为0 的单位数(N1和N0)占总体单位总数（N）的比重，用P或Q表示。
其中： P=N1/N ; Q=N0/N ; P+Q=1
3、是非标志的平均数：是非标志的平均数=P
4、是非标志的标准差
第三节 分布形状的描述
一、分布形状和形状指标
变量分布的形状要用形状指标来反映。形状指标就是反映变量分布具体形状，即左右是否对称、偏斜程度与陡峭程度如何的指标。

反映变量分布偏斜程度的指标，称为偏度系数；
反映变量分布陡峭程度的指标，称为峰度系数。
二、偏度系数
偏度指变量分布偏斜的方向及其程度。偏度系数来实现的，通常用来表示。
偏度系数的计算主要有以下三种方法：
1、利用算术平均数与众数或中位数的离差计算＝
2、利用四分位数计算＝
3、利用动差法计算
三、峰度系数
1、概念
峰度通常是指钟型分布的顶峰与标准正态分布相比偏扁平或偏尖陡的程度。分为三种情况：标准正态峰度、尖顶峰度和平顶峰度。
峰度系数通常用来表示。
2、峰度系数的计算
主要采用动差法 ，当＝3时，变量分布的峰度为标准正态峰度；当<3时，变量分布的峰度为平顶峰度；当>3时，变量分布的峰度为尖顶峰度。